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Seccion I.2, Axioma del "Buen Ordenamiento"

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 28 2006, 03:52 PM Publicado: #1
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Definicion 1 Definamos $TEX: $\mathbb{N}^=\{0,1,2,3,4,...\}$$ como el conjunto de los numeros cardinales[], dotado de dos operaciones, la suma y la multiplicacion, que satisfacen las siguientes propiedades para cualquier terna $TEX: $a,b,c\in\mathbb{N}^$$ 1)Cerradura: $TEX: $a+b$$ y $TEX: $ab$$ tambien son números cardinales. 2)Asociatividad: $TEX: $(a+b)+c=a+(b+c)$$ y $TEX: $(ab)c=a(bc)$$ 3)Distributividad: $TEX: $a(b+c)=ab+ac$$ 4)Neutro Aditivo: $TEX: $0+a=a+0=a$$ 5)Neutro Multiplicativo: $TEX: $a\cdot 1=1\cdot a=a$$ pero ademas se cumple con lo siguiente: Axioma de la "Buena Ordenacion"* Para todo $TEX: $\mathbb{S}\subseteq\mathbb{N}^$$ ( $TEX: $\mathbb{S}\not=\phi$$ ) se cumple que $TEX: $\mathbb{S}$$ posee un menor elemento* Definicion 2 Nosotros definiremos el conjunto de los numeros enteros por: $TEX: $\mathbb{Z}=\{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...\}$$ Definicion 3 Definiremos los numeros racionales como aquellos que pueden expresarse como la razon $TEX: $\displaystyle \frac{a}{b}$$ de dos enteros $TEX: $a,b$$ , donde $TEX: $b\not=0$$ . Nosotros denotaremos el conjunto de los numeros racionales con la letra $TEX: $\mathbb{Q}$$ . Definicion 4 Definiremos los numeros irracionales como aquellos numeros que no pueden ser expresados como la razon entre dos enteros. En el Ejemplo 2 podremos conocer un numero irracional. [] No entremos en la discusion de que si los naturales incluyen el 0 o no,a nivel PSU no lo incluyen, y para evitar cualquier malentendido he decidido que consideremos lo siguiente: $TEX: $\mathbb{N}=\{1,2,3,...\}$$ (numeros naturales) $TEX: $\mathbb{N}^=\{0,1,2,3,...\}$$ (numeros cardinales) -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 28 2006, 05:42 PM Publicado: #2
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Ejemplo 1 Probar que no hay enteros en el intervalo $TEX: $]0,1[$$ . Solucion: Supongamos que el conjunto $TEX: $\mathbb{S}$$ de enteros en el intervalo $TEX: $]0,1[$$ es no-vacio. Luego dado que claramente $TEX: $\mathbb{S}\subseteq\mathbb{N}^$$ , tendremos que por el Axioma de "Buena Ordenacion", $TEX: $\mathbb{S}$$ debe tener un menor elemento, que llamemos " $TEX: $m$$ ". Pero como $TEX: $m\in]0,1[$$ , entonces $TEX: $0<m^2<m<1$$ , por lo cual $TEX: $m^2\in\mathbb{S}$$ (propiedad de clausura+ $TEX: $m\in]0,1[$$ ) y $TEX: $m^2<m$$ , lo que contradice que $TEX: $m$$ sea el menor elemento de $TEX: $\mathbb{S}$$ -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat* (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 28 2006, 05:43 PM Publicado: #3
