Un Desafío que me traje de Vietnam - Foro fmat.cl

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Un Desafío que me traje de Vietnam, bonita desigualdad... Resuelto por tebas

Luffy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 2 2008, 01:55 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 556 Registrado: 16-August 06 Desde: Rio de Janeiro Miembro Nº: 1.950 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \noindent Sean $a,b,c>0$. Pruebe que:\\<br />\\<br />$\left( \dfrac{a}{a+b}\right)^3 +\left( \dfrac{b}{b+c} \right)^3 +\left( \dfrac{c}{c+a} \right)^3 \ge \dfrac{3}{8}$<br />$ Saludos

gertrudis Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 2 2008, 05:44 PM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 303 Registrado: 15-October 06 Desde: Ñuñoa Miembro Nº: 2.528 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Tengo que$ $TEX: $\bigg( \dfrac{a}{a+b}\bigg)^3 +\bigg( \dfrac{b}{b+c}\bigg)^3 + \bigg( \dfrac{c}{c+a}\bigg)^3 \ge \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8}$$ $TEX: Podemos separar la desigualdad en:$ $TEX: $\bigg( \dfrac{a}{a+b}\bigg)^3 \ge \dfrac{1}{8}$$ $TEX: $\bigg( \dfrac{b}{b+c}\bigg)^3 \ge \dfrac{1}{8}$$ $TEX: $\bigg( \dfrac{c}{c+a}\bigg)^3 \ge \dfrac{1}{8}$$ $TEX: Luego, utilizando la primera y sacando raiz cubica quedaria:$ $TEX: $\dfrac{a}{a+b} \ge \dfrac{1}{2}$$ $TEX: $2a \ge a+b$$ $TEX: $a \ge b$$ $TEX: Lo mismo ocurre con las otras 2 desigualdades, por lo que quedaria:$ $TEX: $a \ge b$$ $TEX: $b \ge c$$ $TEX: $c\ge a$$ $TEX: Y por transitividad, obtengo:$ $TEX: $a \le b$$ $TEX: $b \le c$$ $TEX: $c \le a$$ $TEX: Claramente siempre se va a cumplir que $a \ge b$ o que $a \le b$$ , $TEX: lo mismo para b,c y a,c ; por lo tanto la desigualdad siempre se cumple.$ saludos

Jorgeston Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 2 2008, 05:58 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Baneado Mensajes: 2.588 Registrado: 7-November 06 Miembro Nº: 2.747	Respuesta incorrecta Supusiste verdadero lo que tenias que demostrar.( logicamente incorrecto y erroneo) saludos

Luffy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 2 2008, 08:59 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 556 Registrado: 16-August 06 Desde: Rio de Janeiro Miembro Nº: 1.950 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(gertrudis @ Mar 2 2008, 08:40 PM) $TEX: Tengo que$ $TEX: $\bigg( \dfrac{a}{a+b}\bigg)^3 +\bigg( \dfrac{b}{b+c}\bigg)^3 + \bigg( \dfrac{c}{c+a}\bigg)^3 \ge \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8}$$ $TEX: Podemos separar la desigualdad en:$ $TEX: $\bigg( \dfrac{a}{a+b}\bigg)^3 \ge \dfrac{1}{8}$$ $TEX: $\bigg( \dfrac{b}{b+c}\bigg)^3 \ge \dfrac{1}{8}$$ $TEX: $\bigg( \dfrac{c}{c+a}\bigg)^3 \ge \dfrac{1}{8}$$ $TEX: Luego, utilizando la primera y sacando raiz cubica quedaria:$ $TEX: $\dfrac{a}{a+b} \ge \dfrac{1}{2}$$ $TEX: $2a \ge a+b$$ $TEX: $a \ge b$$ $TEX: Lo mismo ocurre con las otras 2 desigualdades, por lo que quedaria:$ $TEX: $a \ge b$$ $TEX: $b \ge c$$ $TEX: $c\ge a$$ $TEX: Y por transitividad, obtengo:$ $TEX: $a \le b$$ $TEX: $b \le c$$ $TEX: $c \le a$$ $TEX: Claramente siempre se va a cumplir que $a \ge b$ o que $a \le b$$ , $TEX: lo mismo para b,c y a,c ; por lo tanto la desigualdad siempre se cumple.$ saludos Bueno, la corrección de jorgeston claramente es adecuada; pero yo supongo que lo que gertrudis intentaba hacer era probar la desigual "de atras para adelante", asi llego a la conclusion que cuando $TEX: $a\ge b$$ , $TEX: $b\ge c$$ , y $TEX: $c\ge a$$ se cumplia la desigualdad. Sin embargo, si eso es cierto, entonces tambien es cierto que $TEX: $a\le b$$ , $TEX: $b\le c$$ y $TEX: $c\le a$$ ; es decir $TEX: $a=b=c$$ ; por lo que lo unico que ha hecho gertrudis hasta el momento es comprobar que para el caso particular en que $TEX: $a=b=c$$ la desigualdad se cumple, ya que de hecho es un caso de igualdad. Asi que el problema no esta ni cerca de ser resuelto, a seguir intentandole. Saludos

