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Control 3, Matemáticas 3 - 2008

Ictio Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 18 2008, 09:29 PM Publicado: #1
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 309 Registrado: 28-July 07 Desde: Copiapó-Santiago Miembro Nº: 7.899 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Nuevamente Ictio a su servicio... $TEX: \noindent \fbox{P1} \\<br /><br />\noindent (a) Calcule los siguientes l\'imites, si existen. \\<br />\indent (i) $\displaystyle \lim_{n\to \infty} \sqrt{n^2+n} - n$ \\<br />\indent (ii) $\displaystyle \lim_{n\to \infty} \dfrac{n(-1)^n}{1-(n+3)^4}$ \\<br /><br />\noindent (b) Usando la definici\'on de l\'imite, demuestre que: \\<br />$$\displaystyle \lim_{n\to \infty} \dfrac{4n^2+1}{2n^2}=2$$ \\<br />\noindent \fbox{P2} \\<br /><br />\indent (a) Sea $a \in \mathbb R$. Se define la funci\'on $f: \mathbb R \to \mathbb R$ por: \\<br />$$f(x) = \begin{cases}<br />\frac{x-1}{x^2-1} \ \text{si } x \in (-\infty , -1) \cup (1,+\infty)\\<br />a \qquad \text{si } x\in \{-1,1\} \\<br />\frac{x+1}{4x} \quad \text{si } x\in (-1,0)\cup (0,1) \\<br />0 \qquad \text{si } x=0<br />\end{cases}$$ \\<br />Encuentre el valor de $a$ para que la funci\'on sea continua en 1. Determine todos los puntos donde la funci\'on es continua, y todos aquellos donde no lo es. Determine si $f$ tiene as\'intotas y, si las tiene, encu\'entrelas. \\<br /><br />\indent (b) Calcule el siguiente l\'imite:\\<br />$$\displaystyle \lim_{x\to 0} \dfrac{4x^3(\operatorname{exp}(x)-1)}{(1-\cos (2x))^2}$$ \\$ $TEX: \noindent \fbox{P3} \\<br /><br />Sea $a\in (0,1)$. Considere la sucesi\'on:<br />\begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />a_1 &= a\\<br />a_{n+1} &= a_n(2-a_n)<br />\end{aligned}<br />\end{equation}<br /><br />\indent (a) Pruebe que $\left( \forall x\in \mathbb{R}_+\right) \quad x(1-x)\leq 1$. \\<br />\indent (b) Pruebe que $\left( \forall n\in \mathbb{N}_\right) \quad a_n \in (0,1)$. \\<br />\indent © Demuestre que $a_n$ es creciente y concluya que es convergente. \\<br />\indent (d) Calcule su l\'imite $\textbf{Hint: } \text{Recuerde que } a_n \to l \implies a_{n+1} \to l$$ No estaba tan difícil, de hecho... me fue BASTANTE mejor que en el control 2 xDDD (al final obtuve un glorioso 4.6) El P2b estaba cabron... como para pensarlo.. de hecho no lo hice... pero es cabon porque hay que estar atento Ojalá ke les haya ido bien. Razón de edición: Límites del P1a Razón de edición (2): P1a.(ii). era elevado a 4 no a 2 Mensaje modificado por Ictio* el Jan 18 2008, 11:06 PM --------------------

JoNy_SaTiE Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 18 2008, 09:31 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Gold Mensajes: 1.118 Registrado: 11-September 05 Desde: Valdivia/Ancud Miembro Nº: 302 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Oye te faltó poner hacia dónde tiende ene en los primeros límites. -------------------- Comienza a crear documentos con LaTeX. Ya usas LaTeX y quieres aprender un poco más ... pincha aquí Si eres de la UaCH ... únete a la causa !!! J. Jonathan H. Oberreuter A. Universidad Austral de Chile - RWTH Aachen alumni Est. Magister en Acústica y Vibraciones Ingeniero Civil Acústico (E) Bachiller y Licenciado en Cs. de la Ingeniería

Ictio Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 18 2008, 09:33 PM Publicado: #3
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 309 Registrado: 28-July 07 Desde: Copiapó-Santiago Miembro Nº: 7.899 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(JoNy_SaTiE @ Jan 19 2008, 12:31 AM) Oye te faltó poner hacia dónde tiende ene en los primeros límites. De hecho la hoja venía así tal cual, cuando preguntaron nos dijeron que es cuando $TEX: $$n\to \infty$$$ --------------------

JoNy_SaTiE Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 18 2008, 09:44 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Gold Mensajes: 1.118 Registrado: 11-September 05 Desde: Valdivia/Ancud Miembro Nº: 302 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Igual deberías escribirlo .. -------------------- Comienza a crear documentos con LaTeX. Ya usas LaTeX y quieres aprender un poco más ... pincha aquí Si eres de la UaCH ... únete a la causa !!! J. Jonathan H. Oberreuter A. Universidad Austral de Chile - RWTH Aachen alumni Est. Magister en Acústica y Vibraciones Ingeniero Civil Acústico (E) Bachiller y Licenciado en Cs. de la Ingeniería

Ictio Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 18 2008, 09:50 PM Publicado: #5
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 309 Registrado: 28-July 07 Desde: Copiapó-Santiago Miembro Nº: 7.899 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Editado... aunque da lo mismo, la gente ni pesca este foro asi que dudo que resuelvan algo... --------------------

