Segundo nivel individual Opciones

[Caetano]

Problema 1.
Durante los juegos olimpicos, cinco deportistas llamados Alma, Cristian, Dario, Bernardo y Erwin se reunen se reunen a comentar los resultados del dia. Respecto de saus dominios de los distintos idiomas, se sabe lo siguiente:

i)Bernardo y Cristian hablan en ingles, pero si se acerca Dario a conversar con ellos entonces deben hablar en español, unico idioma comun entre los tres

ii)El unico idioma comun entre Alma, Bernardo y Erwin es el frances.

iii)El unico idioma comun entre Cristian y Erwin es el italiano

iv)El idioma mas hablado es el español

v)Exactamente tres personas hablan portugues

vi)Una persona habla los cinco idiomas, otra habla solo cuatro, otra solo tres, otra solo dos y la otra restante solo uno.

Determine cuales idiomas habla cada persona

Problema 2.
Considere el triangulo ABC. Se trazan las alturas correspondientes a los vertices A y C. Estas se cortan en el pto H. Se sabe que AB=CH. Determinar el valor del <BCA.

[Corecrasher]

P2)



Sea ABC el triangulo con las características del enunciado , E y D los pies de las alturas lanzadas desde C y A respectivamente , H el ortocentro. Definimos el ángulo HCD como β y por la existencia del ángulo HDC , CHD=90- β ; notemos que AHE=CHD por ser ángulos opuestos por el vértice y por AEH=90 , HAE= β. Fijémonos que el ángulo AHD=180 ,por lo tanto EHD=90+β , por lo tanto EBD=90- β (Ya que EBD+EHD=180). Por criterio ALA , el triangulo ADB es congruente al CDH por AB=HC , así que AD=CD , con lo que podemos afirmar que el triangulo ACD es isósceles en D , así DAC=ACD=45. El ángulo ACD mide 45º. Q.E.D.

[S. E. Puelma Moy...]

Estás asumiendo que el punto se encuentra en el interior del triángulo, tienes que ponerte ahora en el otro caso...

[Corecrasher]

Sea ABC el triangulo descrito en el enunciado y H el ortocentro, Z ,W e Y los pies de altura de los vértices B, A y C respectivamente.Definimos el ángulo BAC=β y por BZA=90 , ABZ=90- β; notemos que WBH=ABZ por ser ángulos opuestos por el vértice , por lo tanto BHW= β. Fijémonos en el ángulo HBZ y en el HBW, para que se cumpla HBZ=180 WBZ debe ser igual a 90+ β, por lo mismo WCZ=90- β. Por criterio ALA el triangulo ZHC es congruente al triangulo ZAB, por lo que HZ=AZ con lo que podemos afirmar que el triangulo HZA es isósceles en Z ,concluimos que 2α=90, α=45. Q.D.Q. el ángulo AHC=45, fijémonos de igual forma que HBY=45=CBZ, por lo tanto BCA=45.

Q.E.D.

[S. E. Puelma Moy...]

Insisto en lo que dije antes, faltan casos

[S. E. Puelma Moy...]

Ya tenemos dos casos, con dentro del , y con dentro del ... ¿No parece que faltan unos dos casos más?

Creo que en uno de los casos hay una sorpresa que llama la atención... me parece que no fui muy claro antes, espero que ahora se entienda mejor lo que estoy diciendo

[Jaime sscc]

ya, analizaremos x idomas, puesto qeu es mas facil de explicarlo de esta forma

Ingles:
este caso no posee mayor atracción, por enunciado se sabe qeu cristian y bernardo hablan ingles

Español:
ya, aki hay algunas cosillas, x enunciado se sabe qeu bernardo ,cristian, y dario hablan español, pero se sabe qeu español es el idoma mas hablado, y como el frances tambien tiene 3 personas,(el enunciado lo dice) alma o erwin deben hablar español, pero erwin solo tiene en comun el italiano con cristian asi qeu alma habla español.

Francés:
sin otro particular qeu el enunciado,*cristian no puede hablar frances xq el uniko idioma en comun entre cristian y erwin es el italiano y erwin habla frances

Italiano:
por enunciado cristian y erwin hablan italiano pero para poder satisfacer de que alguien hable los 5 idomas bernardo habla italiano x * haciendo qeu cristian solo hable 4

Portugués:
ya, descartamos a dario, xq sino no tendriamos a alguien que solo hable un idioma, x enunciado sabemos qeu no pueden ser alma , bernardo y erwin al mismo tiempo, entoncves solo deven ser 2 pero si dejamos a erwin , no podemos poner a cristian que solo tiene en comun con él el italiano, entonces dejamos a Alma , a Cristian y a bernardo .

Fianlmente:

Dario=1=Español
Erwin=2=Frances e Italiano
Alma=3=Español, Frances y Portugues
Cristian=4= Ingles, Español, Italiano y portugues
Bernardo=5=Ingles, Español, Frances,Italiano y portugues

Bueno eso es, Ojala este correcto, es lo qeu creo, critica o cualuqier cosa digan nomas, salu2
Jaime Soza /Ss.Cc.//