Una Desigualdad muy Util y su generalizacion

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Una Desigualdad muy Util y su generalizacion, Resuelto por Pasten

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Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 21 2006, 06:21 PM Publicado: #1
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Problema Sean $TEX: $a,b,c\ge 1$$ Probar que: $TEX: $\displaystyle \frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\ge \frac{3}{1+\sqrt[3]{abc}}$$ Esto puede ser perfectamente generalizado a $TEX: $n$$ variables como sigue: Si $TEX: $x_{1},x_{2}, \ldots ,x_{n} \geq 1$$ , probar que: $TEX: $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1+x_{k}} \geq \frac{n}{1+ \sqrt[n]{x_{1}x_{2} \ldots x_{n}}}$$ Solucion: $TEX: \noindent<br />Sean $\displaystyle x_i\ge1: i\in\{1,2,...,n\}; f(x)=\frac{1}{1+e^x}$.\\<br />Notemos que para $x\ge0$ se tiene\\<br />$\displaystyle f"(x)=\frac{e^x(e^{2x}-1)}{(1+e^x)^4}\ge0$\\<br />Luego, $f(x)$ es convexa para $x\ge0$. A demas $ln(x_i)\ge0$.\\<br />Por la desigualdad de Jensen tenemos\\<br />$\displaystyle\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+x_k}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+e^{ln(x_k)}}\ge\frac{1}{1+e^{\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}ln(x_k)}}=\frac{1}{1+\left(\prod_{k=1}^{n}x_k\right)^{\frac{1}{n}}}$\\<br />De este modo\\<br />$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+x_k}\ge\frac{n}{1+\left(\prod_{k=1}^{n}x_k\right)^{\frac{1}{n}}}$\\ <br />En particular, para $n=3$ obtenemos lo pedido.<br />$ Resuelto por Pasten -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)