Prueba grupal. (octava ragión)

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Prueba grupal. (octava ragión), NM3 y NM4.

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alvaro Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 18 2007, 09:18 PM Publicado: #1
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 163 Registrado: 5-August 06 Desde: Concepción, Octava región. Miembro Nº: 1.853 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Estaba faltando esto........ xD $TEX: \textbf{Problema 1.}$ $TEX: Decida si es o no posible poner 7 asteriscos en un tablero de 4x4 (cada uno en alguna casilla) de modo que si se borran 2 filas y 2 columnas, cualesquieras del tablero, siempre quede al menos un asterisco en el tablero.$ $TEX: \textbf{Problema 2.}$ $TEX: En la recta real se dan los intervalos $[a_{1},b_{1}],[a_{2},b_{2}],...,[a_{n},b_{n}]$ de modo que para cada par $i,j$ con $1\leq i<j\leq n$ se tiene que $[a_{i},b_{i}]\cap [a_{j}b_{j}]\neq\varnothing$. Demuestre que existe un $x\in\mathbb{R}$, tal que $x\in[a_{k},b_{k}]$, $\forall k\in \{1,2,...,n\}.$$ $TEX: \textbf{Problema 3.}$ $TEX: Sea $x>0$. Pruebe que $2\lfloor x\rfloor\leq\lfloor 2x\rfloor.$$ $TEX: \textbf{Problema 4.}$ $TEX: Resolver la ecuaci\'on$ $TEX: $$\lfloor x + \dfrac{1}{2}\rfloor=\dfrac{x^3}{2}$$$ $TEX: \textbf{Problema 5.}$ $TEX: Calcular el valor del producto$ $TEX: $$\dfrac{2^2-1}{2^2}\times \dfrac{3^2-1}{3^2}$$$ $TEX: $\times \dfrac{4^2-1}{4^2}\times \ldots\times$$ $TEX: $\dfrac{2005^2-1}{2005^2}\times \dfrac{2006^2-1}{2006^2}.$$ Nota: $TEX: $\lfloor a\rfloor$$ , se le llama la parte entera de "a" , es decir el mayor entero menor o igual que "a" -------------------- "Me esfuerzo por ser mejor; y no él mejor" A.Flores

pelao_malo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 28 2007, 01:58 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 878 Registrado: 14-May 07 Desde: Talcahuano Miembro Nº: 5.845 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: \noindent \textbf{Problema 3}\\<br /><br />\noindent Por definici\'on, tenemos $$[x]=x-\alpha\ \ \ \ \alpha\in{[0,1)}$$<br />por lo que podemos considerar $2$ casos:\\<br /><br />\noindent Caso 1) $\alpha=0$. Claramente, si $\alpha=0$, entonces $2[x]=2(x-0)=2x$ y $[2x]=2x-0=2x$, entonces ahi se cumple la igualdad.\\<br /><br />\noindent Caso 2) $\alpha\in{(0,1)}$. Ahi tenemos entonces $2[x]=2(x-\alpha)=2x-2\alpha$ y $[2x]=2x-\alpha$. Como $\alpha>0$, entonces tenemos que $2[x]<[2x]$.\\<br /><br />\noindent Entonces podemos concluir que $$2[x]\le [2x]$$<br /><br />\noindent Nota: As\'i como lo hemos hecho con $2$, funciona con cualquier natural.\\<br /><br />\noindent Salu2<br /><br />$ -------------------- $TEX: $\sqrt{5}=41$$

pelao_malo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 28 2007, 02:13 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 878 Registrado: 14-May 07 Desde: Talcahuano Miembro Nº: 5.845 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: \noindent \textbf{Problema 5}\\<br /><br />\noindent Notemos que en general tenemos que multiplicar n\'umeros de la forma $$\dfrac{k^2-1}{k^2}=\left(\dfrac{k+1}{k}\right)\left(\dfrac{k-1}{k}\right)$$<br />Entonces tenemos $$\dfrac{2^2-1}{2^2}\times \dfrac{3^2-1}{3^2}\times...\times\dfrac{2005^2-1}{2005^2}\times \dfrac{2006^2-1}{2006^2}$$ $$=\dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{4}{3}\cdot \dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{5}{4}\cdot \dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{6}{5}\cdot \dfrac{4}{5}\cdot ...\cdot \dfrac{2007}{2006}\cdot \dfrac{2005}{2006}$$ Donde podemos observar que si tomamos una fracci\'on cualquiera y la multiplicamos por una que est\'e $3$ puestos m\'as adelante (exceptuando el $\dfrac{1}{2}$) se cancelar\'an entre s\'i dando $1$. Podemos tambi\'en ver que los t\'erminos se van cancelando mutuamente hasta quedar solo el $\dfrac{1}{2}$ con el $\dfrac{2006}{2007}$ que no se cancelan con nada, quedando $$\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2007}{2006}=\dfrac{2007}{4012}$$ Salu2$ -------------------- $TEX: $\sqrt{5}=41$$

pelao_malo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 28 2007, 02:43 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 878 Registrado: 14-May 07 Desde: Talcahuano Miembro Nº: 5.845 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: \noindent \textbf{Problema 4}\\<br /><br />\noindent Notemos que la parte izquierda de la ecuaci\'on es siempre entera, por lo que la parte derecha igual debe serlo, entonces $x$ es un entero par. Entonces podemos decir que $\left[x+\dfrac{1}{2}\right]=x$, ya que $x$ es el mayor entero menor o igual a $x+\dfrac{1}{2}$. Entonces debemos resolver la ecuaci\'on $$x=\dfrac{x^3}{2}\to x^3=2x\to x(x^2-2)=x(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})=0$$ que tiene como solucion entera $x=0$.\\<br /><br />\noindent Salu2<br />$ -------------------- $TEX: $\sqrt{5}=41$$

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 4 2008, 05:06 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(pelao_malo @ Dec 28 2007, 02:58 PM) $TEX: \noindent Caso 2) $\alpha\in{(0,1)}$. Ahi tenemos entonces $2[x]=2(x-\alpha)=2x-2\alpha$ y $[2x]=2x-\alpha$.$ Esta es parte de tu solución al problema 3. Al final de esta línea tienes un error: observa que $TEX: $\alpha$$ es la parte fraccionaria de x. En general, la parte fraccionaria de 2x no es igual a $TEX: $\alpha$$ . En cualquier caso, es muy buena idea trabajar con la parte fraccionaria CITA(pelao_malo @ Dec 28 2007, 03:43 PM) $TEX: \noindent \textbf{Problema 4}\\<br /><br />\noindent Notemos que la parte izquierda de la ecuaci\'on es siempre entera, por lo que la parte derecha igual debe serlo, entonces $x$ es un entero par.$ Es verdad que el lado derecho de la igualdad es un número entero, entonces x³ es un número entero par. Esto no implica que x lo sea... un poco más de cuidado antes de afirmar que x es entero par. -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

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