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Ejemplo 2 Probar que $TEX: $\sqrt{2}$$ no es racional. Solucion: Razonemos por contradiccion, o sea supongamos que $TEX: $\sqrt{2}$$ es un racional, o sea que $TEX: $\sqrt{2}=\frac{a}{b}$$ para algunos enteros $TEX: $a,b$$ , con $TEX: $b\not=0$$ (sin perdida de generalidad podemos suponer $TEX: $a,b>0$$ ) Esto implica que el conjunto: $TEX: $\mathbb{S}=\{m\sqrt{2}\ /\ m\in\mathbb{Z}^+,\ m\sqrt{2}\in\mathbb{Z}^+\}\not=\phi$$ [pues $TEX: $a=b\sqrt{2}\in\mathbb{S}$$ ] Como ademas $TEX: $S\subseteq\mathbb{N}^$$ , debe tener un menor elemento que llamaremos " $TEX: $p$$ ". Luego " $TEX: $p=q\sqrt{2}$$ " para algun $TEX: $q\in\mathbb{Z}$$ . Notemos que $TEX: $0<p(\sqrt{2}-1)=p\sqrt{2}-p=(p-q)\sqrt{2}$$ [] pero $TEX: $p\sqrt{2}\in\mathbb{Z}$$ y $TEX: $p\in\mathbb{Z}$$ , por lo cual $TEX: $(p-q)\sqrt{2}=p\sqrt{2}-p\in\mathbb{Z}^+$$ [por ] Finalmente notemos que: $TEX: $(p-q)\sqrt{2}=q(2-\sqrt{2})<q\sqrt{2}=p$$ [] Pero $TEX: $r=(p-q)\sqrt{2}\in\mathbb{Z}^+$$ , $TEX: $r\sqrt{2}=2(p-q)\in\mathbb{Z}^+$$ , por lo que $TEX: $r\in\mathbb{S}$$ . Pero $TEX: $r<p$$ , lo cual es una contradiccion con el hecho de que " $TEX: $p$$ " sea el menor elemento de $TEX: $\mathbb{S}$$ [] Pues $TEX: $\sqrt{2}>1$$ [] Esto pues: 1) $TEX: $2<2\sqrt{2}\Rightarrow 2-\sqrt{2}<\sqrt{2}$$ 2) $TEX: $q>0$$ 3) $TEX: $p\sqrt{2}=2q$$ -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?**)

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 28 2006, 05:45 PM Publicado: #4
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Ejemplo 3 Sean $TEX: $a,b,c$$ enteros tales que $TEX: $a^6+2b^6=4c^6$$ . Probar que $TEX: $a=b=c=0$$ Solucion: Claramente podemos restringirnos a resolver este problema en los enteros no negativos, pues los exponentes son todos pares. Esto quiere decir que las soluciones de este problema pueden ser obtenidas a traves de las soluciones que podamos obtener en los enteros no negativos(con un simple juego de cambios de signo). Supongamos que existe otra solucion $TEX: $(a,b,c)$$ en los enteros no negativos(aparte de la combinacion $TEX: $a=b=c=0$$ ) tal que $TEX: $max\{a,b,c\}>0$$ sea lo mas pequeño posible. Como $TEX: $a^6+2b^6=4c^6\Rightarrow a^6=2(2c^6-b^6)$$ , entonces " $TEX: $a$$ " debe ser par(si " $TEX: $a$$ " fuera impar, entonces $TEX: $a^6$$ tambien seria impar). Luego $TEX: $a=2a_1$$ con $TEX: $a_1$$ entero no negativo. Luego $TEX: $64a_1^6+2b^6=4c^6\Rightarrow 32a_1^6+b^6=2c^6\Rightarrow b^6=2(c^6-16a_1^6)$$ , entonces " $TEX: b$ " debe ser par(es analogo a lo anterior) Luego $TEX: $b=2b_1$$ con $TEX: $b_1$$ entero no negativo. Luego $TEX: $64a_1^6+128b_1^6=4c^6\Rightarrow 16a_1^6+32b_1^2=c^6$$ Luego " $TEX: $c$$ " debe ser par, por lo que $TEX: $c=2c_1$$ con $TEX: $c_1$$ entero no negativo. Finalmente $TEX: $64a_1^6+128b_1^6=256c_1^6\Rightarrow a_1^6+2b_1^6=4c_1^6$$ , o sea que $TEX: $(a_1,b_1,c_1)$$ resuelve nuestro problema pero $TEX: $max\{a_1,b_1,c_1\}<max\{a,b,c\}$$ Esto contradice la minimalidad de la solucion que ya teniamos, por lo que concluimos que no existe otra solucion aparte de $TEX: $a=b=c=0$$ -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 28 2006, 05:47 PM Publicado: #5
