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Seccion IV.1, MCD y MCM

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 28 2006, 04:13 PM Publicado: #1
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	En esta unidad se introducira este tema interesante de Teoria de numeros, que es fundamental para entender otros contenidos que se profundizaran mas adelante en este sector. Comenzaremos con dos definiciones. Definicion 1: Sean $TEX: $a_1, a_2,...,a_n\in \mathbb{N}$$ . El maximo comun divisor de $TEX: $a_1,a_2,...,a_n$$ es el mayor numero $TEX: $d$$ tal que $TEX: $d$$ divide a $TEX: $a_i$,$ para $TEX: $i=1,2,...,n$$ . Esto quiere decir, $TEX: $d$$ divide a $TEX: $a_1$$ , $TEX: $d$$ divide a $TEX: $a_2$$ ,..., $TEX: $d$$ divide a $TEX: $a_n$$ . Usualmente escribimos esto como $TEX: $d=mcd(a_1, a_2,...,a_n)$$ , $TEX: $d=gcd(a_1,a_2,...,a_n)$$ (proveniente de greatest common divisor) o $TEX: $d=(a_1, a_2,...,a_n)$$ . En este topic se ocupara por comodidad la primera notacion presentada. Ejemplo 1: Calcule el maximo comun divisor entre $TEX: $8, 12, 20$$ Solucion: Veamos que $TEX: $8=2^3$$ , $TEX: $12=2^2\cdot 3$$ , $TEX: $20=2^2\cdot 5$$ . Los factores primos en estos 3 numeros a la vista son $TEX: $2,3,5$$ , entonces $TEX: $d=mcm (8,12,20)$$ posee a $TEX: $2,3,5$$ como factores primos. Pero $TEX: $3$$ no divide a $TEX: $8, 20$$ y $TEX: $5$$ no divide a $TEX: $8, 12$$ . Sin embargo, $TEX: $2^2$$ si divide a $TEX: $8,12,20$$ por lo que $TEX: $d=2^2=4$$ $TEX: $\blacksquare$$ Definicion 2: Sean $TEX: $a_1,a_2,...,a_n$$ naturales. El minimo comun multiplo de $TEX: $a_1,a_2,..,a_n$$ es el menor natural $TEX: $M$$ tal que $TEX: $a_1$$ divide a $TEX: $M$$ , $TEX: $a_2$$ divide a $TEX: $M$$ ,.., $TEX: $a_n$$ divide a $TEX: $M$$ . Se escribe usualmente como $TEX: $M=mcm(a_1,a_2,...,a_n)$$ , $TEX: $M=lcm(a_1, a_2,...,a_n)$$ (proveniente del ingles leatest common multiple) o $TEX: $M=[a_1, a_2,...,a_n]$$ Por comodidad, se ocupara la primera notacion. Ejemplo 2: Calcule el minimo comun multiplo entre $TEX: $8,12,20$$ Solucion: Veamos que $TEX: $8=2^3$$ , $TEX: $12=2^2\cdot 3$$ ,y $TEX: $20=2^2\cdot 5$$ . Al igual que en el ejemplo 1, debemos notar que los factores primos que podemos ver a simple vista son $TEX: $2,3,5$$ . Claramente $TEX: $M=mcm(8,12,20)$$ es multiplo de $TEX: $2^3,3,5$$ y luego $TEX: $M=2^3\cdot 3\cdot 5=120$$ $TEX: $\blacksquare$$ Ahora... con estas dos definiciones estamos en condicion de intentar los dos siguientes problemas -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 11 2009, 08:49 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Problemas: Problema 1: Considere la recta $TEX: $l: 7x-5y=0$$ en el plano cartesiano, con origen $TEX: $O$$ . Sea $TEX: $P$$ un punto de $TEX: $l$$ cuya abscisa es $TEX: $35$$ . ¿Cuantos puntos $TEX: $(a,b)$$ de coordenadas enteras tiene el segmento $TEX: $\overline{OP}$$ ? A) 2 puntos B) 6 puntos C) 7 puntos D) 8 puntos E) Ninguna de las anteriores (Un presente para el team PSU) Problema 2: Sebastian, Matias y Ricardo son muy metodicos para sus compras. Sebastian va cada 12 dias al almacen de David, Matias cada 15 dias y Ricardo cada 10 dias. Si hoy Viernes, se reunieron los 3 en el