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I2 Geometría, MAT1102 1S 2007

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EnnaFrad Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 24 2008, 01:31 PM Publicado: #1
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 121 Registrado: 6-December 05 Desde: Las Condes - Chillán Miembro Nº: 460 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \noindent<br />MAT1102 - INTERROGACIÓN 2 \\<br />2 de Mayo de 2007 \\<br />$ $ \\<br />$\boxed{1}$ \\<br />(i) Demuestre que, si $\omega$ es la raíz cúbica principal de la unidad, entonces $$(1-\omega)(1-\omega^2)(1-\omega^4)(1-\omega^5)(1-\omega^7)(1-\omega^8)=3^3$$<br />$ $ \\<br />(ii) Determine el valor de $\left\|{\dfrac{z_1}{z_2}}\right\|$ sabiendo que $\dfrac{z_1+z_2}{z_1-z_2} = 1-2i$ \\<br />$ $ \\<br />$\boxed{2}$ \\<br />(i) Determine el lugar geométrico que describe el complejo $z$ si el complejo: \\<br />$$t=\dfrac{z+1+i}{z-1-i},$$<br />es un imaginario puro. \\<br />$ $ \\<br />(ii) ¿Qué lugar geométrico para los puntos $P(z)$ representa la ecuación:<br />$$\left \|z+2-4i \right\| = \left \| 3z-18+12i \right\| ?$$<br />Haga el gr\'afico respectivo encontrando los elementos fundamentales. \\<br />$ $ \\<br />$\boxed{3}$ Dado el tri\'angulo de v\'ertices $A(4,10)$, $B(-4,-6)$, $C(0,-8)$, calcule las longitudes de sus lados $a=BC$, $b=CA$, $c=AB$; determine si es o no un triángulo rectángulo y si o no es un triángulo isóceles. Calcule las coordenadas de su centro de gravedad $G$ y de su circuncentro $S$. Calcule su área $\triangle$ (por ejemplo, usando Herón), su circunradio $r$, la longitud de la transversal de gravedad $t_a$, correspondiente al vértice $A$, y por último verifique las fórmulas $4{t^2}_a + a^2 = 2b^2 + 2c^2$ y $\triangle = \dfrac{abc}{4r}$ \\<br />$ $ \\<br />$\boxed{4}$ Dado el trapecio $ABCD$ demuestre vectorialmente que el trazo que une los puntos medios de los lados no paralelos $AD$ y $BC$: \\<br />(i) es paralelo a las bases $AB$ y $CD$, \\<br />(ii) es igual a la semisuma de las bases $AB$ y $CD$, \\<br />(iii) dimidia a las diagonales.<br />$ Mensaje modificado por EnnaFrad el Jan 24 2008, 01:34 PM

Guía Rojo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 2 2008, 12:55 AM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 903 Registrado: 28-May 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 69 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(EnnaFrad @ Jan 24 2008, 02:31 PM) $TEX: \noindent <br />$\boxed{1}$ \\<br />(i) Demuestre que, si $\omega$ es la raíz cúbica principal de la unidad, entonces $$(1-\omega)(1-\omega^2)(1-\omega^4)(1-\omega^5)(1-\omega^7)(1-\omega^8)=3^3$$<br />$ $ \\<br />(ii) Determine el valor de $\left\|{\dfrac{z_1}{z_2}}\right\|$ sabiendo que $\dfrac{z_1+z_2}{z_1-z_2} = 1-2i$ \\<br />$ $TEX: \noindent (i) Como $\omega $ representa la raíz cúbica principal de la unidad, es soluci\'on de la ecuación $x^3-1=0$, equivalente a $(x-1)(x^2+x+1)=0$. No es soluci\'on de $x-1=0$, por lo que $\omega $ soluciona la ecuaci\'on $x^2+x+1=0$, y luego se deduce la igualdad $\omega +\omega ^2=-1$.\\<br />\\<br />Por definici\'on, $\omega ^3=1$, y por tanto $\omega ^7=\omega ^4=\omega $ , $\omega ^8=\omega ^5=\omega ^2$\\<br />\\<br />Luego, $(1-\omega )(1-\omega ^2)(1-\omega ^4)(1-\omega ^5)(1-\omega ^7)(1-\omega ^8)=\left[(1-\omega )(1-\omega ^2)\right]^3$\\<br />\\<br />Finally, $\left[(1-\omega )(1-\omega ^2)\right]^3=\left[1-(\omega +\omega ^2)+\omega ^3\right]^3=\left[1-(-1)+1\right]^3=3^3$\\<br />\\<br />\\<br />(ii) $\ \dfrac{z_1+z_2}{z_1-z_2}=1-2i\ \Longleftrightarrow \ 1-\dfrac{2z_2}{z_2-z_1}=1-2i\ \Longleftrightarrow \ \dfrac{z_2}{z_2-z_1}=i$\\<br />\\<br />$\Longleftrightarrow \ 1-\dfrac{z_1}{z_2}=-i\ \Longleftrightarrow \ \dfrac{z_1}{z_2}=1+i$\\<br />\\<br />Luego, $\left\|\dfrac{z_1}{z_2}\right\|=\sqrt{(1+i)\cdot \overline{(1+i)}}=\sqrt{(1+i)\cdot (1-i)}=\sqrt{2}$$ saludos -------------------- Bachiller en Ciencias (ex) Estudiante de Medicina Estudiante de Ingeniería Civil de Industrias, diploma en Ingeniería Matemática Pontificia Universidad Católica de Chile "El espíritu del matemático busca la belleza del pensamiento, y esa va de la mano con la filosofía." - Héctor Hardy Pastén Vásquez "¿Qué te hace pensar que si tienes dos elementos de un conjunto con otros dos elementos de otro conjunto se origina uno nuevo con cuatro? Es sólo el sentido común, no te imaginas que los elementos aparecen de la nada, pero resulta que con el sólo hecho de cuestionar el sentido común, se podría afirmar que cuando juntas cuatro elementos aparecen miles de elementos más. Y si lo demuestras, todo se basa en la razón." - Alonso Duque Vega, razonador por excelencia $TEX: $S=1+dfrac{1}{2}+dfrac{1}{3}+dfrac{1}{4}+dfrac{1}{5}+ldots$$ Esta serie converge! He encontrado una maravillosa demostración de esto, pero no cabe en la estrechez de esta firma...

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