Soluciones enteras - Foro fmat.cl

Soluciones enteras, Resuelto por tt14123 [básico]

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 28 2006, 05:57 PM Publicado: #1
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Problemita Probar que la ecuacion $TEX: $x^2+y^2+z^2=2xyz$$ , con $TEX: $x,y,z$$ numeros enteros, solo puede cumplirse si $TEX: $x=y=z=0$$ -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

tt14123 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 6 2006, 10:00 PM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 228 Registrado: 8-August 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 194	$TEX: Ya primero fijemonos en que $x^2+y^2+z^2$ es par; por lo tanto; podemos concluir que siempre hay almenos uno que es par:$ $TEX: $4x_1^2+y^2+z^2 = 4x_1yz$$ $TEX: $y^2+z^2 = 4x_1(yz-x_1)$$ $TEX: Ahora:$ $TEX: $y^2+z^2 \equiv 0 (mod 4)$$ $TEX: Por lo tanto se deduce que ambos son pares$ $TEX: Entonces:$ $TEX: $4x_1^2+4y_1^2+4z_1^2 = 16x_1y_1z_1$$ $TEX: $x_1^2+y_1^2+z_1^2 = 4x_1y_1z_1$$ $TEX: Volvemos a deducir que tanto $x_1$ como $y_1$ como $z_1$ son pares, entonces:$ $TEX: $4x_2^2+4y_2^2+4z_2^2 = 32x_2y_2z_2$$ $TEX: $x_2^2+y_2^2+z_2^2 = 8x_2y_2z_2$$ $TEX: Entonces si seguimos infinitamente; nos daremos cuenta de que:$ $TEX: $x = 2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot.......\cdot2\cdot x_n$$ $TEX: donde $x_n$ es siempre par, pero entonces $x = 0$. Porque si fuese otro numero, seria de la forma $2^m$, el cual al dividirlo m veces en 2, nos daria 1 que es impar y llegamos a una contradiccion.$ $TEX: Se concluye analogamente que $y = z = 0$$ $TEX: SALU$

Guía Rojo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 13 2006, 09:40 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 903 Registrado: 28-May 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 69 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(tt14123 @ Jun 7 2006, 12:00 AM) $TEX: Ahora:$ $TEX: $y^2+z^2 \equiv 0 (mod 4)$$ $TEX: Por lo tanto se deduce que ambos son pares$ por qué??? -------------------- Bachiller en Ciencias (ex) Estudiante de Medicina Estudiante de Ingeniería Civil de Industrias, diploma en Ingeniería Matemática Pontificia Universidad Católica de Chile "El espíritu del matemático busca la belleza del pensamiento, y esa va de la mano con la filosofía." - Héctor Hardy Pastén Vásquez "¿Qué te hace pensar que si tienes dos elementos de un conjunto con otros dos elementos de otro conjunto se origina uno nuevo con cuatro? Es sólo el sentido común, no te imaginas que los elementos aparecen de la nada, pero resulta que con el sólo hecho de cuestionar el sentido común, se podría afirmar que cuando juntas cuatro elementos aparecen miles de elementos más. Y si lo demuestras, todo se basa en la razón." - Alonso Duque Vega, razonador por excelencia $TEX: $S=1+dfrac{1}{2}+dfrac{1}{3}+dfrac{1}{4}+dfrac{1}{5}+ldots$$ Esta serie converge! He encontrado una maravillosa demostración de esto, pero no cabe en la estrechez de esta firma...

The Lord Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 24 2007, 05:45 PM Publicado: #4
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 374 Registrado: 16-September 06 Desde: New Haven, CT, USA. Miembro Nº: 2.275 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Eso es porq $TEX: $x^2\equiv{0,1}$ (mod.4)$ , osea $TEX: $x^2+y^2\equiv{0,1,2}$ (mod.4)$ , Luego si uno de los dos no es par no se llega a cero. Conclusión: Ambos son pares. A resueltos.

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