almacen, que dia de la semana se reuniran la proxima vez? A) Miercoles B) Jueves C) Viernes D) Sabado E) Ninguna de los anteriores. (Otro presente para el team PSU) Solucion: Notemos que el MCM es 60 entonces: en 60 dias mas se juntaran de nuevo, como se juntaron un dia viernes, en 56 dias mas vlvera a ser viernes luego falta 4 dias mas para 60 dias, entonces se volveran a juntar un dia martes en conclusion Alternativa E Resuelto por fabiannx15 Problema 3: Sean $TEX: $m=\displaystyle \prod_{i=1}^k p_i^{\alpha_i}$$ y $TEX: $n=\displaystyle \prod_{i=1}^{k} p_i^{\beta_i}$$ las factorizaciones aritmeticas de $TEX: $m,n$$ respectivamente. Sean $TEX: $x_i=min\{\alpha_i,\beta_i\}$$ y $TEX: $y_i=max\{\alpha_i, \beta_i\}$$ para $TEX: $i=1,2,...,k$$ . Demuestre que: i) $TEX: $mcd(m,n)=\displaystyle \prod_{i=1}^k p_i^{x_i}$$ ii) $TEX: $mcm(m,n)=\displaystyle \prod_{i=1}^k p_i^{y_i}$$ iii) $TEX: $mcd(m,n)\cdot mcm(m,n)=m\cdot n$$ Problema 4: Demuestre que si $TEX: $d=mcd(a_1, a_2,...,a_n)$$ , entonces: $TEX: $mcd(\dfrac{a_1}{d},\dfrac{a_2}{d},..., \dfrac{a_n}{d})=1$$ Problema 5: Sea $TEX: $p$$ un numero primo. Determine todos los posibles valores de $TEX: $mcd(m,p)$$ , con $TEX: $m$$ natural. Problema 6: Sea $TEX: $d$$ un divisor comun de $TEX: $a,b$$ (esto es, $TEX: $d$$ divide a $TEX: $a$$ y $TEX: $d$$ divide a $TEX: $b$$ ). Demuestre que $TEX: $d$$ divide a $TEX: $mcd(a,b)$$ . ¿Es posible generalizar esto? Problema 7: Sea $TEX: $m\in \mathbb{N}$$ . Demuestre que: $TEX: $mcd(ma,mb)=m\cdot mcd(a,b)$$ Problema 8: Dado $TEX: $m\in \mathbb{N}$$ , asuma que podemos hallar $TEX: $n,q,r\in \mathbb{Z}$$ tales que $TEX: $m=nq+r$$ . Demuestre que $TEX: $mcd(m,n)=mcd(n,r)$$ Problema 9: Sea $TEX: $a,m,n\in \mathbb{N}$$ , con $TEX: $a>1$$ . Sea $TEX: $d=mcd(m,n)$$ . Demuestre que: $TEX: $mcd(a^m-1, a^n-1)=a^d-1$$ Problema 10: Se tiene un rectángulo de lados enteros $TEX: $m,n$$ se subdivide en $TEX: $mn$$ cuadraditos de lado 1. Encontrar el número de cuadraditos que son atravesados por la diagonal (sin contabilizar los que son tocados sólo en un vértice) (I Olimpiada nacional de matematicas, 1989) continuara..... atentos que se vienen mas problemas -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

Shinichi Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 11 2009, 09:32 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 1.103 Registrado: 31-March 06 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 739 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Solución problema 1. Notar que: $TEX: <br />\[\begin{gathered}<br /> P(x,y) = (35,y) \in l,{\text{ luego:}} \hfill \\<br /> 7(35) = 5y \Rightarrow y = 7 \times 7 \times 5 = 5y \hfill \\<br /> \therefore y = 49 \Rightarrow P(x,y) = (35,49). \hfill \\ <br />\end{gathered} \]<br />$ Además: $TEX: <br />\[\begin{gathered}<br /> mcm(7,5) = 7 \times 5 = 35 \hfill \\<br /> mcd(7,5) = 1 \hfill \\ <br />\end{gathered} \]<br />$ Los pares $TEX: <br />\[(a,b);a,b \in \mathbb{Z}\]<br />$ son mayores o iguales a cero (tomando en cuenta el segmento $TEX: <br />\[\overline {OP} \]<br />$ ), cumplen con la igualdad $TEX: <br />\[7a = 5b\]<br />$ y además $TEX: <br />\[b \leqslant 49\]<br />$ $TEX: % MathType!MTEF!2!1!