Todo sobre derivadas ( archivo PDF ) - Foro fmat.cl

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Todo sobre derivadas ( archivo PDF ), Para aprender desde lo más básico.

Ictio Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 31 2008, 02:03 AM Publicado: #11
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 309 Registrado: 28-July 07 Desde: Copiapó-Santiago Miembro Nº: 7.899 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(dany_nash @ Jan 31 2008, 03:34 AM) muy buen aporte, y bien compactada toda la materia . Entendi todo menos como llegaste a esos resultados de las funciones arcos busque en paginas de calculo , pero me fue imposible entender. Plis si puedes explicarme seria genial =).. de ante mano muchas gracias.. Adios Wena dany xD $TEX: Las derivadas de las funciones arcos se basan en algunas identidades. Hagamos, 2, la de arcsen y la de arctan. Las demostraciones para las otras son análogas\\<br /><br />\noindent Sea $y=\arctan x$\\<br />Sabemos que:\\<br />\begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />x &=\tan y \qquad \Big/ Aplicamos \ \dfrac{d}{dx}\\<br />1 &=\dfrac{d}{dx}[ \tan y] \qquad \Big/ Deriv. \ Implicita\\<br />1 &=\dfrac{d}{dy}[ \tan y] \cdot \dfrac{dy}{dx}\\<br />1 &=\sec^2 y \cdot \dfrac{dy}{dx} \qquad \Big/ \text{pero y=?}\\<br />1 &=\sec^2 (\arctan x) \cdot \dfrac{dy}{dx}<br />\end{aligned}<br />\end{equation}<br />Consideremos $\tan^2 \theta + 1=\sec^2 \theta$\\<br />Tomemos esto para $\theta=\arctan x$<br />$$\tan^2 (\arctan x) +1 = \sec^2 (\arctan x)$$<br />$$x^2+1 = \sec^2 (\arctan x)$$\\<br />Basta reemplazar y nos queda<br /><br />$$1=(x^2+1) \cdot \dfrac{dy}{dx} \text{ De donde:}$$<br />$$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{x^2+1}$$\\<br /><br /><br />$\therefore \dfrac{d}{dx} [ \arctan x] = \dfrac{1}{x^2+1} \blacksquare$$ --------------------

Ictio Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 31 2008, 02:12 AM Publicado: #12
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 309 Registrado: 28-July 07 Desde: Copiapó-Santiago Miembro Nº: 7.899 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Ahora el seno D: $TEX: Sea $y=\arcsin x$<br />\begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />x &= \sin y \qquad \big/ \frac{d}{dx}\\<br />1 &= \dfrac{d}{dx} \sin y\\<br />1 &= \dfrac{d}{dy} \sin y \cdot \dfrac{dy}{dx}\\<br />1 &= \cos y \cdot \dfrac{dy}{dx}\\<br />1 &= \cos (\arcsin x) \cdot \dfrac{dy}{dx}<br />\end{aligned}<br />\end{equation}<br />Por otro lado:\\<br />$\cos^2 \theta+\sin^2 \theta =1$\\<br />$\cos \theta = \sqrt{1-\sin^2 \theta}$\\<br /><br />Con $\theta =\arcsin x$\\<br />$$\cos (\arcsin x) = \sqrt{1- \sin^2 (\arcsin x)}$$<br />$$\cos (\arcsin x) = \sqrt{1-x^2}$$\\<br /><br />Se tiene:<br />$$1= \sqrt{1-x^2} \cdot \dfrac{dy}{dx}$$<br />$$\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}=\dfrac{dy}{dx}$$\\<br /><br />$\dfrac{d}{dx} [\arcsin x]= \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \blacksquare$$ Ahí te puedes entretener haciendo las otras --------------------

Felip Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 31 2008, 08:14 AM Publicado: #13
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Gold Mensajes: 1.374 Registrado: 22-July 06 Desde: San Ramon Miembro Nº: 1.746 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Muy buen Material que aún no veía!! Se agradece este gran aporte como todos los otros que has entregado al foro Itachi!!!! -------------------- Segundo en olimpíadas de Física Región Metropolitana Nivel Tercero Medio, 2006. Cuarto en olimpíadas de Física Región Metropolitana Nivel Cuarto Medio, 2007. Mejor egresado Instituto Nacional generación 2007 Puntaje Nacional en PSU de Matemáticas 2007, con 850 puntos. Mejor egresado de Ingeniería Civil PUC 2014, con promedio 6,6.

goku18 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 31 2008, 10:51 AM Publicado: #14
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 15 Registrado: 24-May 07 Desde: mi casita Miembro Nº: 6.136 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	muy buen material !!