gertrudis Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 3 2008, 03:01 AM Publicado: #5
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 303 Registrado: 15-October 06 Desde: Ñuñoa Miembro Nº: 2.528 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	No estoy muy segura (sobretodo del final) pero equivocarse sirve...para aprender... asi que esto es lo que hice... $TEX: Por MG-MA tengo que$ $TEX: $\dfrac{\bigg(\dfrac{a}{a+b}\bigg)^3 + \bigg(\dfrac{b}{b+c}\bigg)^3 + \bigg(\dfrac{c}{c+a}\bigg)^3}{3} \ge \sqrt[3]{\bigg(\dfrac{a}{a+b}\bigg)^3 \cdot \bigg( \dfrac{b}{b+c} \bigg)^3 \cdot \bigg(\dfrac{c}{c+a}\bigg)^3}$$ $TEX: Luego:$ $TEX: $\bigg(\dfrac{a}{a+b}\bigg)^3 + \bigg(\dfrac{b}{b+c}\bigg)^3 + \bigg(\dfrac{c}{c+a}\bigg)^3 \ge 3 \cdot \dfrac{a}{a+b} \cdot \dfrac{b}{b+c} \cdot \dfrac{c}{c+a}$$ $TEX: Y tambien por MG-MA:$ $TEX: $\dfrac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$$ $TEX: $\dfrac{b+c}{2} \ge \sqrt{bc}$$ $TEX: $\dfrac{c+a}{2} \ge \sqrt{ca}$$ $TEX: Luego (multiplicandolas)$ $TEX: $\dfrac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8} \ge \sqrt{a^2b^2c^2}$$ $TEX: $\dfrac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8} \ge abc$$ $TEX: $\dfrac{1}{8} \ge \dfrac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$$ \ $TEX: $\cdot 3$$ $TEX: $\dfrac{3}{8} \ge 3 \cdot \dfrac{a}{a+b} \cdot \dfrac{b}{b+c} \cdot \dfrac{c}{c+a}$$ $TEX: Entonces el mayor valor que puede tomar la expresion $3 \cdot \dfrac{a}{a+b} \cdot \dfrac{b}{b+c} \cdot \dfrac{c}{c+a}$ es $\dfrac{3}{8}$ y $\bigg(\dfrac{a}{a+b}\bigg)^3 + \bigg(\dfrac{b}{b+c}\bigg)^3 + \bigg(\dfrac{c}{c+a}\bigg)^3$ es mayor a esta, por lo tanto$ $TEX: $\bigg(\dfrac{a}{a+b}\bigg)^3 + \bigg(\dfrac{b}{b+c}\bigg)^3 + \bigg(\dfrac{c}{c+a}\bigg)^3 \ge \dfrac{3}{8}$$

