Bisectrices Perpendiculares

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Bisectrices Perpendiculares, corteli - Resuelto por Felipe_ambuli y Assassin....

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pelao_malo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 8 2007, 05:41 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 878 Registrado: 14-May 07 Desde: Talcahuano Miembro Nº: 5.845 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	P y Q son puntos externos a esa circunferencia, de las cuales se trazan unas secantes hacia el circulo tan que forman el cuadrilatero ABCD. Luego se trazan las bisectrices PX y QY. Probar que PX es perpendicular a QY. Con 2 formas distintas estamos pasando a resueltos =D salu2 -------------------- $TEX: $\sqrt{5}=41$$

Felipe_ambuli Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 8 2008, 09:06 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 836 Registrado: 9-January 07 Desde: Santiasko Miembro Nº: 3.659 Nacionalidad: Sexo:	Solucion : $TEX: \noindent Sea $V=PX\cap QY$, $T=PX\cap AQ$. Sea $\angle{DPX}=\angle{XPC}=\alpha$, $\angle{AQY}=\angle{YQD}=\beta$, y sea $\angle{CBQ}=\angle{TBP}=\gamma$. Tenemos $\angle{DCB}=\angle{CBQ}+\angle{BQC}=2\beta+\gamma$. Como el $ABCD$ es ciclico, entonces $\angle{PAB}=\angle{DCB}=2\beta+\gamma$. Por otra parte, tenemos que $\angle{PTB}=\angle{APT}+\angle{PAT}=2\beta+\gamma+\alpha$. En el $\vartriangle{PTB}$, tenemos que $2\alpha+2\beta+2\gamma=180\to \alpha+\beta+\gamma=90$. Ahora $\angle{TVQ}=\angle{PTB}-\angle{TQV}=\alpha+\beta+\gamma$, y como teniamos que $\alpha+\beta+\gamma=90$, entonces $PX\perp QY$, como se pedia.$ Mensaje modificado por Felipe_ambuli el Feb 10 2008, 02:33 PM

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 8 2008, 10:48 PM Publicado: #3
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Felipe_ambuli @ Feb 9 2008, 12:02 AM) Solucion : $TEX: \noindent Sea $V=PX\cap QY$, $T=PX\cap AQ$. Sea $\angle{DPX}=\angle{XPC}=\alpha$, $\angle{AQY}=\angle{YQD}=\beta$, y sea $\angle{CBQ}=\angle{TBP}=\gamma$. Tenemos $\angle{DCB}=\angle{CBQ}+\angle{BQC}=2\beta+\gamma$. Como el $ABCD$ es ciclico, entonces $\angle{PAB}=\angle{DCB}=2\beta+\gamma$. Por otra parte, tenemos que $\angle{PTB}=\angle{APT}+\angle{PAT}=2\beta+\gamma+\alpha$. En el $\vartriangle{PTB}$, tenemos que $2\alpha+2\beta+2\gamma=180\to \alpha+\beta+\gamma=90$. Ahora $\angle{TVQ}=\angle{PTB}-\angle{TQV}=\alpha+\beta+\gamma$, y como teniamos que $\alpha+\beta+\gamma=90$, entonces $PX\perp QY$, como se pedia.$ Tu solución es correcta, aunque falta la figura y hay un error de tipeo (donde dice "en el triángulo PTB tenemos $TEX: $2\alpha+2\beta+2\gamma=180\to \alpha+\beta+\gamma=90$$ ", debería decir "en el triángulo PAB..."). Como pelao pide dos soluciones distintas, este problema sigue en la sección de propuestos. Saludos -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

Assassin.... Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 9 2008, 12:50 PM Publicado: #4
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 45 Registrado: 20-October 07 Miembro Nº: 11.559 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: \begin{minipage}{0.1<br />\textwidth}\psshadowbox[linecolor=Black,framearc=0.5,linewidth=0.5pt,fillstyle=gradient,gradbegin=Blue,grad<br />end=white,framesep=4pt,shadowcolor=Black,gradmidpoint=0.9]<br />{Solución}\\[1cm]\end{minipage}$ $TEX: Denotemos $R=\overline{QY}\cap \overline{BC}$ y $S=\overline{QY}\cap \overline{AD}$. Sean $\alpha=\angle{BQR}=\angle{RQC}$, $\beta=\angle{DPX}=\angle{XPC}$, $\gamma=\angle{BAD}$ y $\epsilon=\angle{ASR}$. Como el ABCD es cíclico el $\angle{BCQ}=\gamma \Rightarrow \angle{CRQ}=\epsilon=\angle{PRS} \Rightarrow \triangle{PRS}$ es isóceles.\\ Ahora como $\overline{PX}$ es bisectriz, también es altura, luego $\overline{PX}\perp \overline{QY}. \blacksquare$$

Felipe_ambuli Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 10 2008, 02:40 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 836 Registrado: 9-January 07 Desde: Santiasko Miembro Nº: 3.659 Nacionalidad: Sexo:	Killua pero en el triangulo PTB tbn se cumple que $TEX: $2\alpha+2\beta+2\gamma=180$$ Ah y lo de la imagen no pude ponerla en el post anterior pq no podia subirla a imageshack (iba a poner que no pude pero se me olvido xD). Bueno, ahi edite. Saludos

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 10 2008, 11:33 PM Publicado: #6
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Felipe_ambuli @ Feb 10 2008, 05:36 PM) Killua pero en el triangulo PTB tbn se cumple que $TEX: $2\alpha+2\beta+2\gamma=180$$ Ah y lo de la imagen no pude ponerla en el post anterior pq no podia subirla a imageshack (iba a poner que no pude pero se me olvido xD). Bueno, ahi edite. Saludos Toda la razón, me confundí ya que no tenías figura CITA(Assassin.... @ Feb 9 2008, 03:46 PM) $TEX: \begin{minipage}{0.1<br />\textwidth}\psshadowbox[linecolor=Black,framearc=0.5,linewidth=0.5pt,fillstyle=gradient,gradbegin=Blue,grad<br />end=white,framesep=4pt,shadowcolor=Black,gradmidpoint=0.9]<br />{Solución}\\[1cm]\end{minipage}$ $TEX: Denotemos $R=\overline{QY}\cap \overline{BC}$ y $S=\overline{QY}\cap \overline{AD}$. Sean $\alpha=\angle{BQR}=\angle{RQC}$, $\beta=\angle{DPX}=\angle{XPC}$, $\gamma=\angle{BAD}$ y $\epsilon=\angle{ASR}$. Como el ABCD es cíclico el $\angle{BCQ}=\gamma \Rightarrow \angle{CRQ}=\epsilon=\angle{PRS} \Rightarrow \triangle{PRS}$ es isóceles.\\ Ahora como $\overline{PX}$ es bisectriz, también es altura, luego $\overline{PX}\perp \overline{QY}. \blacksquare$$ La solución es correcta, pero creo que te saltaste un paso, cuando concluyes que $TEX: $\angle{CRQ}=\epsilon$$ . Notar que viene dado por la suma de los ángulos en el triángulo ASQ ( $TEX: $\alpha+\gamma+\epsilon=180$$ ) y en el triángulo CRQ tenemos $TEX: $\alpha+\gamma+\angle{CRQ}=180$$ . Con dos soluciones básicamente distintas, pasamos a resueltos Saludos. -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

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