miilaa.laa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 31 2008, 11:00 AM Publicado: #15
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 30 Registrado: 8-December 07 Desde: SAN FELIPE- de valpo! Miembro Nº: 13.677 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	gracias!! ta muy bueno el aporte!! -------------------- \|\|\|.½ #·»¤°©åM!!L€tå °¤«·# ½.\|\|\|

kbzoon Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 31 2008, 11:08 AM Publicado: #16
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Platinum Mensajes: 1.627 Registrado: 11-October 07 Desde: Suburbios de Conchalí Miembro Nº: 11.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	excelente contribucion al foro!!! te las mandaste biejo..mui weno el material...felicitaciones!!! saludos..y gracias... -------------------- Injeniería de Minas. The best SpaceDream Radio ever

Uchiha Itachi Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 31 2008, 12:32 PM Publicado: #17
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 4.857 Registrado: 2-January 08 Miembro Nº: 14.268 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Muy buena explicacion ictio ^^ Saludos -------------------- Candidato a doctor en Cs. De la ingeniería mención modelamiento matemático, DIM. Universidad de Chile Magíster en ciencias mención matemática, Profesor de estado en matemáticas y computación, Licenciado en educación matemáticas y computación, USACH

Uchiha Itachi Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 31 2008, 03:46 PM Publicado: #18
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 4.857 Registrado: 2-January 08 Miembro Nº: 14.268 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Hola aca van ejercicios de resumen : 1) Derive : a) $TEX: \[<br />3x^2 + 5x^7 + x = y<br />\]$ entonces la derivada quedaria ocupando la formula: $TEX: \[<br />x^n = nx^{n - 1} <br />\]$ $TEX: \[<br />6x + 35x^6 + 1 = y'<br />\]$ b) $TEX: \[<br />f(x) = \frac{{x^2 }}<br />{2}\cos ec(2x)<br />\]$ ocupando la formula del producto y de cosecante : $TEX: \[<br />u \bullet v = u'v + uv' \wedge \cos ec(v) = - \cot g(v)\cos ec(v)<br />\]$ con u y v funciones de misma variable nos queda: $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> y' = \left( {\frac{{x^2 }}<br />{2}} \right)^\prime \cos ec(2x) + \left( {\frac{{x^2 }}<br />{2}} \right)(\cos ec(2x))' \hfill \\<br /> y' = x\cos ec(2x) - \left[ {\left( {\frac{{x^2 }}<br />{2}} \right)\cos ec(2x)\cot g(2x)} \right]2 \hfill \\<br /> y' = x\cos ec(2x) - x^2 \cos ec(2x)\cot g(2x) \hfill \\<br /> y' = x\cos ec(2x)\left[ {1 - x\cot g(2x)} \right] \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ c) $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> f(x) = xsen(x) + x^2 \cos (x) \hfill \\<br /> y' = sen(x) + x\cos (x) + 2x\cos (x) - x^2 sen(x) \hfill \\<br /> y' = sen(x)\left[ {1 - x^2 } \right] + 3x\cos (x) \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ d) $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> f(x) = sen^3 (x) \Leftrightarrow f(x) = \left( {sen(x)} \right)^3 \hfill \\<br /> y' = 3sen^2 (x)\cos (x) \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ e) demostrar que $TEX: \[<br />y = \frac{{x - e^{ - x^2 } }}<br />{{2x^2 }}<br />\]$ satisface la ecuacion: $TEX: \[<br />xy' + 2y = e^{ - x^2 } + \frac{1}<br />{{2x}}<br />\]$ entonces derivamos la funcion : $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> y = \frac{{x - e^{ - x^2 } }}<br />{{2x^2 }} \hfill \\<br /> y' = \frac{{(2x^2 )(x - e^{ - x^2 } )' - (x - e^{ - x^2 } )(2x^2 )'}}<br />{{4x^4 }} \hfill \\<br /> y' = \frac{{(2x^2 )(1 + 2xe^{ - x^2 } ) - (x - e^{ - x^2 } )(4x)}}<br />{{4x^4 }} \hfill \\<br /> y' = \frac{{2x^2 + 4x^3 e^{ - x^2 } - 4x^2 + 4xe^{ - x^2 } }}<br />{{4x^4 }} \hfill \\<br /> y' = \frac{{(2x)(x + 2x^2 e^{ - x^2 } - 2x + 2e^{ - x^2 } )}}<br />{{4x^4 }} \hfill \\<br /> y' = \frac{{x + 2x^2 e^{ - x^2 } - 2x + 2e^{ - x^2 } }}<br />{{2x^3 }} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ y la reemplazamos en la ecuacion que nos indican: $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> xy' + 2y = e^{ - x^2 } + \frac{1}<br />{{2x}} \hfill \\<br /> \frac{{x + 2x^2 e^{ - x^2 } - 2x + 2e^{ - x^2 } }}<br />{{2x^2 }} + 2y = \frac{{2xe^{ - x^2 } + 1}}<br />{{2x}} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ luego tambien