+-<br />% feaaguart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbd9wBPn<br />% gitfMBZbsttbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhi<br />% ov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY-<br />% Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0-yr0RYxir-Jbba9q8aq<br />% 0-yq-He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaq<br />% aafaaakqaabeqaaiabgsJiCjaabccacaqGSbGaae4BaiaabohacaqG<br />% GaGaaeiCaiaabwhacaqGUbGaaeiDaiaab+gacaqGZbGaaeiiaiaabI<br />% cacaqGHbGaaeilaiaabkgacaqGPaGaeyicI48aa0aaaeaacaWGpbGa<br />% amiuaaaacaqGGaGaaeyCaiaabwhacaqGLbGaaeiiaiaabogacaqG1b<br />% GaaeyBaiaabchacaqGSbGaaeyzaiaab6gacaqGGaGaaeiBaiaab+ga<br />% caqGGaaabaGaaeiCaiaabwgacaqGKbGaaeyAaiaabsgacaqGVbGaae<br />% iiaiaabohacaqGVbGaaeOBaiaabccacaqGYaGaaeilaiaabccacaqG<br />% HbGaaeiiaiaabohacaqGHbGaaeOyaiaabwgacaqGYbGaae4oaiaabc<br />% cacaqGOaGaaeimaiaabYcacaqGWaGaaeykaiaabUdacaqGGaGaaeik<br />% aiaabodacaqG1aGaaeilaiaabsdacaqG5aGaaeykaaaaaa!77E8!<br />\[\begin{gathered}<br /> \therefore {\text{ los puntos (a}}{\text{,b)}} \in \overline {OP} {\text{ que cumplen lo }} \hfill \\<br /> {\text{pedido son 2}}{\text{, a saber; (0}}{\text{,0); (35}}{\text{,49)}} \hfill \\ <br />\end{gathered} \]<br />$ Mensaje modificado por Shinichi el Oct 11 2009, 09:37 PM -------------------- "Caer, Aprender, Levantarse y Seguir" R.C.B. "Education is an admirable thing, but it is well to remember from time to time that nothing worth knowing can be taught". Oscar Wilde, “The Critic as Artist,” 1890. "That's the reason they're called lessons, because they lesson from day to day". Lewis Carroll

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 11 2009, 09:43 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Respuesta incorrecta, Shinichi, que me dices del punto $TEX: (10,14)$ ?? -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

fabiannx15 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 11 2009, 09:45 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.169 Registrado: 11-June 08 Desde: rancagua Miembro Nº: 26.922 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Problema 2 Notemos que el MCM es 60 entonces: en 60 dias mas se juntaran de nuevo, como se juntaron un dia viernes, en 56 dias mas vlvera a ser viernes luego falta 4 dias mas para 60 dias, entonces se volveran a juntar un dia martes en conclusion Alternativa E Mensaje modificado por Kain #13 el Oct 11 2009, 10:14 PM -------------------- Richard Fabian Jerez Ex alumno del Liceo Oscar Castro 4ºL matemático Estudiante Ingeniería Civil Mecánica USM ¿Necesitas ayuda para la psu y no tienes dinero?: Agrega a logratus850@hotmail.com y comienza a preguntar! Somos un grupo de universitarios dispuestos a ayudarte de manera gratuita para que logres tus sueños, todos tuvimos como promedio más de 800 puntos en la PSU. Team PSU 2010!! Únete! [color="#000080"][/color]

