 Maldito sistema, Problema britanico |
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 Dec 9 2007, 02:09 PM
Publicado:
#1
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 Dios Matemático Supremo  Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad:  Colegio/Liceo:  Universidad:  Sexo:   |
Encuentra todas las soluciones reales positivas a,b,c,d del sistema:
a+b+c+d=12 abcd=27+ab+ac+ad+bc+bd+cd Dificil, pero estupido.  Mensaje modificado por Vargüitas DSLU el Dec 9 2007, 02:09 PM -------------------- Ricardo Vargas Obando
Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile.  Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico:
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Mar 12 2008, 12:01 AM
Publicado:
#2
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Dios Matemático Supremo Grupo: Baneado Mensajes: 2.588 Registrado: 7-November 06 Miembro Nº: 2.747 |
Por simple verificación ( dividí 12 entre 4 , y ahi probé en la otra ecuación xD) , a=b=c=d=3 satisface el sistema
saludos ! Mensaje modificado por jorgeston el Mar 12 2008, 12:02 AM |
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Mar 12 2008, 09:30 AM
Publicado:
#3
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 Dios Matemático Supremo  Grupo: Colaborador Gold Mensajes: 874 Registrado: 18-October 07 Desde: The Matrix... Miembro Nº: 11.478 Nacionalidad: Colegio/Liceo:  Universidad:  Sexo: |
CITA(Vargüitas DSLU @ Dec 9 2007, 04:03 PM)  Encuentra todas las soluciones reales positivas a,b,c,d del sistema: a+b+c+d=12 abcd=27+ab+ac+ad+bc+bd+cd Dificil, pero estupido. Es un sistema de dos ecuaciones y cuatro incógnitas, por lo que, para encontrar todas las soluciones, necesariamente tienes que expresar dos incógnitas en función de las otras dos. ¿A eso te refieres??? -------------------- |
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Mar 12 2008, 11:19 AM
Publicado:
#4
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 Dios Matemático Supremo  Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 1.605 Registrado: 25-June 05 Miembro Nº: 123 Colegio/Liceo:  Universidad:  Sexo: |
CITA(caf_tito @ Jan 23 2008, 04:21 PM) Siguiendo el Hint
![TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> MA \geqslant MG \hfill \\<br /> ab + ac + ad + bc + bd + cd \geqslant 6\sqrt[6]{{\left( {abcd} \right)^3 }} \hfill \\<br /> abcd - 27 \geqslant 6\sqrt {abcd} \hfill \\<br /> a^2 b^2 c^2 d^2 - 54abcd + 729 \geqslant 36abcd \hfill \\<br /> a^2 b^2 c^2 d^2 - 90abcd + 729 \geqslant 0 \hfill \\<br /> \left( {abcd - 81} \right)\left( {abcd - 9} \right) \geqslant 0 \hfill \\<br /> \Rightarrow abcd \geqslant 81{\text{ }}\left( {\text{1}} \right) \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> MA \geqslant MG \hfill \\<br /> \frac{{a + b + c + d}}<br />{4} \geqslant \sqrt[4]{{abcd}} \hfill \\<br /> 81 \geqslant abcd{\text{ }}\left( {\text{2}} \right) \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{De }}\left( {\text{1}} \right){\text{ y }}\left( {\text{2}} \right){\text{ se deduce }}abcd = 81 \Rightarrow MA = MG\therefore a = b = c = d = 3 \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]](./tex/befbf4028c972140ebf4369266a5051c.png) --------------------  |
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Jul 21 2017, 07:54 PM
Publicado:
#5
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Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 817 Registrado: 21-February 14 Miembro Nº: 127.064 |
Bonita solución, aunque para una solución olímpica no se debe obviar nada, se entiende el por qué no consideraste el caso
 pero a veces no es tan obvio.
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