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Divisibilidad y más, Parte 1

pelao_malo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 3 2007, 03:33 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 878 Registrado: 14-May 07 Desde: Talcahuano Miembro Nº: 5.845 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	hola amigos de fmat! weno, yo quiero ahora compartir con ustedes un par de cosillas, que nunca están demás en el arsenal de los que les gusta la matemática y el por qué de algunas cositas básicas. La Divisibilidad de los Números Para no tener dudas en la lectura, los enteros se denotan por $TEX: $\mathbb{Z}$$ y algunos de estos son $TEX: $...-21,-4,0,3,74...$$ . Los naturales de denotan por $TEX: $\mathbb{N}$$ y algunos de estos son $TEX: $1,2,3,...,54,55,...$$ . Diremos $TEX: $x\in{\mathbb{Z}}$$ si $TEX: $x$$ es un número que pertenece a los enteros. Por ejemplo, $TEX: $-31\in{\mathbb{Z}}$$ y $TEX: $666\in{\mathbb{N}}$$ . Ahora, para empezar, debemos definir que es divisibilidad. $TEX: \noindent \bf{Divisibilidad}$ $TEX: \noindent Si $a,b\in{\mathbb{Z}}$, diremos que un n\'umero $a$ es divisible por un n\'umero $b$, con $b\not=0$, si $a=bk$, con $k\in{\mathbb{Z}}$. Lo denotaremos por $b\mid a$ ($b$ divide al n\'umero $a$).\\<br /><br />\noindent Ejemplos:\\<br />$4\mid 28$, porque $28=4\cdot 7$, y $7$ es un entero.\\<br />$5\mid 200$, porque $200=5\cdot 40$ $40$ que es un entero.\\<br />$6\not \|\ 34$ porque $34=6k$ donde $k$ no es entero.\\<br /><br />\noindent Podemos usar un m\'etodo muy bonito para calcular si n\'umeros grandes son divisibles por alg\'un n\'umero, lo presentar\'e a continuaci\'on:\\<br /><br />\noindent Deseamos saber si $n=34026$ es divisible en $6$, entonces, lo que hacemos es encontrar un m\'ultiplo de $6$ conocido suficientemente grande como para restarselo a $n$ y as\'i poder analizarlo m\'as r\'apido.\\<br />Al ojo se ve que es $30000$, entonces se lo restamos y obtenemos $34026-30000=4026$, ahora le restamos otro n\'umero m\'ultiplo de $6$ cercano, que se podr\'ia decir que es $3600$, entonces queda $4026-3600=426$, si a este n\'umero le restamos $420$ que es m\'ultiplo de $6$, obtenemos $6$, que es divisible en $6$.<br />Podemos concluir as\'i que $34026$ es divisible en $6$, ya que todos los pasos son reversibles, y como $6=6\cdot 1$, $420=6\cdot 70$, $3600=6\cdot 600$ y $30000=6\cdot 5000$; y los sumamos, quedando de la forma $6(1+70+600+5000)$. En general, podemos averiguar si un n\'umero $a$ es divisible en $b$, rest\'andole continuamente m\'ultiplos de $b$ para as\'i lograr legar a un n\'umero peque\~no y decir si $a$ es divisible en $b$. Si es que el \'ultimo n\'umero peque\~no llegamos no es un m\'ultiplo de $b$, implica que $a\not \|\ b$.\\<br /><br />\noindent Sabiendo la definici\'on y ese truquito, podemos continuar definiendo un t\'ermino crucial en el desarrollo de este tema$ $TEX: $\bf{Congruencia}\\$$ $TEX: \noindent Si $a,b\in{\mathbb{Z}}$ y $n\in{\mathbb{N}}$, son tales que $n\mid (a-b)$, entonces decimos $$a\equiv b(n)$$ y se lee \emph{$a$ es congruente a $b$ en m\'odulo $n$}$ $TEX: \noindent Repasaremos unas propiedades de la congruencia, que nos dar\'an una s\'olida base para poder deducir divisibilidades.\\<br /><br />\noindent 1.- Si $a\equiv b(n)$, y $c\in{\mathbb{Z}}$, entonces $a+c\equiv b+c(n)$.\\<br /><br />\noindent Demostraci\'on: S\'olo debemos notar que $$a+c-(b+c)=a+c-b-c=a-b$$ entonces $$n\mid (a-b)\Longrightarrow n\mid (a+c)-(b+c)\Longrightarrow a+c\equiv b+c(n)$$\\<br /><br />\noindent 2.