Shinichi Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 11 2009, 09:58 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 1.103 Registrado: 31-March 06 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 739 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Noté algo "interesante" entre los a,b de los puntos (a,b), pero no se cómo formalizarlo. $TEX: % MathType!MTEF!2!1!+-<br />% feaaguart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbd9wBPn<br />% gitfMBZbsttbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhi<br />% ov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY-<br />% Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0-yr0RYxir-Jbba9q8aq<br />% 0-yq-He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaq<br />% aafaaakqaabeqaaiaabYeacaqGVbGaae4CaiaabccacaqGWbGaaeyD<br />% aiaab6gacaqG0bGaae4BaiaabohacaqGGaGaaeikaiaabggacaqGSa<br />% GaaeOyaiaabMcacaqGGaGaaeiCaiaab+gacaqGKbGaaeyzaiaab2ga<br />% caqGVbGaae4CaiaabccacaqG2bGaaeyzaiaabkhacaqGSbGaae4Bai<br />% aabohacaqGGaGaae4yaiaab+gacaqGTbGaae4BaaqaaiaabcfacaqG<br />% OaGaaeyyaiaabYcacaqGIbGaaeykaiaab2dacaqGOaGaaeynaiaabI<br />% hacaqGSaGaae4naiaabMhacaqGPaGaaeilaiaabccacaqGJbGaae4B<br />% aiaab6gacaqGGaGaaeiEaiaabYcacaqG5bGaaeiiaiaabwgacaqGUb<br />% GaaeiDaiaabwgacaqGYbGaae4BaiaabohacaqGUaaabaGaaeyqaiaa<br />% bsgacaqGLbGaaeyBaiaabgoacaqGZbGaaeiiaiaabwgacaqGUbGaae<br />% iDaiaabkhacaqGLbGaaeiiaiaabsgacaqGVbGaae4CaiaabccacaqG<br />% WbGaaeyDaiaab6gacaqG0bGaae4BaiaabohacaqGGaGaae4yaiaab+<br />% gacaqGUbGaae4CaiaabwgacaqGJbGaaeyDaiaabshacaqGPbGaaeOD<br />% aiaab+gacaqGZbGaaeiiaaqaaiaabIcacaqG4bGaaeilaiaabMhaca<br />% qGPaGaaeiiaiaabwgacaqGSbGaaeyzaiaabEgacaqGPbGaaeizaiaa<br />% b+gacaqGZbGaaeiiaiaabwgacaqG4bGaaeyAaiaabohacaqG0bGaae<br />% yzaiaabccacaqG1bGaaeOBaiaabggacaqGGaGaaeizaiaabMgacaqG<br />% MbGaaeyzaiaabkhacaqGLbGaaeOBaiaabogacaqGPbGaaeyyaiaabc<br />% cacaqGKbGaaeyzaiaabccacaqG1aGaaeiiaiaabwhacaqGUbGaaeyA<br />% aiaabsgacaqGHbGaaeizaiaabwgacaqGZbGaaeilaaqaaiaabwgaca<br />% qGZbGaaeiDaiaab+gacaqGGaGaaeyzaiaabohacaqG6aGaaeiiaaqa<br />% aiaabofacaqGPbGaaeiiaiaabcfacaqGOaGaaeyyaiaabYcacaqGIb<br />% Gaaeykaiaab2dacaqGOaGaaeynaiaabIhacaqGSaGaae4naiaabMha<br />% caqGPaGaaeiiaiabgIGiopaanaaabaGaam4taiaadcfaaaGaeyO0H4<br />% TaamiuaiaacEcacaGGOaGaamyyaiaacYcacaWGIbGaaiykaiabg2da<br />% 9iaacIcacaaI1aGaai4waiaadIhacqGHRaWkcaaI1aGaaiyxaiaacY<br />% cacaaI3aGaai4waiaadMhacqGHRaWkcaaI1aGaaiyxaiaacMcacqGH<br />% iiIZdaqdaaqaaiaad+eacaWGqbaaaaaaaa!F28A!<br />\[\begin{gathered}<br /> {\text{Los puntos (a}}{\text{,b) podemos verlos como}} \hfill \\<br /> {\text{P(a}}{\text{,b) = (5x}}{\text{,7y)}}{\text{, con x}}{\text{,y enteros}}{\text{.}} \hfill \\<br /> {\text{Adem\'a s entre dos puntos consecutivos }} \hfill \\<br /> {\text{(x}}{\text{,y) elegidos existe una diferencia de 5 unidades}}{\text{,}} \hfill \\<br /> {\text{esto es: }} \hfill \\<br /> {\text{Si P(a}}{\text{,b) = (5x}}{\text{,7y) }} \in \overline {OP} \Rightarrow P'(a,b) = (5[x + 5],7[y + 5]) \in \overline {OP} \hfill \\ <br />\end{gathered} \]<br />$ Se que es sólo una conjetura, pero si de alguna forma pudiera formalizar esta intuición, el problema saldría más fácil. Saludos PD: Aún me falta mucho -------------------- "Caer, Aprender, Levantarse y Seguir" R.C.B. "Education is an admirable thing, but it is well to remember from time to time that nothing worth knowing can be taught". Oscar Wilde, “The Critic as Artist,” 1890. "That's the reason they're called lessons, because they lesson from day to day". Lewis Carroll

