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Certamen 2 - 2007

Kamelot Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 29 2007, 03:12 PM Publicado: #1
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 165 Registrado: 8-February 06 Desde: Toronto Miembro Nº: 561 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: \textbf{1.} Considerar los siguientes subconjuntos de $\mathbb{R}^2$:\\\\<br />$A=\left\{(x,y):\|x\|\leq1,\|y\|\leq1,\:x\in\mathbb{Q}\right\}$\\<br />$B=\left\{(x,y):\|y\|\leq x^2,\:0<x<1\right\}$\\<br />$C=\left\{(x,y):1<x^2+y^2<2\right\}$\\<br />$D=\left\{(x,y):x^2-y^2=0\right\}$\\\\<br />\textbf{a.-} >Cu\'al o cu\'ales son conexos? Justifique.\\<br />\textbf{b.-} >Cu\'al o cu\'ales son compactos? Justifique.\\\\<br /><br />\textbf{2.} Sea $f:K\subseteq\mathbb{R}^p\to\mathbb{R}$ continua, $K$ un subconjunto compacto. Demuestre que $f(K)$ es compacto.\\\\<br /><br />\textbf{3.} Sea $K\subseteq\mathbb{R}$ un subconjunto compacto y $f_n:K\subseteq\mathbb{R}^p\to\mathbb{R}^q$ una sucesi\'on de funciones continuas que converge uniformemente en $K$. Demuestre que el conjunto $F=\left\{f_n:n\in\mathbb{N}\right\}$ es equicontinuo.\\\\<br /><br />\textbf{4.} Sea $\left\{f_n\right\}_n$ una sucesi\'on de funciones reales definidas sobre un subconjunto $D\subseteq\mathbb{R}^p$ que converge puntualmente a una funci\'on $f:D\subset\mathbb{R}^p\to\mathbb{R}$. Si cada funci\'on $f_n$ es continua en un punto $c\in D$, y la sucesi\'on converge uniformemente en una vecindad de $c$. Demuestre que $f$ es continua en $c$.\\\\<br /><br />\textbf{5.} Demuestre que para toda funci\'on $f:K\subseteq\mathbb{R}^p\to\mathbb{R}$, semicontinua inferiormente en un subconjunto compacto $K\subseteq\mathbb{R}^p$, existe $x_0\in K$ tal que $f(x_0)=inf\left\{f(x):x\in K\right\}$<br />\end{document}$ Saludos -------------------- The Little Kitty

Jorgeston Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 21 2008, 07:19 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Baneado Mensajes: 2.588 Registrado: 7-November 06 Miembro Nº: 2.747	CITA(Kamelot @ Nov 29 2007, 05:08 PM) $TEX: <br /><br />\textbf{2.} Sea $f:K\subseteq\mathbb{R}^p\to\mathbb{R}$ continua, $K$ un subconjunto compacto. Demuestre que $f(K)$ es compacto.\\\\$ $TEX: \noindent Sea $\mathcal{G}=\{G_i \}$ un recubrimiento abierto de $f(K)$, esto es , $f(K)\subset \bigcup_{i} G_{i}$<br /><br />\noindent Como $K\subset f^{-1}(f(K))$ se tiene que $K\subset f^{-1}(\bigcup_{i} G_{i} )=\bigcup_{i} f^{-1}(G_{i})$<br /><br />\noindent Luego $\mathcal{F}=\{ f^{-1}(G_{i})\}$ es un recubrimiento de $K$. Como $f$ es continua, y los $G_i$ son abiertos, implica que $f^{-1}(G_{i})$ son abiertos, por lo que $\mathcal{F}$ viene a ser un recubrimiento abierto de $K$.<br /><br />\noindent Como $K$ es compacto, se tiene que $\mathcal{F}$ se puede reducir a un recubrimiento finito.<br /><br />\noindent Esto es,<br /><br />\noindent $K\subset \left[ f^{-1}(G_{i_{1}}) \cup \cdots \cup f^{-1}(G_{i_{m}}) \right]$<br /><br />\noindent $\implies f(K)\subset f( f^{-1}(G_{i_{1}}) \cup \cdots \cup f^{-1}(G_{i_{m}}) )\subset (G_{i_{1}} \cup \cdots \cup G_{i_{m}})$<br /><br />\noindent $\implies f(K)$ es compacto $\blacksquare$$ salu2 Mensaje modificado por Jorgeston el Aug 12 2008, 12:51 AM