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Ejemplo 4 (IMO 1988) Si $TEX: $a,b$$ son enteros positivos tales que $TEX: $\displaystyle \frac{a^2+b^2}{1+ab}$$ es un entero, probar que entonces $TEX: $\displaystyle \frac{a^2+b^2}{1+ab}$$ es un cuadrado perfecto. Solucion: Razonaremos por contradiccion. Supongamos que existe $TEX: $\displaystyle c=\frac{a^2+b^2}{1+ab}$$ un entero positivo que NO resulta ser un cuadrado perfecto. Dentro de todos los " $TEX: $c$$ " que cumplan esto escogeremos aquel donde $TEX: $max\{a,b\}>0$$ sea lo menor posible(y trabajaremos con el durante todo el resto del problema). Sin perdida de generalidad supondremos que $TEX: $a<b$$ [] Ahora $TEX: $\displaystyle c=\frac{a^2+b^2}{1+ab}\Rightarrow a^2+b^2-c(1+ab)=0\Rightarrow b^2-(ca)b+(a^2-c)=0$$ Luego si consideramos la ecuacion de segundo grado $TEX: $x^2-(ca)x+(a^2-c)=0$$ , tendremos que esta tiene dos raices, una es $TEX: $b$$ , y a la otra le llamaremos $TEX: $b_1$$ . Luego, por las relaciones de Cardano Vieta* tendremos que $TEX: $b+b_1=ca$$ y $TEX: $bb_1=a^2-c$$ . Por lo tanto $TEX: $b_1=ca-b\in\mathbb{Z}$$ [pues $TEX: $a,b,c\in\mathbb{Z}$$ ] Notemos que claramente $TEX: $b_1$$ satisface $TEX: $a^2+b_1^2=c(1+ab_1)$$ [] Analicemos los siguientes tres casos: 1) $TEX: $b_1<0$$ En este caso $TEX: $\displaystyle 0<\frac{a^2+b_1^2}{c}=1+ab_1\le 1-a$$ [] Luego $TEX: $a<1$$ , lo que contradice que " $TEX: $a$$ " sea un entero positivo. 2) $TEX: $b_1=0$$ Reemplazando en [] tendriamos que: $TEX: $a^2+0^2=c(1+a\cdot 0)\Rightarrow c=a^2$$ lo cual contradice nuestro supuesto que $TEX: $c$$ no es un cuadrado perfecto. 3) $TEX: $b_1>0$$ En este caso $TEX: $\displaystyle b_1=\frac{a^2-c}{b}<\frac{b^2-c}{b}<b$$ [pues $TEX: $a<b$$ ] En conclusion tenemos que $TEX: $\displaystyle c=\frac{a^2+b_1^2}{1+ab_1}$$ ( $TEX: $a,b_1>0$$ ) y por ende tenemos una pareja $TEX: $(a,b_1)$$ solucion del problema. pero que ademas $TEX: $max\{a,b\}=b>b_1$$ , y esto permite afirmar que $TEX: $max\{a,b_1\}<max\{a,b\}$$ , que contradice el hecho de que $TEX: $max\{a,b\}$$ era el menor posible. Se concluye entonces que " $TEX: $c$$ " debe ser un cuadrado perfecto. []Si $TEX: $a=b$$ , tendremos que $TEX: $\displaystyle \frac{a^2+b^2}{1+ab}=\frac{2a^2}{1+a^2}$$ Pero $TEX: $\displaystyle 0<\frac{2a^2}{1+a^2}<2$$ . Luego eso obliga que $TEX: $\displaystyle \frac{2a^2}{1+a^2}$$ sea igual a $TEX: $1$$ (pues se supone que es un entero) y por ende es un cuadrado perfecto. [*]Pues $TEX: $a^2,b_1^2,c>0$$ y pues $TEX: $b_1<0\Rightarrow b_1\le -1$$ , pues $TEX: $b_1\in\mathbb{Z}$$ . -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?**)

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 28 2006, 05:53 PM Publicado: #6
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Problemas Propuestos Propuesto 1 (aun no resuelto) Propuesto 2 (aun no resuelto) -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

pelao_malo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 10 2007, 06:47 PM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 878 Registrado: 14-May 07 Desde: Talcahuano Miembro Nº: 5.845 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(Kenshin @ Jan 28 2006, 06:45 PM) Ejemplo 3 Sean $TEX: $a,b,c$$ enteros tales que $TEX: $a^6+2b^6=4c^6$$ . Probar que $TEX: $a=b=c=0$$ <span style='color:blue'>Solucion</span>: Claramente podemos restringirnos a resolver este problema en los enteros no