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Sistema de Numeracion, [básico]

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ironfrancisco Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 28 2008, 07:58 AM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 1.333 Registrado: 7-August 06 Desde: Ñuñoa, Santiago Miembro Nº: 1.872 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Sistemas de Numeracion Una definicion de Sistema de numeracion podria ser la de un conjunto de simbolos y reglas que nos permiten generar todos los numeros existentes en el sistema. Las reglas son diferentes en cada sistema, pero encontramos una comun a todos "Para construir numeros validos, se ocuparan solo los símbolos permiotidos en el sistema". De esta manera podemos identificar un sistema como se presenta a continuacion. $TEX: \noindent $N=R+S$\\<br />\\<br />En donde:\\<br />\\<br />$N$ es el sistema que se utiliza (ya sea binario, decimal,etc)\\<br />\\<br />$R$ son las reglas que el sistema presenta\\<br />\\<br />y $S$ son los simbolos permitidos en el sistema$ Teorema Fundamental de la Numeracion Con la ayuda de este teorema podemos escribir cualquier numero en un sistema de numeracion posicional. Para ello se define: $TEX: \noindent $N$: numero valido en el sistema\\<br />\\<br />$b$: base del sistema\\<br />\\<br />$d$: simbolo permitido en el sistema\\<br />\\<br />$n$: numero de digitos de la parte entera\\<br />\\<br />$k$: numero de digitos de la parte decimal\\<br />\\<br />con estos tenemos que la forma de escrituar de cualquier $N$ en un sistema de base $b$ estara dada por la siguiente expresion\\<br />\\<br />$N=d_n ... d_1 d_0 ; d_{-1} d_{-2} ... d_{-k}$\\<br />\\<br />$N=d_n \cdot b^n + ... + d_1 \cdot b^1 + d_0 \cdot b^0 ; d_{-1} \cdot b^{-1} + ... + d_{-k} \cdot b^{-k}$\\<br />\\<br />$N=\sum\limits_{i=-k}^{n} d_i \cdot b^i$$ Antes de continuar con las operaciones basicas debemos tener un conjunto sobre el cual trabajar. Para ello veremos el conjunto de los numeros naturales $TEX: \noindent $\mathbb{N}$$ El primer conjunto es el de los Naturales $TEX: \noindent $\mathbb{N}$$ . Primitivamente, $TEX: \noindent $0 \notin \mathbb{N}$$ , ya que $TEX: \noindent $\mathbb{N}$$ era el conjunto que servía para contar. Al conciliarse la teoria de conjuntos $TEX: \noindent $0 \in \mathbb{N}$$ , ya que $TEX: \noindent $\mathbb{N}$$ se definio como el conjunto mde los cardinales de todos los conjuntos. Y dentro de los conjuntos existe el conjunto vacio, cuyo cardinal es 0. (Cardinal es el simbolo que representa la cantidad de elementos de un conjunto). Adicion en N $TEX: \noindent Sea $n$ y $m$ elementos de $\mathbb{N}$, definimos suma (+) como:\\<br />\\<br />$n+m=$\\<br />\\<br />1) $n$ si $m=0$\\<br />\\<br />2) $sig(n)$ si $m=1$\\<br />\\<br />3) $sig[n+ant(m)]$ si $m>1$\\<br />\\$ Ejemplos Base 2 o binaria Como estamos trabajando en base 2, tenemos que los simbolos permitidos aqui son el 0 y el 1. luego el conjunto de los numeros naturales escrito en el sistema binario estara dado por: $TEX: \noindent $N_2=\{ 0,1,10,11,100,101,110,111,1000,.... \}$$ veamos si a traves del Teorema Fundamental de la Numeracion obtenemos a partir de los numeros en binario el sistema decimal. $TEX: \noindent $0(2)=0(10)$\\<br />\\<br />$1(2)= 1\cdot 2^0 =1(10)$\\<br />\\<br />$10(2)= 1\cdot 2^1 + 0\cdot 2^0=2(10)$\\<br />\\<br />$11(2)= 1\cdot 2^1+ 1 \cdot 2^0=3(10)$\\<br />\\<br />como vemos va concordando con lo que nosotros ya sabemos del conjunto $\mathbb{N}$ por nuestro sistema decimal. Con esto seguimos con la suma.$ Sumar en el sistema base 2 10010+110 Solucion $TEX: \begin{tabular}{rcl\|}<br /><br />\end{tabular}<br /><br />Sumamos:<br /><br />\begin{tabular}{rcl\|}<br />$10010$ \\<br />$110$ \\ \hline<br />$11000$<br />\end{tabular}<br /><br />$ Si tienes alguna duda de como se realizo la suma ve esta explicacion. Partamos sumando como nos han enseñado. Primero sumamos las unidades. Como el primero sumando tien unidad 0 y el segundo tambien posee unidad 0, sumamos: 0+0=0 (recordar la definicion de suma que esta escrita anteriormente) Ahora sumamos las "decenas" (lo puse entre comillas porque en base 2 no se llaman decenas pero le diremos asi a fin de que se comprenda la idea) El primer sumando posee "decena" 1 y el segundo tambien. Luego en Base Binaria 1+1=10, por lo uqe ponemos el 0 y nos reservamos el 1. Hacemos lo mismo con las "centenas" (mismo caso anterior de las comillas). Primer sumando posee "centena" 0 y el segundo 1. luego recordamos que reservamos 1 de las suma de las "decenas". sumamos en base binaria. 1+0=1; y luego 1+1=10, reservando nuevamente 1. Por ultimo sumamos los "miles" (idem) y tenemos 0+1=1. Obteniedo lo expresado como resultado. Veamos una suma en base 6. Antes de sumar recuerde que si escribe el conjunto N en base 6 obtendra lo siguiente: $TEX: \noindent $\mathbb{N}_6=\{0,1,2,3,4,5,10,11,12,13,14,15,20,...\}$\\<br />\\<br />\begin{tabular}{rcl\|}<br /><br />\end{tabular}<br /><br />Sume<br /><br />\begin{tabular}{rcl\|}<br />$43255342014$ \\<br />$3445542301$ \\ \hline<br />?<br />\end{tabular}<br />$ Sume $TEX: \noindent \begin{tabular}{rcl\|}<br /><br />\end{tabular}<br /><br />Suma 1:<br /><br />\begin{tabular}{rcl\|}<br />$44555234500245$ \\<br />$25554442254$ \\ \hline<br />?<br />\end{tabular}<br />$ PD.En cuanto solucione unos problemas con el $TEX: Latex$ seguire con la multiplicacion. Espero que sirva Salu2 -------------------- La practica hace al maestro... Manual de Latex Programa Generador de Latex =) Eres alumno de la PUC?? visita nuestro sector!!! Descarga la PSU nº2 de Fmat (solo usuarios registrados) Agregate al grupo de FMAT en Facebook