- Si $a\equiv b(n)$, y $c\equiv d(n)$, entonces $ac\equiv bd(n)$.\\<br /><br />\noindent Demostraci\'on: Si $$a\equiv b(n)\Longrightarrow a=b+kn$$ para alg\'un $k\in{\mathbb{Z}}$, entonces $$c\equiv d(n)\Longrightarrow c=d+nl$$ con $l\in{\mathbb{Z}}$. Eso implica que $$ab=knnl+knd+bnl+cd\Longrightarrow ab-cd=n\underbrace{(knl+kd+bl)}_{entero}$$ entonces $ab\equiv bc(n)$.\\<br /><br />\noindent 3.- Si $a\equiv b(n)$, y $k\in{\mathbb{N}}$, entonces $a^k\equiv b^k(n)$.\\<br /><br />\noindent Demostraci\'on: Podemos multiplicar la congruencia $a\equiv b(n)$ por si misma $k$ veces (gracias a la propiedad $2$) para obtener $a^k\equiv b^k(n)$.$ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ya visto lo anteriormente expuesto, podemos ver lo que realmente quería compartir. $TEX: \noindent Todo n\'umero que analizaremos a continuaci\'on, ser\'a en la base $10$.\\<br />Eso significa que cualquier n\'umero $x$ puede ser escrito como una suma de t\'erminos de la forma $10^ia_i$ con $a_i$ el d\'igito en la posici\'on $a+1$.\\<br />Por ejemplo $$5782=5\cdot 10^3+7\cdot 10^2+8\cdot 10^1+2$$<br />Teniendo esto en cuenta, podemos continuar nuestra lectura$ $TEX: \noindent Sabemos que un n\'umero es divisible en $2$, si su \'ultima cifra lo es (par).\\<br />Sabemos que un n\'umero es divisible en $4$, si sus \'ultimas $2$ cifras lo son.\\<br />Tambi\'en se sabe que para que un n\'umero sea div. en $8$, sus \'ultimas $3$ cifras deben serlo.\\<br />Entonces, como para seguir un patr\'on, podemos decir:\\<br />Para que un número sea divisible en $2^k$, sus últimas $k$ cifras deben serlo.$ Ahora, ¿Cómo demostrarlo?. $TEX: \noindent Sabemos que $2^k\mid 10^k$ (ya que $10^k=2^k\cdot n$ con $n=5^k\in{\mathbb{Z}}$.<br />Entonces, supongamos que para un $i<n$, tenemos el n\'umero $$x=a_0+10^1a_1+10^2a_2+...+10^{i-1}a_{i-1}+10^ia_i+...+10^na_n$$ Si lo analizamos en m\'odulo $2^i$, tendremos $$x\equiv a_0+10^1a_1+10^2a_2+...+10^{i-1}a_{i-1}+0\cdot a_i+...+0\cdot a_n\ (2^i)$$ O sea, si las \'ultimas $k$ cifras son divisibles en el n\'umero $2^i$, entonces dicho n\'umero ser\'a divisible en $2^i$.\\<br /><br />\noindent Es ultraarchirequetemegaconocido que un n\'umero es divisible en $3$ o en $9$, s\'olo si la suma de sus cifras lo es...pero$ ¿Será cierto? $TEX: \noindent Sea $$x=a_0+10^1a_1+10^2a_2+...+10^na_n$$ Notemos que $10\equiv 1(3)\Longrightarrow 10^j\equiv 1^j\equiv 1(3)$ con un $j\in{\mathbb{N}}$. Entonces, analizando $x$ en m\'odulo $3$ tenemos $$x\equiv a_0+1\cdot a_1+1\cdot a_2+...+1\cdot a_n(3)$$ Concluyendo que si la suma de las cifras de $x$ es divisible en $3$, $x$ tambi\'en lo ser\'a. An\'alogamente, $10\equiv 1(9)\Longrightarrow 10^j\equiv 1(9)$, demostrando lo mismo para $9$. Pero por qu\'e aqu\'i no podemos decir: $x$ es div. en $3^j$ solo si la suma de sus cifras lo son... porque $3$ y $9$ son los \'unicos n\'umeros que cumplen $10\equiv 1$ en dicho m\'odulo.\\<br /><br />\noindent La divisibilidad en $5$ nos dice algo similar a la del $2$, o sea, las \'ultimas $j$ cifras deben ser divisibles en $x$ para que $x$ sea divisible en $5^j$...Esta aseveraci\'on es cierta, y se demuestra de manera muy similar a la de $2^k$ que hicimos anteriormente, solo cambia eñ n\'umero en dicho an\'alisis, pero es la misma regla.\\<br /><br />\noindent Si usted de esos emprendedores que les gusta averiguar todo, dem\'as que se sabe la regla de divisibilidad por $11$, pero es mas o menos complicada. Pero debes animarlo a demostrarla! =D!.\\<br /><br />\noindent Sabemos que $10\equiv -1(11)$, entonces si $n\in{\mathbb{N}}$ tenemos $$(-1)^{2n}=1$$ $$(-1)^{2n-1}=-1$$ de donde podemos concluir que $$10^{2n}\equiv 1(11)$$ $$10^{2n-1}\equiv -1(11)$$ Invoquemos nuevamente a nuestro requeteusado n\'umero $$x=a_0+10^1a_1+10^2a_2+10^3a_3+...+10^na_n$$ <br />Contin\'ua..........$ -------------------- $TEX: $\sqrt{5}=41$$