negativos, pues los exponentes son todos pares. Esto quiere decir que las soluciones de este problema pueden ser obtenidas a traves de las soluciones que podamos obtener en los enteros no negativos(con un simple juego de cambios de signo). Supongamos que existe otra solucion $TEX: $(a,b,c)$$ en los enteros no negativos(aparte de la combinacion $TEX: $a=b=c=0$$ ) tal que $TEX: $max\{a,b,c\}>0$$ sea lo mas pequeño posible. Como $TEX: $a^6+2b^6=4c^6\Rightarrow a^6=2(2c^6-b^6)$$ , entonces " $TEX: $a$$ " debe ser par(si " $TEX: $a$$ " fuera impar, entonces $TEX: $a^6$$ tambien seria impar). Luego $TEX: $a=2a_1$$ con $TEX: $a_1$$ entero no negativo. Luego $TEX: $64a_1^6+2b^6=4c^6\Rightarrow 32a_1^6+b^6=2c^6\Rightarrow b^6=2(c^6-16a_1^6)$$ , entonces " $TEX: b$ " debe ser par(es analogo a lo anterior) Luego $TEX: $b=2b_1$$ con $TEX: $b_1$$ entero no negativo. Luego $TEX: $64a_1^6+128b_1^6=4c^6\Rightarrow 16a_1^6+32b_1^2=c^6$$ Luego " $TEX: $c$$ " debe ser par, por lo que $TEX: $c=2c_1$$ con $TEX: $c_1$$ entero no negativo. Finalmente $TEX: $64a_1^6+128b_1^6=256c_1^6\Rightarrow a_1^6+2b_1^6=4c_1^6$$ , o sea que $TEX: $(a_1,b_1,c_1)$$ resuelve nuestro problema pero $TEX: $max\{a_1,b_1,c_1\}<max\{a,b,c\}$$ Esto contradice la minimalidad de la solucion que ya teniamos, por lo que concluimos que no existe otra solucion aparte de $TEX: $a=b=c=0$$ no es lo mas adecuado ni lo mas pertinente, creo, pero ¿Qué Rayos es Max{a1b1} y eso? ahi quede estancado en mi aprendizaje -------------------- $TEX: $\sqrt{5}=41$$

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 11 2007, 03:04 PM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	En realidad, la notación max{a₁,a₂,a₃} indica el máximo (el mayor elemento) del conjunto {a₁,a₂,a₃}. No sé si se deduce del contexto... por algo están preguntando, y vale la pena hacer esta aclaración -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

GlagosSA Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 11 2007, 05:00 PM Publicado: #9
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 380 Registrado: 22-April 06 Desde: Chillan, chile, sudamerica, el mundo Miembro Nº: 912 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(xsebastian @ Sep 11 2007, 04:04 PM) En realidad, la notación max{a₁,a₂,a₃} indica el máximo (el mayor elemento) del conjunto {a₁,a₂,a₃}. No sé si se deduce del contexto... por algo están preguntando, y vale la pena hacer esta aclaración Gracias por la aclaracion y perdon por la mala informacion. Saludos -------------------- Un dia aciago del año 212 a.C., durante la segunda querra punica, Arquimedes se encontraba contemplando algunos circulos que tenia dibujados sobre la arena. Un soldado romano trató de interrumpirlo. La reaccion del genio frente a la presencia del enemigo invasor, el lugar de ser miedo, fue indignacion por verse interrumpido en su trabajo intelectual.-"¡deje en paz a mis circulos!"- Unos minutos mas tarde, el maestro matematico de 75 años, muere atravesado por una espada romana. La altura de tu Vuelo dependera del tamaño de los Ideales que lleves por Alas.. El beso es la distancia mas corta entre Tú y Yo..