Leonardo Maurici... Leonardo Mauricio Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 11 2009, 10:21 PM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.244 Registrado: 11-October 09 Desde: Santiago Miembro Nº: 60.148 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Problema 2 Primero debemos encontrar el minimo comum multiplo (m.c.m) entre 12, 15, 10 Tomamos las bases primas 2^23=12 35=15 25=10 De estas tenemos a 2^2, 3, 5. Multiplicamos cada termino y nos daria 60. Esto lo dividimos por 7 (por los dia ke trae la semana) y de esta division nos dara un resto que seria igual a 4. 60/7 = 8 resto= 4 Pasaran 8 semanas para volverse a encontrar, y 4 dias a contar del dia viernes, por lo tanto se encontraran un dia martes si no me equivoco -------------------- CITA(Marcel Claude @ Oct 13 2013, 22:10 PM) Venezuela es más democrático que Chile XD CITA(luismema @ Dec 6 2012, 05:48 PM) CITA(Exorcista @ Dec 6 2012, 05:39 PM) x1000 ... a tipos como este me refiero cuando hablo de ''ingenieros beauchef frustrados'', que lata...... compadre vaya a la escuela de psicologia de la U, ya que le queda cerquita y pide hora, por que de verdad del tiempo que he estado en el foro, usted no aporta mucha. Pd: ademas hablas y discriminas a la gente de otra U como si las conocieras, tu no pareces ser de la usach. Si aveiguo algo que te sirva respecto a lo de salud, te lo informo. CITA(master_c @ Sep 23 2012, 12:11 PM) (a Kaissa) 6528 post sin decir nada, solo criticar en un foro que es para ayudar, proponer y resolver (compartir conocimiento) y me hablas de malgastar la vida :death: CITA(clowny @ Sep 11 2012, 03:45 PM) jajajajajja, no me voy a rebajar a pelear con alguien dice que usa mac en su pc (si mac) jajajaja. win2 va a caher junto a mac tarde o temprano, esa es mi opinión :) CITA(Kura @ Jun 7 2012, 01:13 PM) El mecanismo de evaluación es así, obtener buenas notas es posible aprovechando los bugs del sistema. CITA(Gastón Burrull @ Apr 27 2012, 11:15 PM) CITA(clowny @ Apr 27 2012, 11:10 PM) Sería re fome el mundo lleno de físicos y matemáticos... Seguro que tienes internet y computadora gracias a la numerología... CITA(VA Jiménez @ Dec 28 2011, 04:28 PM) ya que hablas de mediocridad, el criticar eso es, por decir lo menos, mediocre. CITA(VA Jiménez @ Dec 28 2011, 04:28 PM) y que te rías de eso me parece bastante penoso, Mr. "Estoy haciendo un doctorado y lo menciono en 5 de cada 6 post" (dirigido a Sansanito) CITA(anonimo @ Dec 28 2011, 04:35 PM) pd: xD he leido muuchos post de Sansanito y recién ahora sé que estudia un doctorado xD (y eso que hemos hablado por pm) CITA(clowny @ Jan 27 2011, 09:35 PM) ...hablé de que el liberalismo de smith en alguna parte era mejor que el neoliberalismo, y se mal interpretó con eso... RE: Simplemente en ninguna parte....* CITA(clowny @ Jan 27 2011, 09:43 PM) Imaginate llevan al mod, a mxmaster y a yarly a hablar del modelo economico moderno ohmy.gif! RE: Me imagino a clowny en las mismas... CITA(El Geek @ Jan 27 2012, 01:57 PM) Notable que tu siendo un chanta que no salva a nadie (porque en el foro no has mostrado jamás tener alguna destreza con mate sino que puro blablá) sigas viniendo a trollear dándoteas de capo.

