Un Problema de la Olimpiada ConoSur 2005 Opciones

[Rurouni Kenshin]

Problema


Solucion:

La solución radica en darse cuenta en que valores varia asubn notemos que asub1 es 7 ya que 2+5=7 , por lo tanto cada vez que asub1 aumenta k veces en 7 pasa a asub(1+k).
Notemos que los múltiplos de 7 repiten terminaciones en un ciclo ya que la terminación de 7*10 es 0 , entonces si sumamos 7 se repetirá el ciclo empezando por n=1 , las terminaciones de n son 7,4,1,8,5,2,9,6,3,0,7,4,1,8,5,2,9,6,3,0,7….
Ahora notemos que el ciclo tiene 10 terminaciones , por lo tanto 2005 = 10*200+5 (para ocupar el argumento de la congruencia) , por lo tanto es 200 veces la suma de las terminaciones del ciclo mas la suma de las 5 primeras terminaciones del ciclo , en la practica es:

X=200(7+4+1+8+5+2+9+6+3+0)+(7+4+1+8+5)
X=200*45+25
X=9000+25
X=9025

La suma de todos los asubn de asub1 a asub2005 es 9025.


Resuelto por Corecrasher

[D4rk 5ou1]

Hola, bueno... yo soy nuevo aki y de hecho este es mi 1er post, espero que me ayuden si es que me equivoque en algo y me digan los errores que tuve al resolver esto.

yo resolvi este problema de la siguiente manera:

Bien, comenze por ver que me decian que sumara los ultimos digitos de los numeros de la sumatoria de k (valor inicial que ademas es 1) hasta 2005. sabemos que tendriamos que sumar 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13...2005, con esto me di cuenta de que cada 10 numeros se realiza un ciclo, en el cual estan presentes los numeros 1,2,3,4,5,6,7,8,9 que si los sumamos nos da 45.

Con esto dije: "si la suma del digito final de cada 10 numeros es 45, lo que tengo que hacer es a 2005 restarle 5 y dividirlo por 10, que seria el numero del ciclo..."

Entonces asi lo hice, 2000/10=200. este numero lo multiplique con 45, ya que el numero que estoy buscando es 200 veces la suma de las terminaciones del ciclo (45) mas la suma de los digitos que deje excluidos (deje excludios momentaneamente los digitos finales de los numeros 2001,2002,2003,2004 y 2005 que serian respectivamente 1,2,3,4,5 y sumados me da 15...)

Por lo tanto 200 * 45 + 15 = 9015

Espero que me expliquen mis errores, gracias de antemano

bytes

[Pasten]

Hola. Antes que nada, bienvenido a fmat. Sobre tu solucion; me parece que no entendiste el planteamiento del problema. Tratare de aclarartelo;
Definimos como el ultimo digito de la suma de los digitos del numero 20052005...2005 formado al escribir "2005" veces consecutivas.
Por ejemplo:

Finalmente, lo que nos piden es calcular la suma , es decir:

Espero que asi puedas entender el problema.
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PD: seria interesante que en tu perfil coloques tu msn, asi otros miembros del foro podrian ponerse en contacto contigo.

[D4rk 5ou1]

excelente explicacion pasten, ahora entiendo el problema.. gracias

[D4rk 5ou1]

bueno, resolvi este problema... pero me di cuenta de q es dificil encontrar otra solucion a este problema