Ceros complejos de funciones polinomiales, cuando los coeficientes son reales. Opciones

[S. E. Puelma Moy...]

Este también queda como un problema propuesto... pero quiero ver una solución "contundente" (entiéndase "en un par de lineas, como mucho")

Nadie ponga una solución si no cumple con ese requisito

Sea una función polinomial con coeficientes reales. Supongamos que existen tales que . Pruebe que

Una función polinomial con coeficientes complejos, no tiene para qué cumplir esta propiedad, por ejemplo:

[sitronco]

. osea la barra arriba sera nuestra notación de conjugado.

, ocuparemos la hipótesis del ejercicio () y el hecho que el conjugado de un numero real es si mismo.



Luego,

Tal como queriamos probar.

[S. E. Puelma Moy...]

Muchas gracias por la consideración que los coeficientes deben ser reales, había olvidado escribirlo en las hipótesis del problema

Tu solución tenía algunos detalles que debían ser pulidos, me encargué de eso. Aunque ocuparas más de un par de líneas, está bien para explicar todos los pasos intermedios (las propiedades de la conjugación compleja se suponen bien conocidas: y )

En la edición de tu mensaje, puedes apreciar que aprovecho de explicarte dos comandos de LaTeX, que podrían ser útiles para ti

\displaystyle{}: lo que pones entre las llaves, queda presentado de otra forma (por ejemplo las sumatorias ponen el subíndice y el superíndice donde corresponde, por ejemplo las fracciones aumentan de tamaño)

\overline{}: pone una barra superior sobre lo que va entre llaves (este te sirve para indicar la conjugación compleja, por ejemplo

Mi solución en dos líneas es casi idéntica a la tuya, sólo que sin comentar todos los pasos intermedios. Tú lo dejaste accesible para quienes no pudieran entender esos detalles.

Quiero destacar el resultado fundamental que obtuvimos (generalizando el problema inicial): Si consideramos la función polinomial:

donde los coeficientes son reales, entonces . Este paso no depende del valor de , pudiendo considerar valores que no son raíces de la función polinomial

[S. E. Puelma Moy...]

Ahora voy a enunciar un resultado (con cara de teorema recíproco) que queda como propuesto. La solución también debe ser rápida y elegante. Usen el teorema fundamental de la aritmética si así desean.

Sea una funcion polinomial que cumple la siguiente propiedad:

Si es un cero para , entonces es un cero de la misma multiplicidad, para

Pruebe que todos los coeficientes del polinomio son reales

( y deben ser ceros de la misma multiplicidad. Si olvidamos esta hipótesis, o si la debilitamos, entonces podemos obtener ejemplos que no cumplen con la conclusión, como hace notar nuestro usuario SUPERSOLUBLE! en el próximo mensaje)

Mensaje modificado por xsebastian el Feb 6 2006, 10:49 AM

[SUPERSOLUBLE!]

Ahora voy a enunciar un resultado (con cara de teorema recíproco) que queda como propuesto. La solución también debe ser rápida y elegante. Usen el teorema fundamental de la aritmética si así desean.

Sea una funcion polinomial que cumple la siguiente propiedad:

Pruebe que todos los coeficientes del polinomio son reales

estaba escribiendo una respuesta y me quedo dando vueltas que la multiplicidad de y debe ser la misma.. por que si tienes por ejemplo



me parece que cumple la hipotesis (si es raiz tambien)

pero los coeficientes no son todos reales



y no se cumpliria el resultado

[Rurouni Kenshin]

estaba escribiendo una respuesta y me quedo dando vueltas que la multiplicidad de y debe ser la misma.. por que si tienes por ejemplo



me parece que cumple la hipotesis (si es raiz tambien)

pero los coeficientes no son todos reales



y no se cumpliria el resultado

El contraejemplo es correcto e inapelable. Seguramente xsebastian hara las correcciones del caso.

Se agradece el aporte.

Saludos

[S. E. Puelma Moy...]

Muchas gracias por la observación (hecha por SUPERSOLUBLE!), es un detalle que había pasado por alto (no sé dónde tengo la cabeza )

Ahora edité el resultado que deben demostrar, por cierto que la demostración no es complicada, y están invitados a resolverlo. Creo que también es un resultado de justificación breve

Lo que estoy pensando... haré un resumen con todos estos resultados que he puesto, pero después... primero tengo que agregar unas cosas más y ordenar un poco

Salu

[Fushigi-kun]

Por lo que veo este post está medio olvidado... a ver si puedo revivirlo.

Primero, notemos que para todo complejo , y su conjugado se cumple que:
1) es real.

2) es real.

(Esto se puede demostrar fácilmente haciendo y , con y reales)

Sean y los ceros de la función , ambos de la misma multiplicidad . Entonces, podemos escribir como:



Como vemos, los coeficientes de la función son reales, como queríamos probar.

[S. E. Puelma Moy...]

Me tendrás que creer, que ahora no recuerdo la solución que tenía en mente en ese momento (o sea, ahora tengo una solución en mente, tal vez distinta de la que tenía en esa ocasión)

Con respecto a tu solución, tiene el problema que asumes la existencia de sólo una o dos raíces (z₀ y su conjungado), sin embargo, podrían haber más raíces para esta ecuación. A seguir intentando

[Fushigi-kun]

Cualquiera se olvida después de más de un año xD.

En ese caso, sean , , , ..., ; y sus conjugados , , , ..., , raíces de la función polinomial . En donde no necesariamente .

Entonces, podemos escribir como:
, con real.

Con reordenando los términos y con un poco de trabajo algebraico, tenemos que:


Como vemos, es una multiplicación de funciones polinomiales cuadráticas cuyos coeficientes son reales (recordando lo que dije en mi post anterior respecto a un complejo y su conjugado). Luego, es una función polinomial cuyos coeficientes son reales. (Y esta vez la función puede tener más de dos raíces).