Una muy Interesante Desigualdad

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Una muy Interesante Desigualdad, la usaremos en el futuro... Resuelto por Caetano [básico]

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Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 23 2006, 03:02 AM Publicado: #1
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Si $TEX: $n\ge 2$$ y $TEX: $a_1,a_2,...,a_n>-1$$ , tales que todos los $TEX: $a_i$$ tienen el mismo signo. Probar que en tal caso: $TEX: $\displaystyle \prod_{i=1}^n (1+a_i) \geq 1+ \sum_{i=1}^n a_i$$ Hint:Es una induccion muy simple..asi que no deberian tener problemas.... -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Caetano Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 3 2006, 03:00 AM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 293 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 3 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Como dice el hint, lo veremos inductivamente: Verifiquemos que se cumple para el caso base $TEX: $n=2$$ . $TEX: $(1+a_1)(1+a_2)=1+a_1+a_2+a_1a_2\ge1+a_1+a_2$$ puesto que el producto de dos terminos de igual signo es positivo(me refiero a $TEX: $a_1\ y\ a_2$$ ), y en donde la igualdad se da cuando al menos uno los dos $TEX: $a_1$$ y $TEX: $a_2$$ es igual a $TEX: $0$$ Ahora nuestra hipotesis inductiva sera que para todo $TEX: $n\ge2$$ natural tenemos que: $TEX: $\displaystyle \prod_{i=1}^n (1+a_i) \geq 1+ \sum_{i=1}^n a_i$$ Probemos que se verifica para $TEX: $n+1$$ $TEX: $\displaystyle \prod_{i=1}^{n+1} (1+a_i)$$ $TEX: $=\displaystyle (1+a_{n+1})\prod_{i=1}^n (1+a_i)$$ $TEX: $\geq (1+a_{n+1})(1+ \displaystyle\sum_{i=1}^n a_i)$$ $TEX: $=1+a_{n+1}+\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i+a_{n+1}\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i$$ $TEX: $=1+\displaystyle\sum_{i=1}^{n+1} a_i+a_{n+1}\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i$$ $TEX: $\geq 1+\displaystyle\sum_{i=1}^{n+1} a_i$$ reiterando que el producto de dos terminos de igual signo es siempre positivo(me refiero a $TEX: $a_{n+1}\ y\ \displaystyle\sum_{i=1}^n a_i$$ , pues la sumatoria tendra el mismo signo que todos los $TEX: $a_i$$ ), y donde la igualdad se da cuando al menos $TEX: $n$$ de los $TEX: $n+1$$ terminos $TEX: $a_i$$ son iguales a $TEX: $0$$ --------------------

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 3 2006, 03:13 AM Publicado: #3
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Caetano @ Feb 3 2006, 05:00 AM) Como dice el hint, lo veremos inductivamente: Verifiquemos que se cumple para el caso base $TEX: $n=2$$ . $TEX: $(1+a_1)(1+a_2)=1+a_1+a_2+a_1a_2\ge1+a_1+a_2$$ puesto que el producto de dos terminos de igual signo es positivo(me refiero a $TEX: $a_1\ y\ a_2$$ ), y en donde la igualdad se da cuando al menos uno los dos $TEX: $a_1$$ y $TEX: $a_2$$ es igual a $TEX: $0$$ Ahora nuestra hipotesis inductiva sera que para todo $TEX: $n\ge2$$ natural tenemos que: $TEX: $\displaystyle \prod_{i=1}^n (1+a_i) \geq 1+ \sum_{i=1}^n a_i$$ Probemos que se verifica para $TEX: $n+1$$ $TEX: $\displaystyle \prod_{i=1}^{n+1} (1+a_i)$$ $TEX: $=\displaystyle (1+a_{n+1})\prod_{i=1}^n (1+a_i)$$ $TEX: $\geq (1+a_{n+1})(1+ \displaystyle\sum_{i=1}^n a_i)$$ $TEX: $=1+a_{n+1}+\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i+a_{n+1}\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i$$ $TEX: $=1+\displaystyle\sum_{i=1}^{n+1} a_i+a_{n+1}\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i$$ $TEX: $\geq 1+\displaystyle\sum_{i=1}^{n+1} a_i$$ reiterando que el producto de dos terminos de igual signo es siempre positivo(me refiero a $TEX: $a_{n+1}\ y\ \displaystyle\sum_{i=1}^n a_i$$ , pues la sumatoria tendra el mismo signo que todos los $TEX: $a_i$$ ), y donde la igualdad se da cuando al menos $TEX: $n$$ de los $TEX: $n+1$$ terminos $TEX: $a_i$$ son iguales a $TEX: $0$$ Solucion correctisima y muy bien explicada...no perderemos de vista esta desigualdad que usaremos bastante en el futuro. Saludos -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

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