DoomH~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 16 2008, 01:45 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.429 Registrado: 6-October 07 Miembro Nº: 10.987	Gracias pelao_malo, nunca esta demas aprender y reforzar lo ya aprendido, bueno, en realidad es repoco lo que manejaba de divisibilidad. Saludos PD:Otra vez pelao_malo xD -------------------- CHAO.

diego__albo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 8 2009, 09:06 PM Publicado: #3
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 272 Registrado: 14-May 08 Desde: Santiago Miembro Nº: 23.146 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	gracias pelao_malo x este material de lujo!!!! muy weno el material y la info. pa demostrar una materia que los alumnos x lo general la manejan muy poco salu2!!! --------------------

Paxo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 8 2009, 09:09 PM Publicado: #4
Maestro Matemático Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 107 Registrado: 22-November 08 Miembro Nº: 39.199 Nacionalidad: Sexo:	Gracias por el aportazo se agradece

pelao_malo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 8 2009, 11:06 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 878 Registrado: 14-May 07 Desde: Talcahuano Miembro Nº: 5.845 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	de nada xD -------------------- $TEX: $\sqrt{5}=41$$

mpizany Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 1 2009, 10:13 AM Publicado: #6
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1 Registrado: 28-November 08 Miembro Nº: 39.781 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Grandeeee el aportaso saludos

Gerardo Soto Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 14 2011, 12:22 PM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.648 Registrado: 16-April 10 Desde: Dalcahue-Chiloe Miembro Nº: 68.853 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Gracias, buscando aquí en el sector , algunos problemas resueltos y material, me encontre con esto. Saludos y gracias por el aporte ;D creo que hay un error en la demostración que si $TEX: $$a\equiv b\bmod n$$$ y $TEX: $$c\equiv d\bmod n$$$ $TEX: $$\Rightarrow ac\equiv bd\bmod n$$$ pero es nada grave. Saludos Mensaje modificado por Gerardo Soto el May 14 2011, 12:57 PM -------------------- >>He robado princesas a reyes agónicos. Incendié la ciudad de Trebon. He pasado la noche con Felurian y he despertado vivo y cuerdo. Me expulsaron de la Universidad a una edad a la que a la mayoría todavía no los dejan entrar. He recorrido de noche caminos de los que otros no se atreven a hablar ni siquiera de día. He hablado con Dioses, he amado a mujeres y he escrito canciones que hacen llorar a los bardos.<< <<Me llamo Kvothe (<Cuouz>). Quizá hayas oído hablar de mí.”>> El nombre del viento, primer dìa de la historia de Kvothe .-“Todo hombre sabio le teme a tres cosas: Una noche sin luna, una tormenta en el mar y a la ira de un hombre bueno.”” Citas del Nombre del viento .