Uno que fue propuesto para una canadiense

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Mahoma Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 31 2008, 06:47 PM Publicado: #1
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 13 Registrado: 31-December 07 Desde: Arrabiarrazaza Miembro Nº: 14.226 Sexo:	$TEX: Si $x_0=5$ y $x_{n+1}=x_n+\displaystyle\frac{1}{x_n}$ , pruebe que$ $TEX: $45<x_{1000}<45.1$$ -------------------- "Si te vieres rodeado de mucha gente ignorante, no te envanezcas por lo que sabes, más bien mira a los que te superan en conocimientos y verás que aún no eres lo que te imaginas ser; y estas por debajo de muchos."

pprimo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 21 2017, 06:01 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 817 Registrado: 21-February 14 Miembro Nº: 127.064	Dejo pendiente la cota superior, la inferior es facil ver que si elevamos al cuadrado se obtiene $TEX: $$x_{n+1}=x_{n}+\frac{1}{x_{n}}\Rightarrow x_{n+1}^{2}=x_{n}^{2}+\frac{1}{x_{n}^{2}}+2\ge x_{n}^{2}+2$$$ entonces si sumamos miembro a miembro para n terminos obtenemos $TEX: $$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+x_{n-1}^{2}+x_{n}^{2}>\left( x_{0}^{2}+2 \right)+\left( x_{1}^{2}+2 \right)+...+\left( x_{n-1}^{2}+2 \right)=x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+...+x_{n-2}^{2}+x_{n-1}^{2}+2n$$$ lo que implica $TEX: $$x_{n}^{2}>x_{0}^{2}+2n\underbrace{\Rightarrow }_{n=1000}x_{1000}>\sqrt{x_{0}^{2}+2\cdot 1000}=\sqrt{5^{2}+2\cdot 5^{2}\cdot 40}=5\cdot 9=45$$$

pprimo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 21 2017, 06:13 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 817 Registrado: 21-February 14 Miembro Nº: 127.064	cota superior sabemos que $TEX: $$x_{n+1}^{2}=x_{n}^{2}+\frac{1}{x_{n}^{2}}+2\underbrace{\le }_{\frac{1}{x_{n}^{2}}\le \frac{1}{x_{0}^{2}+2n}}x_{n}^{2}+2+\frac{1}{x_{0}^{2}+2n}=x_{n}^{2}+2+\frac{1}{5^{2}+2n}$$$ $TEX: $$x_{n+1}^{2}\le x_{n}^{2}+2+\frac{1}{5^{2}+2n}$$$ $TEX: $$x_{n+1}^{2}+x_{n}^{2}+...+x_{2}^{2}+x_{1}^{2}\le \left( x_{n}^{2}+2+\frac{1}{5^{2}+2n} \right)+\left( x_{n-1}^{2}+2+\frac{1}{5^{2}+2\left( n-1 \right)} \right)+...+\left( x_{0}^{2}+2+\frac{1}{5^{2}+2\cdot 0} \right)$$$ $TEX: $$x_{n+1}^{2}\le 5^{2}+\left( 2+\frac{1}{5^{2}+2n} \right)+\left( 2+\frac{1}{5^{2}+2\left( n-1 \right)} \right)+...+\left( 2+\frac{1}{5^{2}+2\cdot 0} \right)$$$ $TEX: $$x_{n+1}^{2}\le 5^{2}+2\left( n+1 \right)+\left( \frac{1}{5^{2}+2n}+\frac{1}{5^{2}+2\left( n-1 \right)}+...+\frac{1}{5^{2}+2\cdot 0} \right)$$$ $TEX: $$x_{n+1}^{2}\le 5^{2}+2\left( n+1 \right)+\sum\limits_{j=0}^{n}{\frac{1}{25+2j}}$$$ $TEX: $$x_{1000}\le \sqrt{5^{2}+2\cdot 1000+\sum\limits_{j=0}^{999}{\frac{1}{25+2j}}}$$$ me falta rematarlo

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