reemplzamos la funcion sin derivar y resolvermos: $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \frac{{x + 2x^2 e^{ - x^2 } - 2x + 2e^{ - x^2 } }}<br />{{2x^2 }} + 2\left[ {\frac{{x - e^{ - x^2 } }}<br />{{2x^2 }}} \right] = \frac{{2xe^{ - x^2 } + 1}}<br />{{2x}} \hfill \\<br /> \frac{{x + 2x^2 e^{ - x^2 } - 2x + 2e^{ - x^2 } }}<br />{{2x^2 }} + \frac{{x - e^{ - x^2 } }}<br />{{x^2 }} = \frac{{2xe^{ - x^2 } + 1}}<br />{{2x}} \hfill \\<br /> \frac{{x + 2x^2 e^{ - x^2 } - 2x + 2e^{ - x^2 } + 2x - 2e^{ - x^2 } }}<br />{{2x^2 }} = \frac{{2xe^{ - x^2 } + 1}}<br />{{2x}} \hfill \\<br /> \frac{{x + 2x^2 e^{ - x^2 } }}<br />{{2x^2 }} = \frac{{2xe^{ - x^2 } + 1}}<br />{{2x}} \hfill \\<br /> \frac{{1 + 2xe^{ - x^2 } }}<br />{{2x}} = \frac{{2xe^{ - x^2 } + 1}}<br />{{2x}} \hfill \\<br /> QUED \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ quedando demostrada la igualdad . 2) Derivacion implicita : a.1) $TEX: \[<br />x^3 + y^3 = 8<br />\]$ desarrollo : $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> x^3 + y^3 = 8/\frac{{dy}}<br />{{dx}} \hfill \\<br /> 3x^2 + 3y^2 y' = 0 \hfill \\<br /> y' = \frac{{ - 3x^2 }}<br />{{3y^2 }} = \frac{{ - x^2 }}<br />{{y^2 }} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ b.1) $TEX: \[<br />\sqrt {xy} = x - 2y<br />\]$ desarrollo : $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \sqrt {xy} = x - 2y \hfill \\<br /> (xy)^{1/2} = x - 2y \hfill \\<br /> \frac{1}<br />{2} \bullet (xy)^{ - 1/2} \bullet (y + xy') = 1 - 2y' \hfill \\<br /> \frac{{(y + xy')}}<br />{{2\sqrt {xy} }} = 1 - 2y'/\sqrt {xy} \hfill \\<br /> (y + xy') = (1 - 2y')\sqrt {xy} \hfill \\<br /> y' = \frac{{(1 - 2y')\sqrt {xy} - y}}<br />{x} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ c.1) demuestre sabiendo : $TEX: \[<br />x^3 y + y^4 = 2<br />\]$ se cumple la igualdad : $TEX: \[<br />x^3 y' + 3x^2 y + 4y^3 y' = 0<br />\]$ Desarrollo : derivando implicitamente : $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> x^3 y + y^4 = 2 \hfill \\<br /> x^3 y' + 3x^2 y + 4y^3 y' = 0 \hfill \\<br /> y'(x^3 + 4y^3 ) = - 3x^2 y \hfill \\<br /> y' = \frac{{ - 3x^2 y}}<br />{{x^3 + 4y^3 }} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ luego reemplazamos en la igualdad : $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> x^3 y' + 3x^2 y + 4y^3 y' = 0 \hfill \\<br /> x^3 \left( {\frac{{ - 3x^2 y}}<br />{{x^3 + 4y^3 }}} \right) + 3x^2 y + 4y^3 \left( {\frac{{ - 3x^2 y}}<br />{{x^3 + 4y^3 }}} \right) = 0 \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ y resolvemos quedando demostrado : $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \frac{{ - 3x^5 y}}<br />{{x^3 + 4y^3 }} + 3x^2 y + \frac{{ - 12x^2 y^4 }}<br />{{x^3 + 4y^3 }} = 0/x^3 + 4y^3 \hfill \\<br /> - 3x^5 y + 3x^5 y + 12x^2 y^4 - 12x^2 y^4 = 0 \hfill \\<br /> 0 = 0/QUED \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ Luego subo ejercicios resueltos de lo demas que falta ^^ Saludos Mensaje modificado por Uchiha Itachi el Feb 1 2008, 06:51 PM -------------------- Candidato a doctor en Cs. De la ingeniería mención modelamiento matemático, DIM. Universidad de Chile Magíster en ciencias mención matemática, Profesor de estado en matemáticas y computación, Licenciado en educación matemáticas y computación, USACH

dany_nash Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 31 2008, 04:45 PM Publicado: #19
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 175 Registrado: 15-February 07 Desde: santiago Miembro Nº: 4.080 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	ooo vale ictio te pasaste =) ahora me qedo claro xD Adios. -------------------- "En hesta frase eccisten tres errores",, cuales son ????

Eguvi Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 2 2008, 11:22 AM Publicado: #20
Dios Matemático Supremo Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 944 Registrado: 25-January 07 Desde: Av. España #1680 - Valparadisee :P Miembro Nº: 3.878 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Excelente aporte, se agradece la preocupación por los que nos iniciamos en este tema! -------------------- Estudiante de Ing. Civil Industrial - III año Universidad Técnica Federico Santa María CITA(egadobkn @ Mar 24 2010, 06:45 PM) olaaa me llamo edgardo y me la como atravesá =P=P=P=P

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