Bella Solucion - Foro fmat.cl

Bella Solucion, Resuelto por Caetano

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 4 2006, 03:53 PM Publicado: #1
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Problema Sean $TEX: $a,b,c\in\mathbb{R}^+$$ tales que $TEX: $abc=1$$ Probar que: $TEX: $\displaystyle \frac{2}{(a+1)^2+b^2+1}+\frac{2}{(b+1)^2+c^2+1}+\frac{2}{(c+1)^2+a^2+1}\le 1$$ Solucion Notemos la siguiente desigualdad previa, con $TEX: $x,y$$\in$$R^+$$ : $TEX: $\displaystyle\frac{2}{(x+1)^2+y^2+1}$$ $TEX: $=\displaystyle\frac{2}{x^2+y^2+2x+2}$$ $TEX: $\le$$\displaystyle\frac{2}{2xy+2x+2}$$ $TEX: $=\displaystyle\frac{1}{xy+x+1}$$ Entonces tenemos lo siguiente, para $TEX: $abc=1$$ con $TEX: $a,b,c$$\in$$R^+$$ $TEX: $\displaystyle \frac{2}{(a+1)^2+b^2+1}+\frac{2}{(b+1)^2+c^2+1}+\frac{2}{(c+1)^2+a^2+1}$$ $TEX: $\le$$\displaystyle\frac{1}{ab+a+1}+\displaystyle\frac{1}{bc+b+1}+\displaystyle\frac{1}{ca+c+1} =1$$ nos ahorraremos demostrar la ultima parte para la igualdad con $TEX: $1$$ puesto ke esta demostrado en el siguiente Link, y por lo tanto hemos concluido lo ke se pedia Resuelto por Caetano -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Farfan Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 7 2007, 09:03 PM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 392 Registrado: 23-September 06 Desde: Talca, Chile. Miembro Nº: 2.326 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Kenshin @ Feb 4 2006, 04:53 PM) $TEX: $=\displaystyle\frac{2}{x^2+y^2+2x+2}$$ $TEX: $\le$$\displaystyle\frac{2}{2xy+2x+2}$$ $TEX: $=\displaystyle\frac{1}{xy+x+1}$$ no entiendo ese paso, alguien me puede explicar? -------------------- si 2+2=3...(La Renga) "Pobre del que tiene miedo de correr riesgos, porque quizás ese no se decepcione nunca, ni tenga desilusiones, ni sufra como los que persiguen un sueño"

Jorgeston Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 7 2007, 09:08 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Baneado Mensajes: 2.588 Registrado: 7-November 06 Miembro Nº: 2.747	mayoró, es decir, el denominador que obtiene es menor que el que tenía antes, puesto que : $TEX: $2xy\leq x^2+y^2$$ Esto se obtiene , porque $TEX: $(x-y)^2\geq 0$$ Saludos

Luffy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 7 2007, 09:12 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 556 Registrado: 16-August 06 Desde: Rio de Janeiro Miembro Nº: 1.950 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Como:$ $TEX: \noindent $(x-y)^2\ge 0$ $\Rightarrow$ $x^2+y^2\ge 2xy$ $\Rightarrow$ $x^2+y^2+2x+2\ge 2xy+2x+2$ $\Rightarrow$ $\dfrac{2}{2xy+2x+2}\ge \dfrac{2}{x^2+y^2+2x+2}$$ Saludos PD: Si quieres aprender más acerca de como resolver estos bonitos problemas date una vuelta por aquí

Farfan Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 7 2007, 10:33 PM Publicado: #5
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 392 Registrado: 23-September 06 Desde: Talca, Chile. Miembro Nº: 2.326 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	ahora si entendi aunque no entiendo bien pk se cumple una igualdad dsps, pero leere el material de desigualdades jeje gracias a ambos -------------------- si 2+2=3...(La Renga) "Pobre del que tiene miedo de correr riesgos, porque quizás ese no se decepcione nunca, ni tenga desilusiones, ni sufra como los que persiguen un sueño"

locusamoris Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 8 2007, 12:59 AM Publicado: #6
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 112 Registrado: 2-June 07 Miembro Nº: 6.357	CITA(Farfan @ Jun 7 2007, 11:33 PM) ahora si entendi aunque no entiendo bien pk se cumple una igualdad dsps, pero leere el material de desigualdades jeje gracias a ambos Luego que mayoró por ese "termino", solamente lo simplificó (por 2). Nada de otro mundo -------------------- < romero jazmin flor de naranjo >

Farfan Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 8 2007, 01:15 PM Publicado: #7
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 392 Registrado: 23-September 06 Desde: Talca, Chile. Miembro Nº: 2.326 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Teutonic Witch @ Jun 8 2007, 01:59 AM) Luego que mayoró por ese "termino", solamente lo simplificó (por 2). Nada de otro mundo eso lo entendi claramente, lo que no entendi es como una desigualdad la reemplazas por otra, pero ahora ya lo entiendo todo jejeje saludos -------------------- si 2+2=3...(La Renga) "Pobre del que tiene miedo de correr riesgos, porque quizás ese no se decepcione nunca, ni tenga desilusiones, ni sufra como los que persiguen un sueño"

Farfan Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 9 2007, 02:17 PM Publicado: #8
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 392 Registrado: 23-September 06 Desde: Talca, Chile. Miembro Nº: 2.326 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Luffy @ Jun 7 2007, 10:12 PM) $TEX: $\Rightarrow$ $x^2+y^2+2x+2\ge 2xy+2x+2$ $\Rightarrow$ $\dfrac{2}{2xy+2x+2}\ge \dfrac{2}{x^2+y^2+2x+2}$$ ese paso no lo entiendo, se que elevas a -1 y multiplicas por 2, pero mi duda es: como elevas a menos uno se invierte el signo $TEX: $\ge$$ ?? ps: tengo harto q estudiar de desigualdades -------------------- si 2+2=3...(La Renga) "Pobre del que tiene miedo de correr riesgos, porque quizás ese no se decepcione nunca, ni tenga desilusiones, ni sufra como los que persiguen un sueño"

Farfan Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 10 2007, 06:29 PM Publicado: #9
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 392 Registrado: 23-September 06 Desde: Talca, Chile. Miembro Nº: 2.326 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	ahora ya entiendo todo, recorde la propiedad de invertir el signo al elevar por exponente negativo 8) saludos y gracias por las respuestas -------------------- si 2+2=3...(La Renga) "Pobre del que tiene miedo de correr riesgos, porque quizás ese no se decepcione nunca, ni tenga desilusiones, ni sufra como los que persiguen un sueño"

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