-Me llamo kvothe, que se pronuncia <<cuouz>>. Los nombres son importantes porque dicen mucho sobre las personas. He tenido más nombres de los que nadie merece.Los Adem me llaman Maedre. Que, según como se pronuncie, puede significar la Llama, el Trueno o el Árbol Partido. Mi primer mentor me llamaba E'lir porque yo era listo y lo sabìa. Mi primera amante me llamaba Dulator porque le gustaba cómo sonaba. Me han llamado Kvothe el Sin Sangre, Kvothe el Arcano y Kvothe el Asesino de Reyes. Todos esos nombres me los he ganado. Pero crecí siendo Kvothe. Una vez mi padre me dijo que significaba <<saber>>. .-“Y soy Edena Ruh hasta la médula. Lo que significa que mi sangre es roja. Significa que respiro aire puro y camino por donde me llevan los pies. No me arrastro ni me acobardo como un perro ante nadie por el hecho de que tenga un título. Eso lo interpretan como orgullo quienes se han pasado la vida lamiéndoles el culo a los demás.”(Kvothe) .-“Te lo juro por toda la sal que hay en mí: si contravienes mis deseos, el resto de tu breve existencia será una orquesta de desgracias. Lo juro por la piedra, el roble y el olmo: te convertiré en mi blanco. Te seguiré sin que me veas y apagaré cualquier chispa de placer que encuentres. Jamás conocerás la caricia de una mujer, un momento de descanso, un instante de paz. Y juro por el cielo nocturno y por la luna que si perjudicas a mi maestro, te abriré en canal y saltaré en tus entrañas como un niño en un charco. Encordaré un violín con tus tripas y te haré tocarlo mientras bailo.” .-Puedes dividir infinito un infinito número de veces, y el resultado seguirá siendo más infinito”, dijo Uresh con su extraño acento Lenatti. “Pero si divides un número no infinito un número infinito de veces el resultado no es menos infinito. Puesto que es menos infinito, pero hay un número infinito de ellos, si los sumas de nuevo, su suma da infinito. Eso implica que todo número es, de hecho, infinito. .-‎ Tengo tendencia a pensar demasiado, Bast. Mis mayores éxitos fueron producto de decisiones que tomé cuando dejé de pensar e hice sencillamente lo que me parecía correcto. Aunque no hubiera ninguna buena explicación para lo que había hecho. Aunque hubiera muy buenas razones para que no hiciese lo que hice.(Kvothe) .-Sí, soy un mito. Un mito muy especial que se crea a sí mismo. Las mejores mentiras sobre mí son las que yo mismo he contado.´ (Kvothe) .-Solo los locos y los sacerdotes no le temen a nada, y yo no me llevo muy bien con Dios (Kvothe) .-La musica es una amante celosa y temperamental, si le dedicas tiempo sera tuya pero si la desairas se ira y cuando la busques no la hallaras…(Kvothe) .-Las palabras sonpálidas sombras de nombres olvidados. Los nombres tienen poder, y las palabras también. Las palabras pueden hacer prender el fuego en la mente de los hombres. Las palabras pueden arrancarles lágrimas a los corazones más duros. Existen siete palabras que harán que una persona te ame. Existen diez palabras que minarán la más poderosa voluntad de un hombre. Pero una palabra no es más que la representación de un fuego. Un nombre es el fuego en sí. -Elodin .-Cronista pensó, sin proponérselo, en una historia que había oído. Una de tantas. Era el relato de cómo Kvothe había perseguido el deseo de su corazón. Tuvo que engañar a un demonio para conseguirlo. Pero una vez conseguido, tuvo que pelear con un ángel para conservarlo. «Es cierto —pensó Cronista—. Antes solo era una historia, pero ahora puedo creer en ella. Esta es la cara de un hombre que ha matado a un ángel. .