Ecuaciones Polinomiales, Con Teorema del Valor Intermedio Opciones

[S. E. Puelma Moy...]

Llamaremos una ecuación polinomial a una igualdad del tipo:

con incógnita , donde es una función polinomial de una variable. Consideremos también aquellas ecuaciones que pueden llevarse a esta forma, con un manejo aritmético (usualmente sencillo). Por ejemplo:

aunque nosotros siempre vamos a considerar las ecuaciones polinomiales dejando 0 al lado derecho de la igualdad

Los polinomios son funciones continuas, como sabemos del cálculo diferencial (esto tiene una definición rigurosa que puede no conocer el alumno de enseñanza media, pero para estos efectos basta la idea intuitiva). Vamos a establecer el siguiente:

Teorema del Valor Intermedio: Sean , con . Consideremos una función continua y supongamos que existe tal que (o sea, uno de los números es menor, y el otro mayor, que ). Entonces existe un número intermedio: (o sea: ) tal que

Demostracion (con todo el rigor del cálculo diferencial):

Suponemos que esto no es verdad. Definimos

Observamos que son conjuntos abiertos no vacíos, porque pertenece a uno de ellos, y al otro. Además: , o sea produjimos una escisión no trivial del intervalo . He ahí la contradicción

La demostración se pasea por las ideas topológicas de continuidad y conexidad, que normalmente son revisadas en un curso de espacios métricos o topología, o incluso de cálculo diferencial (o mejor, análisis real) que tenga nociones de topología en su programa.

Explicación intuitiva (para quien no tenga las herramientas usadas en la demostración):

El gráfico de la función continua es una curva continua (sin levantar el lápiz) que une los puntos y . Estos puntos son separados por la recta horizontal . Entonces esta recta debe ser traspasada en un punto de la forma . Como ese punto pertenece a la gráfica de la función polinomial, entonces

¿Qué utilidad puede tener este teorema?

Basta hacer y nos permite enfrentar el problema de anular una función. Y podemos recordar, que los ceros de una función polinomial dan buena información sobre el mismo (por ejemplo, nos permiten factorizar).

Muchas veces necesitamos anular una función continua (o ver dónde asume un cierto valor). Para eso, debemos hacer dos cosas, en el orden indicado:

1. Asegurarnos que exista un valor en el dominio donde esto ocurra
2. Dar con ese valor. En su defecto, a veces basta con dar una aproximación razonable y un "certificado de garantía" (o sea, asegurar que el error no supera cierta cota, idealmente pequeña)

El teorema del valor intermedio nos permite atender el primer punto afirmativamente, con tal de cumplir sus hipótesis. El segundo punto puede "resolverse", en el sentido de la aproximación, con ayuda de este teorema, dando origen a algunos métodos numéricos... materia de la cual hablaremos en una próxima ocasión

Comentario (algebraico): No confundir un polinomio con una función polinomial. Muchas veces se abusa de lenguaje, pero estrictamente hablando, son entes distintos.