C.F.Gauss Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 24 2009, 03:43 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 1.912 Registrado: 10-January 08 Desde: Un Sobolev Miembro Nº: 14.530 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Kamelot @ Nov 29 2007, 05:12 PM) $TEX: <br />\textbf{2.} Sea $f:K\subseteq\mathbb{R}^p\to\mathbb{R}$ continua, $K$ un subconjunto compacto. Demuestre que $f(K)$ es compacto.\\\\<br /><br />$ Otra manera, con sucesiones y de modo general para una función $TEX: $f:A\subseteq X\to Y$$ con X e Y espacios métricos. $TEX: <br />\noindent Sea $\{y_n\}$ sucesión en $f(A)$. Entonces para cada $n\in \mathbb{N}$ existe $x_n\in A$ tal que $f(x_n)=y_n$.\\<br />Dado que $A$ es compacto, la sucesión $\{x_n\}$ admite una subsucesión $\{x_{n_k}\}$ convergente a un punto $a\in A$, y por la continuidad de $f$ podemos asegurar que::<br />$$y_{n_k}=f(x_{n_k})\to f(a)\in f(A)$$<br />lo que muestra que $f(A)$ es compacto.<br />$ -------------------- Dos crudas realidades CITA(Pasten @ Jun 5 2014, 09:21 AM) ¿Dónde están las nuevas generaciones? wasapeando y actualizando su perfil de face. CITA(Zefidu @ Sep 3 2013, 09:55 PM) (...)FMAT es una gran comunidad con grandes usuarios... A excepción de algunos que se les sube el humo a la cabeza...

Jorgeston Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 25 2009, 05:40 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Baneado Mensajes: 2.588 Registrado: 7-November 06 Miembro Nº: 2.747	CITA(ProfeGabriel @ Mar 24 2009, 04:43 PM) Otra manera, con sucesiones y de modo general para una función $TEX: $f:A\subseteq X\to Y$$ con X e Y espacios métricos. $TEX: <br />\noindent Sea $\{y_n\}$ sucesión en $f(A)$. Entonces para cada $n\in \mathbb{N}$ existe $x_n\in A$ tal que $f(x_n)=y_n$.\\<br />Dado que $A$ es compacto, la sucesión $\{x_n\}$ admite una subsucesión $\{x_{n_k}\}$ convergente a un punto $a\in A$, y por la continuidad de $f$ podemos asegurar que::<br />$$y_{n_k}=f(x_{n_k})\to f(a)\in f(A)$$<br />lo que muestra que $f(A)$ es compacto.<br />$ Hay que tener cuidado con los argumentos, pues puede entenderse que "como una sucesion en f(K) contiene una subsucesion convergente entonces f(K) es coompacto.", lo cual es falso claramente Debería decirse: "Entonces, como toda sucesión en f(K) necesariamente contiene una subsucesion convergente en f(K), entonces f(K) es compacto" hay que hacer notar eso. saludos

C.F.Gauss Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 25 2009, 07:47 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 1.912 Registrado: 10-January 08 Desde: Un Sobolev Miembro Nº: 14.530 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Jorgeston @ Mar 25 2009, 07:40 PM) Hay que tener cuidado con los argumentos, pues puede entenderse que "como una sucesion en f(K) contiene una subsucesion convergente entonces f(K) es coompacto.", lo cual es falso claramente Debería decirse: "Entonces, como toda sucesión en f(K) necesariamente contiene una subsucesion convergente en f(K), entonces f(K) es compacto" hay que hacer notar eso. saludos Eso se subentiende. En la redacción no lo puse pero en la teoría, al desarrollar el ejercicio pensé en $TEX: $\{x_n\},\{y_n\}$$ como sucesiones cualquiera en A y f(A) respectivamente. Si sabes que vale para toda sucesión, puedes sin problema decir que vale para una en particular. Lo que yo no puedo hacer es decir que porque valga para uno en particular, vale para todas. Saludos. -------------------- Dos crudas realidades CITA(Pasten @ Jun 5 2014, 09:21 AM) ¿Dónde están las nuevas generaciones? wasapeando y actualizando su perfil de face. CITA(Zefidu @ Sep 3 2013, 09:55 PM) (...)FMAT es una gran comunidad con grandes usuarios... A excepción de algunos que se les sube el humo a la cabeza...

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