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demostrar la identidad: Funcion Beta- Funcion Gamma, [Calculo][Funciones Beta y Gamma] Resuelto por Ernesto Piwonka

Berja Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 4 2008, 11:30 PM Publicado: #1
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 18 Registrado: 22-January 08 Miembro Nº: 14.882 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: $\beta(x,y)=\dfrac{\Gamma x\Gamma y}{\Gamma{x+y}}$$ estoy que me rindo con esta demostracion, ayuda porfa

Ernesto Piwonka Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 5 2008, 08:55 AM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Gold Mensajes: 874 Registrado: 18-October 07 Desde: The Matrix... Miembro Nº: 11.478 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Berja @ Feb 5 2008, 02:26 AM) $TEX: $\beta(x,y)=\dfrac{\Gamma x\Gamma y}{\Gamma{x+y}}$$ estoy que me rindo con esta demostracion, ayuda porfa Sabemos que $TEX: \[<br />\beta \left( {x,y} \right) = 2\int\limits_0^{\pi /2} {\cos ^{2x - 1} \theta \operatorname{sen} ^{2y - 1} \theta d\theta } <br />\]$ y, ahora, sabiendo eso, partamos al revés: calculemos la expresión que resulta al multiplicar dos funciones gamma (de hecho, la función beta surge precisamente por esta motivación de "exponencializar" la función gamma): $TEX: \[<br />\Gamma \left( x \right)\Gamma \left( y \right) = \left( {\int\limits_0^\infty {t^{x - 1} e^{ - t} dt} } \right)\left( {\int\limits_0^\infty {s^{y - 1} e^{ - s} ds} } \right) = \int\limits_0^\infty {\int\limits_0^\infty {t^{x - 1} s^{y - 1} e^{ - \left( {t + s} \right)} dtds} } <br />\]$ Hagamos ahora el siguiente cambio (con la intención de luego pasar a polares, como se verá): $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \left. \begin{gathered}<br /> t = u^2 \hfill \\<br /> s = v^2 \hfill \\ <br />\end{gathered} \right\}\therefore dtds = 4uvdudv \hfill \\<br /> \therefore \Gamma \left( x \right)\Gamma \left( y \right) = 4\int\limits_0^\infty {\int\limits_0^\infty {u^{2x - 2} v^{2y - 2} e^{ - \left( {u^2 + v^2 } \right)} uvdudv} } = 4\int\limits_0^\infty {\int\limits_0^\infty {u^{2x - 1} v^{2y - 1} e^{ - \left( {u^2 + v^2 } \right)} dudv} } \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ y ahora hagamos (¡evidentemente!) $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \left. \begin{gathered}<br /> u = r\cos \theta \hfill \\<br /> v = r\operatorname{sen} \theta \hfill \\ <br />\end{gathered} \right\}\therefore dudv = rdrd\theta \hfill \\<br /> \therefore \Gamma \left( x \right)\Gamma \left( y \right) = 4\int\limits_0^{\pi /2} {\int\limits_0^\infty {\left( {r\cos \theta } \right)^{2x - 1} \left( {r\operatorname{sen} \theta } \right)^{2y - 1} e^{ - r^2 } rdrd\theta } } = \hfill \\<br /> = 4\int\limits_0^{\pi /2} {\int\limits_0^\infty {r^{2x + 2y - 1} e^{ - r^2 } \cos ^{2x - 1} \theta \operatorname{sen} ^{2y - 1} \theta drd\theta } } = \hfill \\<br /> = 4\left( {\int\limits_0^{\pi /2} {\cos ^{2x - 1} \theta \operatorname{sen} ^{2y - 1} \theta d\theta } } \right)\left( {\int\limits_0^\infty {r^{2x + 2y - 1} e^{ - r^2 } dr} } \right) \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ Ya se ve que va tomando la forma deseada... por último, hagamos un nuevo cambio de variables: $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> r^2 = w \Rightarrow r = w^{1/2} \Rightarrow dr = \frac{{w^{ - 1/2} }}<br />{2}dw \hfill \\<br /> \therefore \therefore \Gamma \left( x \right)\Gamma \left( y \right) = \left( {2\int\limits_0^{\pi /2} {\cos ^{2x - 1} \theta \operatorname{sen} ^{2y - 1} \theta d\theta } } \right)\left( {\int\limits_0^\infty {w^{x + y - \frac{1}<br />{2}} e^{ - w} w^{ - 1/2} dw} } \right) = \hfill \\<br /> = \underbrace {\left( {2\int\limits_0^{\pi /2} {\cos ^{2x - 1} \theta \operatorname{sen} ^{2y - 1} \theta d\theta } } \right)}_{\beta \left( {x,y} \right)}\underbrace {\left( {\int\limits_0^\infty {w^{x + y - 1} e^{ - w} dw} } \right)}_{\Gamma \left( {x + y} \right)} = \beta \left( {x,y} \right)\Gamma \left( {x + y} \right) \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ de donde, finalmente, $TEX: \[<br />\beta \left( {x,y} \right) = \frac{{\Gamma \left( x \right)\Gamma \left( y \right)}}<br />{{\Gamma \left( {x + y} \right)}}<br />\]$ -------------------- Saludos, EPC http://epiwonka.blogspot.com

