Desigualdad Interesante

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Desigualdad Interesante, Resuelto por Killua

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Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 19 2006, 08:37 PM Publicado: #1
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Problema Sean $TEX: $a,b,c\in\mathbb{R}^+$$ que satisfacen $TEX: $a^2+b^2+c^2=3abc$$ Probar que: $TEX: $\displaystyle\frac{a}{b^2c^2}+\frac{b}{c^2a^2}+\frac{c}{a^2b^2}\ge \frac{9}{a+b+c}$$ Solucion: Sabemos que $TEX: $a^2+b^2\ge$$2ab$$ Este hecho demostrado por: $TEX: $(a-b)^2\ge$$0$$ $TEX: $a^2+b^2-2ab\ge$$0/+2ab$$ $TEX: $a^2+b^2\ge$$2ab$$ Aplicamos esto a: $TEX: $a^2+b^2\ge$$2ab$$ $TEX: $\Rightarrow(a^2+b^2)(ab)\ge$$2a^2b^2$$ $TEX: $a^2+c^2\ge$$2ac$$ $TEX: $\Rightarrow(a^2+c^2)(ac)\ge$$2a^2c^2$$ $TEX: $b^2+c^2\ge$$2bc$$ $TEX: $\Rightarrow(b^2+c^2)(bc)\ge$$2b^2c^2$$ Sumamos estas desigualdades: $TEX: $(a^2+b^2)(ab)+(a^2+c^2)(ac)+(b^2+c^2)(bc)\ge$$2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2$$ Desarrollamos a la izquierda: $TEX: $a^3b+b^3a+a^3c+c^3a+b^3c+c^3b\ge$$2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2/+a^4+b^4+c^4$$ $TEX: $a^4+ b^4+c^4+a^3b+b^3a+a^3c+c^3a+b^3c+c^3b\ge$$2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2+a^4+b^4+c^4$$ Que lo podemos factorizar como: $TEX: $(a^3+b^3+c^3)(a+b+c)\ge$$(a^2+b^2+c^2)^2$$ En el enunciado nos dicen que $TEX: $3abc=a^2+b^2+c^2$$ , reemplazando $TEX: $(a^3+b^3+c^3)(a+b+c)\ge$$(3abc)^2$$ $TEX: $(a^3+b^3+c^3)(a+b+c)\ge$$9a^2b^2c^2/\div(a^2b^2c^2)$$ $TEX: $\displaystyle\frac{(a^3+b^3+c^3)(a+b+c)}{a^2b^2c^2}\ge$$9/\div(a+b+c)$$ $TEX: $\displaystyle\frac{a^3+b^3+c^3}{a^2b^2c^2}\ge$$\displaystyle\frac{9}{a+b+c}$$ Separando: $TEX: $\displaystyle\frac{a^3}{a^2b^2c^2}+\frac{b^3}{a^2b^2c^2}+\frac{c^3}{a^2b^2c^2}\ge$$\displaystyle\frac{9}{a+b+c}$$ Simplificando: $TEX: $\displaystyle\frac{a}{b^2c^2}+\frac{b}{c^2a^2}+\frac{c}{a^2b^2}\ge \frac{9}{a+b+c}$$ Sólo nos queda decir que los pasos dados son correctos, ya que $TEX: $a,b,c\in\mathbb{R^+}$$ y no cambian el sentido de la desigualdad. Resuelto por Killua -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)