caf_tito Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 3 2008, 10:38 AM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 1.605 Registrado: 25-June 05 Miembro Nº: 123 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> {\mathbf{Lema}} \hfill \\<br /> {\text{Por Schur }}\left( {p = 1} \right) \hfill \\<br /> \sum {x^3 } + 3xyz \geqslant \sum\limits_{simetrica} {x^2 y} \hfill \\<br /> {\text{Aplicamos el lema para}} \hfill \\<br /> x = \frac{a}<br />{{\left( {a + b} \right)}},y = \frac{b}<br />{{\left( {b + c} \right)}},z = \frac{c}<br />{{\left( {a + c} \right)}} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \Rightarrow \sum {\frac{{a^3 }}<br />{{\left( {a + b} \right)^3 }}} + \frac{{3abc}}<br />{{\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right)}} \geqslant \sum {\frac{{a^2 b}}<br />{{\left( {a + b} \right)^2 \left( {b + c} \right)}}} \hfill \\<br /> \sum {\frac{{a^3 }}<br />{{\left( {a + b} \right)^3 }}} \geqslant \sum {\frac{{a^2 b}}<br />{{\left( {a + b} \right)^2 \left( {b + c} \right)}}} - \frac{{3abc}}<br />{{\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right)}} \hfill \\<br /> \sum {\frac{{a^3 }}<br />{{\left( {a + b} \right)^3 }}} \geqslant \frac{{\sum\limits_{simetrica} {a^4 b^2 } + 5\sum\limits_{simetrica} {a^3 b^2 c} + 5a^2 b^2 c^2 + \sum\limits_{simetrica} {a^4 bc} - 6a^2 b^2 c^2 + 3\sum\limits_{simetrica} {a^3 b^2 c} }}<br />{{\left( {a + b} \right)^2 \left( {b + c} \right)^2 \left( {a + c} \right)^2 }} \hfill \\<br /> \sum {\frac{{a^3 }}<br />{{\left( {a + b} \right)^3 }}} \geqslant \frac{{\sum\limits_{simetrica} {a^4 b^2 } + 8\sum\limits_{simetrica} {a^3 b^2 c} - a^2 b^2 c^2 + \sum\limits_{simetrica} {a^4 bc} }}<br />{{\left( {a + b} \right)^2 \left( {b + c} \right)^2 \left( {a + c} \right)^2 }} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> {\text{Por demostrar que}} \hfill \\<br /> \frac{{\sum\limits_{simetrica} {a^4 b^2 } + 8\sum\limits_{simetrica} {a^3 b^2 c} - a^2 b^2 c^2 + \sum\limits_{simetrica} {a^4 bc} }}<br />{{\left( {a + b} \right)^2 \left( {b + c} \right)^2 \left( {a + c} \right)^2 }} \geqslant \frac{3}<br />{8} \hfill \\<br /> {\text{Notar que}} \hfill \\<br /> \prod {\left( {a + b} \right)^2 } = \sum\limits_{simetrica} {a^4 b^2 } + 6\sum\limits_{simetrica} {a^3 b^2 c} + 10a^2 b^2 c^2 + \sum\limits_{simetrica} {a^4 bc} + \sum\limits_{simetrica} {a^3 b^3 } \hfill \\<br /> \Rightarrow \hfill \\<br /> 8\sum\limits_{simetrica} {a^4 b^2 } + 64\sum\limits_{simetrica} {a^3 b^2 c} - 8a^2 b^2 c^2 + 8\sum\limits_{simetrica} {a^4 bc} \geqslant \hfill \\<br /> 3\sum\limits_{simetrica} {a^4 b^2 } + 18\sum\limits_{simetrica} {a^3 b^2 c} + 30a^2 b^2 c^2 + 3\sum\limits_{simetrica} {a^4 bc} + 3\sum\limits_{simetrica} {a^3 b^3 } \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> 5\sum\limits_{simetrica} {a^4 b^2 } + 46\sum\limits_{simetrica} {a^3 b^2 c} + 5\sum\limits_{simetrica} {a^4 bc} \geqslant 3\sum\limits_{simetrica} {a^3 b^3 } + 38a^2 b^2 c^2 \hfill \\<br /> 5\sum\limits_{simetrica} {a^4 b^2 } + 46\sum\limits_{simetrica} {a^3 b^2 c} + 5\sum\limits_{simetrica} {a^4 bc} + 4a^2 b^2 c^2 \geqslant 3\sum\limits_{simetrica} {a^3 b^3 } + 6\sum\limits_{simetrica} {a^2 b^2 c^2 } \hfill \\<br /> {\text{Por muirhead}} \hfill \\<br /> 6\left( {3,2,1} \right) \succ 6\left( {2,2,2} \right) \hfill \\<br /> 3\left( {4,2,0} \right) \succ 3\left( {3,3,0} \right) \hfill \\<br /> {\text{Concluimos}} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ Las sumatorias sin nombre son cíclicas en (a,b,c) e igualmente una productoria que había por ahí. Mensaje modificado por caf_tito el Mar 3 2008, 10:43 AM --------------------

