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Control 2, Matemáticas 3 - 2008

Ictio Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 11 2008, 09:25 PM Publicado: #1
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 309 Registrado: 28-July 07 Desde: Copiapó-Santiago Miembro Nº: 7.899 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Tuve la osadía de presentarme a dar el control 2 y me encontré con lo siguiente $TEX: \noindent \fbox{P1}<br /><br />\noindent (a) Demuestre que: \\<br />\indent (a.1) $A\triangle B =A\triangle C \implies B=C$ \\<br />\indent (a.2) $A\triangle B=C \implies A\triangle C=B$ \\<br /><br />\noindent (b) Sea $E$ un conjunto y $A \subseteq E$ Se define la funci\'on \\<br />$$f \quad : \quad \mathcal{P} (E) \to \mathcal{P} (E)$$<br />$$\text{ } \qquad \quad \text{ } \quad x \to f(x) = X\triangle A$$ \\<br />\indent Pruebe que la funci\'on $f$ es biyectiva. \\<br /><br />\noindent © Sea $h : \mathbb{R} \to \left[\frac{31}{8}, +\infty \right[$ la funci\'on que a cada $x \in \mathbb R$ \\<br />\indent le asocia $h(x) = \|2x^2+4\| - x$ \\<br /><br />\indent (c.1) Demuestre que $h$ es sobreyectiva. Si es posible, modifique el dominio \\<br />\indent \qquad de la funci\'on $h$ para que \'esta sea inyectiva. \\<br />\indent (c.2) Calcule los ceros de la funci\'on $h$ y encuentre su paridad. \\<br />\indent \qquad \textbf{Indicaci\'on: } Note que $2x^2+4=x^2+2x+x^2-2x+4$. \\<br /><br />\noindent \fbox{P2}<br />\noindent (a) Demuestre que: \\<br />$$\displaystyle \sum_{i=1}^{2^k} \dfrac{1}{2^k+i} < 1$$ \\<br />\noindent (b) Se define:<br />$$H_n = \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \dfrac1i \qquad \forall n \ge 1$$ \\<br />\indent (b.1) Demuestre usando inducci\'on que: \\<br />$$H_{2^k} \leq 1+k \qquad \forall k \in \mathbb N$$ \\<br />\indent (b.2) Demuestre usando inducci\'on: \\<br />$$\displaystyle \sum_{i=1}^{n} H_i =(n+1)H_n-n \qquad \forall n \in \mathbb N$$ \\<br />$ $TEX: <br />\noindent © Demuestre que:<br /><br />$$\displaystyle \sum_{k=0}^{n} \left( 1-x \right)^{k} = \sum_{k=0}^n(-1)^k\dbinom{n+1}{k+1}x^k$$ \\<br /><br />\noindent \fbox{P3} \\<br /><br />\noindent (a) Sea $A \subseteq \mathbb R , A\not = \phi$, acotado superiormente, sea $s$ su supremo y sea $b \in \mathbb R$. \\<br />\indent Demuestre que el conjunto $A+b=\{ a+b \quad \backslash \quad a \in A \}$ tiene supremo y \\<br />\indent que \'este es $s+b$ \\<br />\indent \textbf{Observaci\'on}: No puede utilizar la propiedad demostrada en clase\\<br />\indent auxiliar para la suma de dos conjuntos \\<br /><br />\noindent (b) Sea $B=\{x \in \mathbb R\|x^2<3\}$. Demuestre que el conjunto $B$ posee supremo $s$ \\<br />\indent y que $s^2\leq 3$.$ Uf... lo escribí a manito . El control estaba bastante difícil, dí harto jugo en la P2... ojala alguien posteara una solución. Saludos. Cualquier estupidez cometida Avisar. --------------------

Ictio Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 11 2008, 10:06 PM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 309 Registrado: 28-July 07 Desde: Copiapó-Santiago Miembro Nº: 7.899 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	xDDDDDD La *** No supero el 3 en el P2...y en lo otro Maximo un 5... espero ke me salve con P3... así me saco un 4 y salto en 1 pata Razón de edición: vocabulario... --------------------