alfonsoc Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 23 2010, 12:01 AM Publicado: #10
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 113 Registrado: 4-April 09 Desde: ñuñoa Miembro Nº: 47.031 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Kenshin @ Jan 28 2006, 05:52 PM) <span style='color:blue'>Definicion 1</span> Definamos $TEX: $\mathbb{N}^=\{0,1,2,3,4,...\}$$ como el conjunto de los numeros cardinales[], dotado de dos operaciones, la suma y la multiplicacion, que satisfacen las siguientes propiedades para cualquier terna $TEX: $a,b,c\in\mathbb{N}^$$ 1)Cerradura: $TEX: $a+b$$ y $TEX: $ab$$ tambien son numeros naturales. 2)Asociatividad: $TEX: $(a+b)+c=a+(b+c)$$ y $TEX: $(ab)c=a(bc)$$ 3)Distributividad: $TEX: $a(b+c)=ab+ac$$ 4)Neutro Aditivo: $TEX: $0+a=a+0=a$$ 5)Neutro Multiplicativo: $TEX: $a\cdot 1=1\cdot a=a$$ pero ademas se cumple con lo siguiente: Axioma de la "Buena Ordenacion"* Para todo $TEX: $\mathbb{S}\subseteq\mathbb{N}^$$ ( $TEX: $\mathbb{S}\not=\phi$$ ) se cumple que $TEX: $\mathbb{S}$$ posee un <span style='color:red'>menor elemento</span>* <span style='color:blue'>Definicion 2</span> Nosotros definiremos el conjunto de los numeros enteros por: $TEX: $\mathbb{Z}=\{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...\}$$ <span style='color:blue'>Definicion 3</span> Definiremos los numeros racionales como aquellos que pueden expresarse como la razon $TEX: $\displaystyle \frac{a}{b}$$ de dos enteros $TEX: $a,b$$ , donde $TEX: $b\not=0$$ . Nosotros denotaremos el conjunto de los numeros racionales con la letra $TEX: $\mathbb{Q}$$ . <span style='color:blue'>Definicion 4</span> Definiremos los numeros irracionales como aquellos numeros que no pueden ser expresados como la razon entre dos enteros. En el Ejemplo 2 podremos conocer un numero irracional. [] No entremos en la discusion de que si los naturales incluyen el 0 o no,a nivel PSU no lo incluyen, y para evitar cualquier malentendido he decidido que consideremos lo siguiente: $TEX: $\mathbb{N}=\{1,2,3,...\}$$ (numeros naturales) $TEX: $\mathbb{N}^=\{0,1,2,3,...\}$$ (numeros cardinales) Una pregunta, en el teorema de cerradura, dice que a+b, ab tambien son numeros naturales, ¿pero si con a,b en los cardinales, a=0 y/o a=b=0 siguen siendo naturales? O quizás entendí algo mal xD saludos

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