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 5 2008, 10:58 AM Publicado: #3
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	Solamente agregar dos cosas: Se define la función Beta para $TEX: $x,y>0$$ como $TEX: $$\beta(x,y)=\int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt.$$$ Ahora definamos el cambio $TEX: $t = \operatorname{sen} ^2 \varphi \implies dt = 2\operatorname{sen} \varphi \cos \varphi \,d\varphi ,$$ la función es equivalente a $TEX: $$\beta (x,y) = 2\int_0^{\pi/2} {\operatorname{sen} ^{2x - 1} (\varphi )\cos ^{2y - 1} (\varphi )\,d\varphi } ,$$$ y la nueva región de integración al efectuar la transformación polar se ve puesto que $TEX: $(u,v)$$ están tomados en el primer cuadrante. Saludos

linzmayer15 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 25 2009, 05:20 PM Publicado: #4
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1 Registrado: 12-July 08 Miembro Nº: 29.805	Y SIN UTILIZAR INTEGRALES DOBLES COMO SE PODRÍA HACER?

madd Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 20 2011, 09:10 PM Publicado: #5
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 20 Registrado: 21-April 08 Miembro Nº: 20.686 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: <br />\parindent=0pt \textbf{Demostración.} Recordemos que $\forall u>0$<br /> $$\Gamma(u)=\int_{0}^{+\infty}x^{u-1}e^{-x}\;dx$$<br /> \begin{center}<br /> Sea $x=ay$ tal que $dx=ady$<br /> \end{center}<br /> Entonces<br /> $$\Gamma(u)=\int_{0}^{+\infty}x^{u-1}e^{-x}\;dx<br /> =\int_{0}^{+\infty}\left(ay\right)^{u-1}e^{-ay}\;ady<br /> =a^{u}\int_{0}^{+\infty}y^{u-1}e^{-ay}\;dy$$<br /> Por lo tanto<br /> $$\fbox{$\displaystyle \frac{1}{a^{u}}=\frac{1}{\Gamma(u)}\int_{0}^{+\infty}y^{u-1}e^{-ay}\;dy$}$$<br /> Utilizando el resultado anterior vemos que si $a=1+x$ y $u=p+q$, entonces<br /> $$\frac{1}{\left(1+x\right)^{p+q}}=\frac{1}{\Gamma(p+q)}\int_{0}^{+\infty}y^{p+q-1}e^{-(1+x)y}\;dy$$<br /> Por lo tanto\\<br /><br /> $\displaystyle \beta(p,q)=\int_{0}^{+\infty}\frac{x^{p-1}}{\left(1+x\right)^{p+q}}\;dx<br /> =\int_{0}^{+\infty}x^{p-1}\left[\frac{1}{\left(1+x\right)^{p+q}}\right]\;dx$<br /><br /> \parindent=1.29cm $\displaystyle<br /> =\int_{0}^{+\infty}x^{p-1}\left[\frac{1}{\Gamma(p+q)}\int_{0}^{+\infty}y^{p+q-1}e^{-(1+x)y}\;dy\right]\;dx$<br /><br /> \parindent=1.29cm $\displaystyle<br /> =\frac{1}{\Gamma(p+q)}\int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty}x^{p-1}y^{p+q-1}e^{-(1+x)y}\;dxdy$<br /><br /> \parindent=1.29cm $\displaystyle<br /> =\frac{1}{\Gamma(p+q)}\int_{0}^{+\infty}\left(\int_{0}^{+\infty}x^{p-1}y^{p+q-1}e^{-(1+x)y}\;dx\right)dy$\\<br /><br /> \parindent=0pt Escribamos $\displaystyle \chi=\int_{0}^{+\infty}x^{p-1}y^{p+q-1}e^{-(1+x)y}\;dx$ y hagamos el<br /> siguiente cambio de variable:<br /> \begin{center}<br /> Sea $\displaystyle x=\frac{t}{y}$ tal que $\displaystyle dt=ydx$<br /> \end{center}<br /> Entonces<br /> <br /> $\displaystyle \chi=\int_{0}^{+\infty}x^{p-1}y^{p+q-1}e^{-(1+x)y}\;dx<br /> =\int_{0}^{+\infty}\left(\frac{t}{y}\right)^{p-1}y^{p+q-1}e^{-\left(1+\frac{t}{y}\right)y}\;\frac{dt}{y}$<br /> <br /> \parindent=0.38cm $\displaystyle <br /> =\int_{0}^{+\infty}\frac{t^{p-1}}{y^{p-1}}y^{p-1}y^{q}e^{-y-t}\;\frac{dt}{y}<br /> =y^{q-1}e^{-y}\int_{0}^{+\infty}t^{p-1}e^{-t}\;dt<br /> =y^{q-1}e^{-y}\Gamma(p)$<br /> <br /> \parindent=0pt Por lo tanto<br /> <br /> $\displaystyle \beta(p,q)=\frac{1}{\Gamma(p+q)}\int_{0}^{+\infty}y^{q-1}e^{-y}\Gamma(p)\;dy<br /> =\frac{\Gamma(p)}{\Gamma(p+q)}\int_{0}^{+\infty}y^{q-1}e^{-y}\;dy<br /> =\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}$<br /><br />$

madd Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 20 2011, 09:12 PM Publicado: #6
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 20 Registrado: 21-April 08 Miembro Nº: 20.686 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: <br /><br />\parindent=0.38cm $\displaystyle <br /> =\int_{0}^{+\infty}\frac{t^{p-1}}{y^{p-1}}y^{p-1}y^{q}e^{-y-t}\;\frac{dt}{y}<br /> =y^{q-1}e^{-y}\int_{0}^{+\infty}t^{p-1}e^{-t}\;dt<br /> =y^{q-1}e^{-y}\Gamma(p)$\\<br /> <br /> \parindent=0pt Por lo tanto<br /> <br /> $\displaystyle \beta(p,q)=\frac{1}{\Gamma(p+q)}\int_{0}^{+\infty}y^{q-1}e^{-y}\Gamma(p)\;dy<br /> =\frac{\Gamma(p)}{\Gamma(p+q)}\int_{0}^{+\infty}y^{q-1}e^{-y}\;dy$<br /> <br /> \parindent=1.29cm $\displaystyle<br /> =\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}$ <br /><br />$ Saludos Mensaje modificado por madd el Jul 20 2011, 09:32 PM

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