Luffy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 4 2008, 07:42 PM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 556 Registrado: 16-August 06 Desde: Rio de Janeiro Miembro Nº: 1.950 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Bueno, la verdad es que lei tu solucion, pero no desarrolle las sumas (porque me habria demorado todo el dia); y honestamente no pienso validar una solución tan bruta, porque perdería un problema que vale la pena, ya que tiene una solución realmente bonita e ingeniosa; el desafío no era ver quien es capaz de multiplicar más polinomios. Asi que obviare lo que está escrito arriba y el problema sigue abierto. Saludos PD: La solución de gertrudis no es correcta, ya que $TEX: $A\ge C$$ y $TEX: $B\ge C$$ no implica que $TEX: $A\ge B$$ .

Luffy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 7 2008, 11:35 PM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 556 Registrado: 16-August 06 Desde: Rio de Janeiro Miembro Nº: 1.950 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	HINT:

tebas Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 21 2008, 10:22 PM Publicado: #9
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 85 Registrado: 9-January 08 Desde: Guatemala Miembro Nº: 14.478 Sexo:	Talvez alguien pueda sacarle provecho a estas ideas. No sé que tanto sirva en realidad para probar por completo la desigualdad pero se puede escribir como $TEX: $$\frac{1}{(1+x)^3}+\frac{1}{(1+y)^3}+\frac{1}{(1+z)^3}\ge \frac{3}{8}$$$ con $TEX: $xyz=1$$ y $TEX: $x,y,z \in\mathbb{R}^+$$ Al menos así se ve más accesible y parecida a la desigualdad del link. Se me ocurrió algo como suavizamiento, demostrar que el lado derecho disminuye cuando hacemos los cambios $TEX: $x\rightarrow 1, y\rightarrow yk, z\rightarrow \dfrac{z}{k}$$ Yo solo he podido demostrar que es verdadera cuando $TEX: $x\ge y\ge z$$ y $TEX: $x+y\ge 2$$ usando la desigualdad de Karamata. Mensaje modificado por tebas el Apr 21 2008, 11:11 PM

rahmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 22 2008, 10:18 PM Publicado: #10
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 74 Registrado: 31-October 07 Desde: Temuco Miembro Nº: 12.067 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> {\text{ Digamos que: }}a \geqslant b \geqslant c \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> a \geqslant b \hfill \\<br /> a + b \geqslant 2b{\text{ }} \hfill \\<br /> \frac{1}<br />{{a + b}} \leqslant \frac{1}<br />{{2b}}{\text{ (por que son positivos)}} \hfill \\<br /> \frac{b}<br />{{a + b}} \leqslant \frac{b}<br />{{2b}} \hfill \\<br /> 1 - \frac{b}<br />{{a + b}} \geqslant \frac{1}<br />{2}{\text{ (elevando al cubo )}} \hfill \\<br /> \left( {\frac{a}<br />{{a + b}}} \right)^3 \geqslant \frac{1}<br />{8} \hfill \\<br /> {\text{Analogamente:}} \hfill \\<br /> {\text{b}} \geqslant {\text{c }} \to \left( {\frac{b}<br />{{b + c}}} \right)^3 \geqslant \frac{1}<br />{8} \hfill \\<br /> a \geqslant c{\text{ }} \to \left( {\frac{{\text{c}}}<br />{{{\text{c + a}}}}} \right)^3 \geqslant \frac{1}<br />{8} \hfill \\<br /> {\text{ Sumamos y tenemos}} \hfill \\<br /> \left( {\frac{a}<br />{{a + b}}} \right)^3 + \left( {\frac{b}<br />{{b + c}}} \right)^3 + \left( {\frac{{\text{c}}}<br />{{{\text{c + a}}}}} \right)^3 \geqslant \frac{3}<br />{8} \hfill \\<br /> {\text{Q}}{\text{.E}}{\text{.D}} \hfill \\<br /> \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />$ -------------------- Nunca consideres el estudio como una obligacion sino como una oportunidad para penetrar en el bello y maravilloso mundo del saber. Albert Einstein

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