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BMO 2002/3 P3 (modificado), Facil - Resuelto por pelao_malo

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 29 2007, 12:38 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Sean x,y,z numeros reales positivos tales que $x^{2}$+$y^{2}$+$z^{2}$=1. Determine el mayor valor de la expresion $x^{2}$yz+x$y^{2}$z+xy$z^{2}$$ -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

pelao_malo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 29 2007, 01:56 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 878 Registrado: 14-May 07 Desde: Talcahuano Miembro Nº: 5.845 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: \noindent Notemos que $x^2yz+xy^2z+xyz^2=xyz(x+y+z)$.\\<br />Por $MC\ge MG$ tenemos $$\sqrt{\dfrac{x^2+y^2+z^2}{3}}\ge \sqrt[3]{xyz}\to \dfrac{\sqrt{3}}{9}\ge xyz$$ Y por $MC\ge MA$ tambi\'en tenemos $$\sqrt{\dfrac{x^2+y^2+z^2}{3}}\ge \dfrac{x+y+z}{3}\to \sqrt{3}\ge x+y+z$$ Donde multiplicando ambos resultados obtenemos $$\dfrac{1}{3}\ge xyz(x+y+z)$$ donde el valor m\'aximo que buscamos es $\dfrac{1}{3}$.\\<br />Salu2$ condoro xD Mensaje modificado por pelao_malo el Dec 29 2007, 02:17 PM -------------------- $TEX: $\sqrt{5}=41$$

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 29 2007, 02:06 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	¿SUMANDO? Otra forma de encontrar el maximo de la suma x+y+z es mediante la desigualdad de Cauchy-Schwarz. Saludos Mensaje modificado por Vargüitas DSLU el Dec 29 2007, 02:10 PM -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

pelao_malo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 29 2007, 02:28 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 878 Registrado: 14-May 07 Desde: Talcahuano Miembro Nº: 5.845 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	ahi esta editado -------------------- $TEX: $\sqrt{5}=41$$

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 29 2007, 02:30 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	OK gracias. Ahora, si quedaste con gusto a poco... revisa la desigualdad extraña -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

pelao_malo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 29 2007, 02:31 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 878 Registrado: 14-May 07 Desde: Talcahuano Miembro Nº: 5.845 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(Vargüitas DSLU @ Dec 29 2007, 04:30 PM) OK gracias. Ahora, si quedaste con gusto a poco... revisa la desigualdad extraña no entendi lo que quisiste decir, pero si fue algo pesado, mejor por MP. -------------------- $TEX: $\sqrt{5}=41$$

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 29 2007, 02:36 PM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	No, no. Me refiero a la otra desigualdad que postee hoy en el sector.No era en mala .Solo que nadie me ha respondido en la otra desigualdad -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

tebas Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 31 2009, 12:23 PM Publicado: #8
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 85 Registrado: 9-January 08 Desde: Guatemala Miembro Nº: 14.478 Sexo:	otra $TEX: $1=(x^2+y^2+z^2)^2\ge 3(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)\ge$$ $TEX: $3(xyyz+yzzx+zxxy)=3(x^2yz+xy^2z+xyz^2)$$ Entonces $TEX: $\dfrac{1}{3}\ge x^2yz+xy^2z+xyz^2$$ con igualdad si $TEX: $x=y=z=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$$ . Arriba se uso la desigualdad $TEX: $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\ge 0$$ primero en la forma $TEX: $(a+b+c)^2\ge 3(ab+bc+ca)$$ , despues en la forma $TEX: $a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$$ .

pprimo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 16 2015, 07:27 PM Publicado: #9
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 817 Registrado: 21-February 14 Miembro Nº: 127.064	CITA(Vargüitas DSLU @ Dec 29 2007, 12:38 PM) $TEX: Sean x,y,z numeros reales positivos tales que $x^{2}$+$y^{2}$+$z^{2}$=1. Determine el mayor valor de la expresion $x^{2}$yz+x$y^{2}$z+xy$z^{2}$$ aplicando cauchy $TEX: $$x^{2}yz+xy^{2}z+xyz^{2}\le \sqrt{\left( \underbrace{x^{2}+y^{2}+z^{2}}_{1} \right)\left( x^{2}y^{2}z^{2}+x^{2}y^{2}z^{2}+x^{2}y^{2}z^{2} \right)}=\sqrt{3x^{2}y^{2}z^{2}}=\sqrt{3}xyz$$$ aplicando MC-MG $TEX: $$\sqrt[3]{xyz}\le \frac{1}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{3}}\Rightarrow \sqrt{3}xyz\le \sqrt{3}\cdot \frac{1}{3\sqrt{3}}=\frac{1}{3}$$$

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