snw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 14 2009, 07:02 AM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.139 Registrado: 11-June 08 Desde: UK Miembro Nº: 26.837 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \begin{flushleft}\textbf{Problema 11:} Sean $a,b\in{\Bbb N}$, pruebe que $mcd(a+b,a-b)\ge mcd(a,b)$<br /><br />\end{flushleft}$ $TEX: \begin{flushleft}\textbf{Problema 12:} Sean $a,b\in{\Bbb N}$ tal que $mcd(a,b)\not= 1$, entonces pruebe que $mcd(a,b)\|mcm(a,b)$ pero $[mcd(a,b)]^2\nmid mcm(a,b)$<br /><br />\end{flushleft}<br />$ $TEX: \begin{flushleft}\textbf{Problema 13:} Pruebe el siguiente resultado elemental, muestre que la ecuación $ax+by=d$ no tiene soluciones enteras si $mcd(a,b)\nmid d$<br /><br />\end{flushleft}$ saludos -------------------- blep

Julio_fmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 4 2011, 09:26 AM Publicado: #9
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 4.874 Registrado: 19-January 07 Desde: Mathematics!! Miembro Nº: 3.830 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \noindent \textbf{Solución Problema 1:}$ $TEX: \noindent Notemos que encontrar los puntos reticulares $(a,b)$ del segmento $\overline{OP},$ significa en algún sentido calcular el máximo común divisor del punto $\mathcal{P}(x,y).$ Sabemos que $\mathcal{P}\in \ell,$ entonces $\mathcal{P}(35,49),$ así, $mcd(35,49)=7,$ por tanto, el número de puntos enteros es $7+1=8$ puntos. Alternativa $\mathcal{D)}.$\ \\$ $TEX: \noindent \textbf{Demostración Problema 3 iii):}$ $TEX: \noindent Veamos que:\ \\<br />\begin{eqnarray} <br />mcd(m,n)\cdot mcm(m,n)&=&\prod_{i=1}^k p_{i}^{\min (\alpha_i,\beta_i)}\cdot \prod_{i=1}^k p_{i}^{\max (\alpha_i,\beta_i)}\ \\<br />&=&\prod_{i=1}^k p_{i}^{\min(\alpha_i,\beta_i)+\max(\alpha_i,\beta_i)}\ \\<br />&=&p_{1}^{\min(\alpha_1,\beta_1)+\max(\alpha_1,\beta_1)}\cdot p_{2}^{\min(\alpha_2,\beta_2)+\max(\alpha_2,\beta_2)}\cdots p_{k}^{\min(\alpha_k,\beta_k)+\max(\alpha_k,\beta_k)}\ \\<br />&=&p_{1}^{\alpha_1+\beta_1}\cdot p_{2}^{\alpha_2+\beta_2}\cdots p_{k}^{\alpha_k+\beta_k}\ \\<br />&=&(p_{1}^{\alpha_1}\cdot p_{2}^{\alpha_2}\cdots p_{k}^{\alpha_k})\cdot (p_{1}^{\beta_1}\cdot p_{2}^{\beta_2}\cdots p_{k}^{\beta_k})\ \\<br />&=&m\cdot n. \quad \blacksquare\ \\<br />\end{eqnarray}<br />$ $TEX: \noindent \textbf{Demostración Problema 4:}$ $TEX: \noindent Siendo $a_1,a_2,..,a_n\in \mathbb{Z^{+}},$ por Bézout sabemos que existen los enteros $x_1,x_2,...,x_n,$ tales que:\ \\<br />\begin{eqnarray}<br />a_1\cdot x_1+a_2\cdot x_2+\cdots a_n\cdot x_n &=&d\ \\<br />x_1\left(\dfrac{a_1}{d}\right)+x_2\left(\dfrac{a_2}{d}\right)+\cdots x_n\left(\dfrac{a_n}{d}\right)&=&1\ \\<br />mcd\left(\dfrac{a_1}{d},\dfrac{a_2}{d},...,\dfrac{a_n}{d}\right)&=&1.