Rattlehead_ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 11 2008, 10:09 PM Publicado: #3
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 428 Registrado: 19-July 07 Desde: Ñuñoa Miembro Nº: 7.679 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Me fue muy mal Ojala pudiesen resolverlo, para aprender -------------------- "Las Matematicas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el universo"

Ictio Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 11 2008, 10:40 PM Publicado: #4
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 309 Registrado: 28-July 07 Desde: Copiapó-Santiago Miembro Nº: 7.899 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Aplico mi solución a: $TEX: \begin{center}<br />\fbox{P1 - a}<br />\end{center}<br /><br />\noindent Hip: $A\triangle B = A\triangle C$ \\<br />P.D.Q: $B=C$ \\<br /><br />Por lo visto en clases, sabemos que la gracia de la diferencia sim\'etrica es que se puede aplicar a una ecuaci\'on.. Luego, partiendo de la hip. se tiene que: \\<br /><br />$$A\triangle B = A\triangle C \qquad \Big/ A \triangle$$ \\<br />$$A\triangle (A\triangle B) = A\triangle (A\triangle C) \qquad \Big/ \text{Conmutando y asociando}$$ \\<br /><br />Se nos indic\'o que pod\'iamos usar asociatividad y conmutatividad de la diferencia sim\'etrica. Aunque para demostrarlo, basta probar que $\veebar$ es asocitativo y estamos listos. \\<br /><br />$$(A\triangle A) \triangle B = (A\triangle A)\triangle C \qquad (1)$$ \\<br />Generalicemos ciertos casos: \\<br />\noindent (a) $X \triangle X = \phi \text{(no se como se hace vac\'io xD)} \\<br />= (X \cap X^c) \cup (X\cap X^c) \\<br />= (\phi) \cup \phi \\<br />= \phi \text{(vac\'io)} \quad \blacksquare$$ $TEX: \noindent (b) $X\triangle \phi \\<br />=(X\cap \phi^c) \cup (\phi \cap X^c) \\<br />=X \cup \phi \\<br />=X \quad \blacksquare$ \\<br /><br />Aplicando (a) en (1) se tiene que: \\<br />$$\phi \triangle B = \phi \triangle C \qquad \Big/ \text{Ahora basta usar (b)}$$<br />$$B=C \quad \blacksquare $$<br /><br />\noindent (a.2) \\<br /><br />\noindent Hip: $(A\triangle B)=C$ \\<br />pdq: $ A\triangle C=B$ \\<br /><br />\noindent Desarrollemos un poco $A\triangle C$\\<br />Por Hip tenemos que $C=A\triangle B$<br />$$A\triangle (A\triangle B) $$<br />$$=(A\triangle A) \triangle B $$<br />$$= (\phi \triangle B) $$<br />$$= B \quad \blacksquare$$$ P.D. No, no sé centrar Espero que esté bien --------------------

Ictio Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 11 2008, 11:23 PM Publicado: #5
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 309 Registrado: 28-July 07 Desde: Copiapó-Santiago Miembro Nº: 7.899 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Me olvide... el Hint de la P2.a Es No usar induccion. Es solo hint... --------------------