-“Yo hasta que no vea una pantorrilla femenina al aire, no daré por inaugurada la primavera”(Bast) .- “Al pan, pan y al vino, vino. Pero a una prostituta llámala siempre señora. Tienen una vida muy dura y no cuesta nada ser amables con ellas.” .-Observando las caras que me rodeaban vi a una joven de no más de veinte años. Tenía un rostro dulce y los ojos azul claro. Sus labios parecían hechos para besar. Di un paso hacia ella, decidido a cogerla en brazos y… Me paré en seco cuando empezaba a estirar un brazo para acariciarle el cuello, y sentí algo muy parecido al vértigo. Allí las cosas eran diferentes. Era evidente que el hombre que estaba sentado al lado de la joven era su marido. Eso era importante, ¿no? Parecía un hecho muy impreciso y distante. ¿Por qué no iba desnudo, no comía violetas ni tocaba el laúd a cielo abierto? Volví a pasear la mirada por la taberna y todo aquello me pareció sumamente ridículo. Aquella gente sentada en los bancos, con capas y más capas de ropa, comiendo con cuchillo y tenedor. Lo encontraba todo absurdo y artificioso. Era increíblemente gracioso. Parecía que estuvieran jugando a un juego y ni siquiera se dieran cuenta. Era como un chiste que hasta entonces no había entendido. Me reí. (ETDUHS) .-- No has traido tu laud – me comentó cuando hubimos terminado de comer. -Esta noche tengo que irme a leer-dije-. Para entonces ya habría hecho el examen de admisión, y no haría falta que siguiera estudiando. Auri arrugó su carita. -Cinco dias no es pronto -dijo-. Pronto es mañana. -Cinco días es pronto para una piedra-argumenté. -Pues entonces toca para una piedra dentro de cinco días-replicó ella-. Y toca para mí mañana.(Auri) .-“Verá, maestro Kilvin: según los alumnos, lo rompí de un solo puñetazo de mi todopoderosa mano” .-“No has oído ni la primera nota de la música que me impulsa” .-“Viajé, amé, perdí, confié y me traicionaron.” .-“No me cansaba de mirar a Denna. Estaba sentada a mi lado, abrazándose las rodillas. Su piel era más luminosa que la luna, y sus ojos, más enormes que el cielo, más profundos que el agua, más oscuros que la noche” .-Sobré él verteré el hambre y el fuego hasta que la desolación lo aturda y todos los demonios de la oscuridad exterior miren asombrados y reconozcan que la especialidad del hombre es la venganza. .-“Aunque este empapado de ti, ardo. El movimiento de tu cabeza al volverse es como una canción. Es como una chispa. Es como un aliento que me infla y sopla para avivar un fuego que extenderse y rugir tu nombre no pueda evitar” .-“He oído lo que los poetas escriben sobre las mujeres. Componen rimas y rapsodias, y mienten. He visto a marineros en la orilla contemplando en silencio la lenta ondulación del mar. He visto a viejos soldados con el corazón de cuero que derramaban lágrimas al ver los colores de su rey ondeando al viento. Creedme: esos hombres no saben nada del amor. Amamos lo que amamos. La razón no entra en juego. En muchos aspectos, el amor más insensato es el amor más verdadero. Cualquiera puede amar algo por algún motivo. Eso es tan fácil como meterse un penique en el bolsillo. Pero amar algo a pesar de algo es otra cosa. Conocer los defectos y amarlos también. Eso es inusual, puro y perfecto.” Kvothe .-“La experiencia me ha enseñado que la mejor forma de protegerte es hacer creer a tus enemigos que no pueden hacerte daño” Para saber más de la trilogía de Patrick Rothfuss Click aquí

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