 Examen Cálculo II, MAT1512 2S 2007 |
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 Dec 10 2007, 02:54 PM
Publicado:
#1
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 Maestro Matemático  Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 121 Registrado: 6-December 05 Desde: Las Condes - Chillán Miembro Nº: 460 Nacionalidad:  Colegio/Liceo:  Universidad:  Sexo:   |
![TEX: <br />$ $ \\<br />MAT1512 - EXAMEN \\<br />30 de Noviembre de 2007<br />$ $ \\<br />$ $ \\<br />$\boxed{1}$ Analice la convergencia de las series siguientes. Jusstifique sus respuestas. \\<br />a) $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{e^{\sqrt{n}}}{n^n}$ \\<br />b) $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty \displaystyle\int_0^\pi \dfrac{\sin{x}}{x+n\pi} dx$<br />$ $ \\<br />$ $ \\<br />$\boxed{2}$ Considere la regi\'on $R$ del plano definida por $R = R_1 \cup R_2$ donde \\<br />$$R_1 = \left\{(x,y): x^2+y^2 \le 4, x \ge 0, y \ge 0 \right\}, R_2 = \left\{(x,y): x^2+y^2 \le 1, x \le 0, y \ge 0 \right\}$$ \\<br />a) Calcule el centroide de $R$. \\<br />b) Determine el volumen del s\'olido que genera la rotaci\'on de la regi\'on de $R$ con respecto a la linea $L: y = \dfrac{\pi}{8}$. \\<br />$ $ \\<br />$\boxed{3}$ Considere la curva $\Gamma$ en $\mathbb{R} ^3$, cuya parametrizaci\'on est\'a dada por \\<br />$$\varphi (t) = \left(\dfrac{2t^{\frac{3}{2}}}{3},2t,t \right), 0 < t < \infty$$ \\<br />a) Calcule la curvatura de $\Gamma$ en $\left(\frac{2}{3}, 2,1 \right)$. \\<br />b) Calcule la binormal $B$ en $\left(\frac{2}{3}, 2,1 \right)$. \\<br />c) Pruebe que $\Gamma$ es planar. \\<br />$ $ \\<br />$ $ \\<br />$\boxed{4}$ Sea $\Gamma$ una curva planar en $\mathbb{R} ^3$ parametrizada por $\alpha : [a,b] \to \mathbb{R} ^3$ con curvatura $k(t) \ne 0$ para todo $t \in [a,b]$. Denotemos por $\hat N (t)$ su normal unitaria. Definamos la curva $\gamma$ parametrizada por \\<br />$$\beta (t) = \alpha (t) + \dfrac{1}{k(t)} \hat N (t), t \in [a,b]$$ \\<br />a) Pruebe que las tangentes de $\Gamma$, $\gamma$ son perpendiculares para todo $t$. \\<br />b) Sea $\alpha (t) = (t,t^2,0)$. Calcule $\beta (t)$.<br /><br />](./tex/19ebb60359949c504b9a7a08801e96ec.gif)
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Oct 9 2008, 09:46 PM
Publicado:
#2
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 Staff FMAT  Grupo: Moderador Mensajes: 2.604 Registrado: 2-March 07 Desde: Somewhere over the rainbow Miembro Nº: 4.244 Nacionalidad: Colegio/Liceo:  Universidad:  Sexo:  |
![TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> b)S = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\int_0^\pi {\frac{{\sin x}}<br />{{x + nx}}dx} } = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}<br />{{n + 1}}\int_0^\pi {\frac{{\sin x}}<br />{x}dx} } \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{como }}\int_0^\pi {\frac{{\sin x}}<br />{x}dx} {\text{ es una integral definida tiene un valor}}{\text{, no me importa cual es}}{\text{,}} \hfill \\<br /> {\text{pero es una constante positiva}}{\text{, con lo que la serie se puede reescribir como:}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{A}<br />{{n + 1}}} = A\sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{1}<br />{n}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Y esta ultima serie diverge }}\therefore {\text{S diverge}} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />](./tex/5ea0ae1f68e250f5ce71ad8f9b29f90a.png) hace poco tuve mi primera clase de series, asi que disculpanme si me equivoco grotescamente 
-------------------- INRIA - Francia, Sophia Antipolis Biocore Team Ingeniero Civil en Biotecnología Ingeniería Civil Químico  “(…) los elementos que él (¿o Él?) [Dios] mismo nos ha dado (raciocinio, sensibilidad, intuición) no son en absoluto suficientes como para garantizarnos ni su existencia ni su no existencia. Gracias a una corazonada puedo creer en Dios y acertar o no creer en Dios y también acertar" Mario Benedetti ![TEX: \[\iiint\limits_\Omega {\left( {\nabla \cdot \vec F} \right)dV} = \iint\limits_{\partial \Omega } {\left( {\vec F \cdot \hat n} \right)}dS\]<br />](/tex-image/662cf378c88b8d7170f7919ce7dc427a.png) |
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Oct 11 2008, 08:11 PM
Publicado:
#3
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Staff FMAT Grupo: Moderador Mensajes: 2.604 Registrado: 2-March 07 Desde: Somewhere over the rainbow Miembro Nº: 4.244 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo: |
![TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> a)S = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{e^{\sqrt n } }}<br />{{n^n }}} < \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{e^n }}<br />{{n^n }}} = \sum\limits_{n = 1}^2 {\frac{{e^n }}<br />{{n^n }}} + \sum\limits_{n = 3}^\infty {\left( {\frac{e}<br />{n}} \right)^n } \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Como }}\sum\limits_{n = 1}^2 {\frac{{e^n }}<br />{{n^n }}} {\text{ esta acotado no tiene relevancia}}{\text{, para la seria que queda }}n > 3 \Rightarrow \hfill \\<br /> 0 < \left( {\frac{e}<br />{n}} \right) < 1 \Rightarrow \sum\limits_{n = 3}^\infty {\left( {\frac{e}<br />{n}} \right)^n } {\text{ converge}} \Rightarrow S{\text{ tambien}} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br /><br />](./tex/0937664435401b6d4e244c0c7931dfa0.png)
Mensaje modificado por naxoobkn el Oct 11 2008, 08:12 PM -------------------- INRIA - Francia, Sophia Antipolis Biocore Team Ingeniero Civil en Biotecnología Ingeniería Civil Químico “(…) los elementos que él (¿o Él?) [Dios] mismo nos ha dado (raciocinio, sensibilidad, intuición) no son en absoluto suficientes como para garantizarnos ni su existencia ni su no existencia. Gracias a una corazonada puedo creer en Dios y acertar o no creer en Dios y también acertar" Mario Benedetti |
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