Guía Rojo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 15 2008, 05:49 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 903 Registrado: 28-May 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 69 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	extrañaba tanto estudiar (claaaaro..) que fui ayer a la cátedra de mate III, y al ver la prueba me pareció que el problema 2 es el más fácil de ver una solución, aunque el desarrollo pueda decir lo contrario.. $TEX: \noindent $\boxed{2a}$\\<br />\\<br />$0<p<q\Longrightarrow \dfrac{1}{p}>\dfrac{1}{q}$, luego\\<br />\\<br />$\displaystyle\sum_{i=1}^{2^k}\dfrac{1}{2^k+i}<\displaystyle\sum_{i=1}^{2^k}\dfrac{1}{2^k+1}=\dfrac{2^k}{2^k+1}<\dfrac{2^k+1}{2^k+1}=1$$ $TEX: \noindent $\boxed{2b1}$\\<br />\\<br />caso base: $k=1\ $ , $\ H_{2^1}=H_2=1+\dfrac{1}{2}\le 1+1$\\<br />\\<br />h.i.: $H_{2^m}\le 1+m$ , para alg\'un $m\in \mathbb{N}$\\<br />p.d.: $H_{2^{m+1}}\le 1+(m+1)$\\<br />\\<br />$H_{2^{m+1}}=H_{2^m}+\displaystyle\sum_{i=1}^{2^m}\dfrac{1}{2^m+i}\displaystyle\underbrace{<}_{2a}H_{2^m}+1\displaystyle\underbrace{\le }_{h.i.}1+m+1=1+(m+1)$\\<br />\\<br />con lo que se demuestra lo pedido, por inducci\'on\\<br />\\<br />$\boxed{2b2}$\\<br />\\<br />caso base: $k=1$\\<br />$\displaystyle\sum_{i=1}^{1}H_i=H_1=1=2-1=2\cdot 1-1=(1+1)\cdot 1-1$\\<br />\\<br />h.i.: $\displaystyle\sum_{i=1}^{k}H_i=(k+1) H_k-k$ , para alg\'un $k\in \mathbb{N}$\\<br />p.d.: $\displaystyle\sum_{i=1}^{k+1}H_i=(k+2) H_{k+1}-(k+1)$\\<br />\\<br />\\<br />$\displaystyle\sum_{i=1}^{k+1}H_i=H_{k+1}+\displaystyle\sum_{i+1}^{k}H_i\displaystyle\underbrace{=}_{h.i.}H_{k+1}+(k+1) H_k-k=$\\<br />\\<br />$=H_{k+1}+(k+1)\cdot \left(H_{k+1}-\dfrac{1}{k+1}\right)-k=(k+2) H_{k+1}-(k+1)$\\<br />\\<br />demostrando lo pedido mediante inducci\'on$ $TEX: \noindent$\boxed{2c}$\\<br />$\displaystyle\sum_{k=0}^{n}(1-x)^k=\dfrac{1-(1-x)^{n+1}}{1-(1-x)}=\dfrac{1-\displaystyle\sum_{k=0}^{n+1}(-1)^k\binom{n+1}{k}x^k}{x}=\dfrac{1-\left(1-\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}(-1)^{k-1}\binom{n+1}{k}x^k\right)}{x}=$\\<br />\\<br />$=\dfrac{\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}(-1)^{k-1}\binom{n+1}{k}x^k}{x}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}(-1)^{k-1}\binom{n+1}{k}x^{k-1}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n+1}{k+1}x^k$$ saludos.. y si ven de nuevo a Chi en las cátedras échenlo de la sala ^^ -------------------- Bachiller en Ciencias (ex) Estudiante de Medicina Estudiante de Ingeniería Civil de Industrias, diploma en Ingeniería Matemática Pontificia Universidad Católica de Chile "El espíritu del matemático busca la belleza del pensamiento, y esa va de la mano con la filosofía." - Héctor Hardy Pastén Vásquez "¿Qué te hace pensar que si tienes dos elementos de un conjunto con otros dos elementos de otro conjunto se origina uno nuevo con cuatro? Es sólo el sentido común, no te imaginas que los elementos aparecen de la nada, pero resulta que con el sólo hecho de cuestionar el sentido común, se podría afirmar que cuando juntas cuatro elementos aparecen miles de elementos más. Y si lo demuestras, todo se basa en la razón." - Alonso Duque Vega, razonador por excelencia $TEX: $S=1+dfrac{1}{2}+dfrac{1}{3}+dfrac{1}{4}+dfrac{1}{5}+ldots$$ Esta serie converge! He encontrado una maravillosa demostración de esto, pero no cabe en la estrechez de esta firma...

Ictio Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 15 2008, 09:29 PM Publicado: #7
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 309 Registrado: 28-July 07 Desde: Copiapó-Santiago Miembro Nº: 7.899 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Después me lo explico el Edgardo.... me dio tanta rabia el 1.9 Jajajaj gracias Guia Rojo --------------------

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