JoNy_SaTiE Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 18 2008, 10:26 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Gold Mensajes: 1.118 Registrado: 11-September 05 Desde: Valdivia/Ancud Miembro Nº: 302 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: P1<br /><br />a) $$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(\sqrt{n^2+n}-n)(\sqrt{n^2+n}+n)}{\sqrt{n^2+n}+n}=\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}=\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{1+1/n}+1}=1/2$$<br /><br />Este último paso se hizo dividiendo arriba y abajo por $n$.<br />$ -------------------- Comienza a crear documentos con LaTeX. Ya usas LaTeX y quieres aprender un poco más ... pincha aquí Si eres de la UaCH ... únete a la causa !!! J. Jonathan H. Oberreuter A. Universidad Austral de Chile - RWTH Aachen alumni Est. Magister en Acústica y Vibraciones Ingeniero Civil Acústico (E) Bachiller y Licenciado en Cs. de la Ingeniería

fs_tol Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 18 2008, 10:45 PM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 670 Registrado: 30-January 06 Desde: Ñuñoa, Santiago Miembro Nº: 524 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(JoNy_SaTiE @ Jan 19 2008, 12:26 AM) $TEX: b) Este no existe debido a $(-1)^{n}$. Es oscilatorio.$ Pero $TEX: $\dfrac{n}{1-(n+3)^2} \to 0$$ , así que el límite es 0 -------------------- $TEX: $CARITA$$

JoNy_SaTiE Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 18 2008, 10:48 PM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Gold Mensajes: 1.118 Registrado: 11-September 05 Desde: Valdivia/Ancud Miembro Nº: 302 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Sí, fue un análisis a la rápido, se me escapó ese pequeño detalle. Gracias fs_tol. -------------------- Comienza a crear documentos con LaTeX. Ya usas LaTeX y quieres aprender un poco más ... pincha aquí Si eres de la UaCH ... únete a la causa !!! J. Jonathan H. Oberreuter A. Universidad Austral de Chile - RWTH Aachen alumni Est. Magister en Acústica y Vibraciones Ingeniero Civil Acústico (E) Bachiller y Licenciado en Cs. de la Ingeniería

dany_nash Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 18 2008, 11:47 PM Publicado: #9
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 175 Registrado: 15-February 07 Desde: santiago Miembro Nº: 4.080 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA $TEX: \indent (b) Calcule el siguiente l\'imite:\\<br />$$\displaystyle \lim_{x\to 0} \dfrac{4x^3(\operatorname{exp}(x)-1)}{(1-\cos (2x))^2}$$ \\$ $TEX: debemos recordar que:$ $TEX: $$\displaystyle\ cos (2x)= cos^2(x)-sen^2(x)$$ \\$ $TEX: y ademas :$ $TEX: $$\displaystyle\ sen^2(x)=1-cos^2(x)$$ \\$ $TEX: Ahora bien:$ $TEX: $$\displaystyle \lim_{x\to 0} \dfrac{4x^3(\operatorname{exp}(x)-1)}{(1-\cos (2x))^2}=$$ \\$ $TEX: $$\displaystyle \lim_{x\to 0} \dfrac{4x^3(\operatorname{exp}(x)-1)}{(1-\ (cos^2(x)-sen^2(x)))^2}=$$ \\$ $TEX: $$\displaystyle \lim_{x\to 0} \dfrac{4x^3(\operatorname{exp}(x)-1)}{(1-\ cos^2(x)+sen^2(x)))^2}=$$ \\$ $TEX: $$\displaystyle \lim_{x\to 0} \dfrac{4x^3(\operatorname{exp}(x)-1)}{(2sen^2(x))^2}=$$ \\$ $TEX: $$\displaystyle =\lim_{x\to 0} \dfrac{4x^3(\operatorname{exp}(x)-1)}{4sen^4(x)}=$$ \\$ $TEX: $$\displaystyle =\lim_{x\to 0} \dfrac{\dfrac{4x^3(\operatorname{exp}(x)-1)}{x^4}}{\dfrac{4sen^4(x)}{x^4}}=$$ \\$ $TEX: $$\displaystyle =\lim_{x\to 0} \dfrac{\dfrac{(\operatorname{exp}(x)-1)}{x}}{\dfrac{sen^4(x)}{x^4}}=$$ \\$ $TEX: sabemos que:$ $TEX: $$\displaystyle \lim_{x\to 0} \dfrac{(\operatorname{exp}(x)-1)}{x}=1\ \ \ \ \ \ (1)$$ \\$ $TEX: y tambien que:$ $TEX: $$\displaystyle \lim_{x\to 0} \dfrac{sen(x)}{x}=1\ \ \ \ \ \ (2)$$ \\$ $TEX: por (1) y (2), tenemos que :$ $TEX: $$\displaystyle \lim_{x\to 0} \dfrac{\dfrac{(\operatorname{exp}(x)-1)}{x}}{\dfrac{sen^4(x)}{x^4}}=$$ \\$ $TEX: $$\displaystyle \dfrac{1}{1}=1$$ \\$ PD: justo falte a catedra hoy, menos mal que roberto nos recalco que recordaramos que $TEX: $$\displaystyle \lim_{x\to 0} \dfrac{(\operatorname{exp}(x)-1)}{x}=1$$ \\$ , o sino jamás hubiese podido calcular el limite XD con respecto al p2 la parte a). no tenia ni idea de como resolverlo, he faltao a artas catedras parece Mensaje modificado por dany_nash el Jan 19 2008, 10:47 AM -------------------- "En hesta frase eccisten tres errores",, cuales son ????

ChecofunK Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 19 2008, 01:14 AM Publicado: #10
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 48 Registrado: 25-September 07 Desde: San joako!! Miembro Nº: 10.551 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	ajaja bakan tengo el p1 entera buena y la p2 pa un 5.0 (osea supongo) xd soy feliz ** -------------------- . . EX-

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