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Una tecnica novedosa, Resuelto por Caetano

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Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 3 2006, 03:18 AM Publicado: #1
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Problema Sean $TEX: $a,b,c,d\ge 0$$ . Probar que: $TEX: $a^4b+b^4c+c^4d+d^4a\ge abcd(a+b+c+d)$$ Solucion: Notemos la siguiente desigualdad previa: Sean $TEX: $x,y,z,w\ge 0$$ , apliquemosles la desigualdad $TEX: $A\ge$$G$$ de la siguiente forma: $TEX: $\displaystyle\frac{23x^4y+7y^4z+11z^4w+10w^4x}{51}\ge$$\underbrace{\sqrt[51]{(x^{92})(y^{23})(y^{28})(z^7)(z^{44})(w^{11})(w^{40})(x^{10})}}_{\displaystyle x^\frac{102}{51}y^\frac{51}{51}z^\frac{51}{51}w^\frac{51}{51}=x^2yzw}$$ Entonces, aplicando esta desigualdad 4 veces para $TEX: $a,b,c,d\ge 0$$ , tenemos ke: $TEX: $\displaystyle\frac{23a^4b+7b^4c+11c^4d+10d^4a}{51}\ge$$\underbrace{\sqrt[51]{(a^{92})(b^{23})(b^{28})(c^7)(c^{44})(d^{11})(d^{40})(a^{10})}}_{\displaystyle a^\frac{102}{51}b^\frac{51}{51}c^\frac{51}{51}d^\frac{51}{51}=a^2bcd}$$ $TEX: $\displaystyle\frac{10a^4b+23b^4c+7c^4d+11d^4a}{51}\ge$$\underbrace{\sqrt[51]{(a^{40})(b^{10})(b^{92})(c^{23})(c^{28})(d^7)(d^{44})(a^{11})}}_{\displaystyle b^\frac{102}{51}c^\frac{51}{51}d^\frac{51}{51}a^\frac{51}{51}=ab^2cd}$$ $TEX: $\displaystyle\frac{11a^4b+10b^4c+23c^4d+7d^4a}{51}\ge$$\underbrace{\sqrt[51]{(a^{44})(b^{11})(b^{40})(c^{10})(c^{92})(d^{23})(d^{28})(a^7)}}_{\displaystyle c^\frac{102}{51}d^\frac{51}{51}a^\frac{51}{51}b^\frac{51}{51}=abc^2d}$$ $TEX: $\displaystyle\frac{7a^4b+11b^4c+10c^4d+23d^4a}{51}\ge$$\underbrace{\sqrt[51]{(a^{28})(b^7)(b^{44})(c^{11})(c^{40})(d^{10})(d^{92})(a^{23})}}_{\displaystyle d^\frac{102}{51}a^\frac{51}{51}b^\frac{51}{51}c^\frac{51}{51}=abcd^2}$$ Y sumando las 4 expresiones obtenemos ke: $TEX: $\displaystyle\frac{51a^4b+51b^4c+51c^4d+51d^4a}{51}\ge$$a^2bcd+ab^2cd+abc^2d+abcd^2$$ $TEX: $\Rightarrow$$a^4b+b^4c+c^4d+d^4a\ge$$abcd(a+b+c+d)$$ concluyendo asi lo pedido Resuelto por Caetano -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)