\quad \square\ \\<br />\end{eqnarray}<br />\underline{\textsf{Nota:}} Del primer al segundo paso dividimos por $d,$ para $d>0.$\ \\$ $TEX: \noindent \textbf{Solución Problema 5:}$ $TEX: \noindent Observemos que cuando $p$ es coprimo con $m,$ entonces es $mcd(m,p)=1,$ si $p$ no es coprimo con $m,$ puede darse la posibilidad de que $m=p$ y que $p\mid m,$ en ese caso sería $mcd(m,p)=p.$ Es importante ver que no hay más posibilidades para $m\in \mathbb{N}$ y $p$ primo, por tanto, $mcd(m,p)\in \{1,p\}.$\ \\$ $TEX: \noindent \textbf{Demostración Problema 6:}$ $TEX: \noindent Por las propiedades de la divisibilidad, se tiene que:\ \\<br />$$d\mid a \wedge d\mid b\implies d\mid am+bn\implies d\mid mcd(a,b). \quad \bigstar$$\ \\<br />\ \\<br />¿Es posible generalizar esto?\ \\<br />\ \\<br />\textbf{Respuesta:} Sí, sean los enteros positivos $a_1,a_2,...,a_n,$ entonces tenemos que para un divisor común $d,$ esto es: $$d\mid a_1, d\mid a_2, ..., d\mid a_n \implies d\mid a_1\cdot x_1+a_2\cdot x_2+\cdots +a_n\cdot x_n\implies d\mid mcd(a_1,a_2,...,a_n).$$\ \\$ $TEX: \noindent \textbf{Demostración Problema 7:}$ $TEX: \noindent Siendo $am,bm\in \mathbb{Z^+},$ entonces por Bézout, existen enteros $j,k$ tales que $$mcd(ma,mb)=maj+mbk=m(aj+bk)=m\cdot mcd(a,b).$$\ \\$ $TEX: \noindent \textbf{Demostración Problema 8:}$ $TEX: \noindent Por Bézout, existen enteros $a,b$ para los cuales hay combinación lineal de enteros, esto es: $$mcd(m,n)=am+bn=a(nq+r)+bn=n(aq+b)+ar=mcd(n,r).$$\ \\$ $TEX: \noindent \textbf{Demostración Problema 9:}$ $TEX: \noindent Sabemos que por los Teoremas demostrados anteriormente, $mcd(m,n)\mid m$ y $mcd(m,n)\mid n,$ entonces el polinomio $a^{mcd(m,n)}-1$ debe dividir tanto a $a^m-1$ como a $a^n-1,$ i.e., si:\ \\<br />\ \\<br />$a^{mcd(m,n)}-1\mid a^m-1 \wedge a^{mcd(m,n)}-1\mid a^n-1\implies a^{mcd(m,n)}-1\mid mcd(a^m-1,a^n-1).$\ \\<br />\ \\<br />Por lo mismo, $mcd(a^m-1,a^n-1)\mid a^m-1$ y $mcd(a^m-1,a^n-1)\mid a^n-1.$ Sea $j=mcd(a^m-1,a^n-1),$ entonces $a^m\equiv 1\pmod j\implies a^{mp}\equiv 1^p\pmod j$ y $a^n\equiv 1\pmod j\implies a^{nq}\equiv 1^q\pmod j,$ para $p,q\in \mathbb{Z^+},$ luego $a^{mp}\cdot a^{nq}\equiv 1\pmod j\implies a^{mp+nq}\equiv 1\pmod j,$ y por Bézout, en el exponente se tiene que $a^{mcd(m,n)}\equiv 1\pmod j\iff j\mid a^{mcd(m,n)}-1,$ pero $j=mcd(a^m-1,a^n-1),$ luego esto implica que $mcd(a^m-1,a^n-1)\mid a^{mcd(m,n)}-1.