Olimpiada de Iran 1997 - Foro fmat.cl

Olimpiada de Iran 1997, Problema 1 / Resuelto por Pasten [medio]

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 22 2006, 03:48 PM Publicado: #1
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Sean $TEX: $KL$$ y $TEX: $KN$$ las lineas tangentes al circulo $TEX: $\mathcal{C}$$ , con $TEX: $L,N\in \mathcal{C}$$ . Se escoge $TEX: $M$$ en la extension de $TEX: $KN$$ ( $TEX: $M$$ mas cercano a $TEX: $N$$ ), y sea $TEX: $P$$ la segunda interseccion de $TEX: $\mathcal{C}$$ con la circunferencia circunscrita al triangulo $TEX: $KLM$$ . Sea $TEX: $Q$$ el pie de la perpendicular desde $TEX: $N$$ a $TEX: $ML$$ . Probar que $TEX: $\angle MPQ=2\angle KML$$ -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Pasten Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 20 2007, 12:02 AM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 765 Registrado: 6-December 05 Miembro Nº: 458 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: \noindent<br />Sean $X=PL\cap NK, Y=C\cap PM, Z=C\cap ML, W=PZ\cap MN$\\<br />Veamos que\\<br />$MKLP$ ciclico $\Rightarrow \angle MPL=\angle LKX$ (1)\\<br />$LK$ tangente a $C\Rightarrow \angle LYP=\angle KLX$ (2)\\<br />(1),(2)$\Rightarrow \angle PLY=\angle PXM\Rightarrow LY//XM\Rightarrow \angle NML=\angle MLY=\angle ZPY$\\<br />Asi que el circuncirculo $S$ de $MZP$ es tangente en $M$ a $MN$, luego, $PZ$ es el eje radical de $S$ y $C$ por lo cual $W$ es punto medio de $MN$, y como $\angle MQN$ es recto tenemos\\<br />$\angle MQW=\angle WMQ=\angle MPW\Rightarrow MWQP$ ciclico $\Rightarrow \angle WMQ=\angle WPQ$\\<br />Por lo tanto $\angle MPQ=\angle MPW+\angle WPQ=2\angle KML$, como se desaba.<br />$ -------------------- Pasten, un buen muchacho en quien confiar.

The Lord Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 20 2007, 12:11 PM Publicado: #3
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 374 Registrado: 16-September 06 Desde: New Haven, CT, USA. Miembro Nº: 2.275 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Correcta. Muy buena redacción. Saludos

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