$\ \\<br />\ \\<br />Finalmente, como $a^{mcd(m,n)}-1\mid mcd(a^m-1,a^n-1) \wedge mcd(a^m-1,a^n-1)\mid a^{mcd(m,n)}-1\implies \|mcd(a^m-1,a^n-1)\|=\|a^{mcd(m,n)}-1\|,$ y como es $mcd(a,b)\ge 1,$ se concluye que $mcd(a^m-1,a^n-1)=a^{mcd(m,n)}-1. \quad \blacksquare$\ \\<br />$ Saludos y espero que estén bien mis resultados, todavía quedan algunos por resolver. -------------------- "... Lo veo, pero no puedo creerlo ... se trata de mostrar que las superficies, los volúmenes e incluso las variedades continuas de n dimensiones pueden ponerse en correspondencia unívoca con curvas continuas, o sea, con variedades de una sola dimensión, y que por consiguiente, las superficies, los volúmenes y las variedades de n dimensiones tienen también la misma potencia que las curvas ..." G. Cantor. Las Matemáticas son el lenguaje de la naturaleza, todo lo que nos rodea se puede representar y entender mediante números. Si se hace un gráfico con los números de un sistema, se forman modelos; éstos modelos están por todas partes en la naturaleza. Max Cohen. $TEX: $$\Phi=\displaystyle \int \limits_{-\infty}^x \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}t^2}dt=\lim_{n\to +\infty}P\left(\dfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^n x_i-n\mu}{n\sigma}\le x\right).$$$ Licenciado en Matemática (2021). Universidad de Concepción, Chile.

dieguindiegao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 1 2011, 03:48 PM Publicado: #10
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 43 Registrado: 5-August 10 Miembro Nº: 75.027 Sexo:	Problema 13 El enunciado del problema es logicamente equivalente a probar que si $TEX: $d=mcd(a,b)$$ entonces existen enteros $TEX: $x, y$$ tales que $TEX: $ax+by=d$$ . En efecto consideremos al conjunto $TEX: \{ax+by\}$ con $TEX: $a,b \in \mathbb{Z}$$ . Luego, sea $TEX: $e=ax_0+by_0$$ el menor elemento del conjunto en cuestión. Luego, no es difícil notar que $TEX: $e\|a$$ y $TEX: $e\|b$$ , pues si $TEX: $e$$ no dividiera a $TEX: $a$$ entonces deben existir enteros $TEX: $q, r$$ tales que $TEX: $a=eq+r$$ con $TEX: $0<r<e$$ . Pero, $TEX: $r=a-eq=a-(ax_0+by_0)q=a(1-qx_0)+b(-qy_0)$$ , es decir $TEX: $r$$ pertenece al conjunto $TEX: $\{ax+by\}$$ , lo que contradice nuestra minimilidad supuesta. Entonces $TEX: $e\|a$$ . De forma análoga se prueba que $TEX: $e\|b$$ . Ahora solo nos resta probar que $TEX: $mcd(a,b)=l=d$$ . En efecto, dado que $TEX: $d=mcd(a,b)$$ existen enteros $TEX: $A$$ y $TEX: $B$$ tales que $TEX: $a=Ad$$ y $TEX: $b=Bd$$ . Luego, $TEX: $e=ax_0+by_0=Adx_0+Bdy_0=d(Ax_0+By_0)$$ . De ésto último se desprende que $TEX: $d\le e$$ . Ahora, claramente no puede ocurrir que $TEX: $d<e$$ . Luego $TEX: $d=e$$ . $TEX: $\blacksquare$$ Saludos. Mensaje modificado por dieguindiegao el Sep 1 2011, 04:49 PM

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