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Simpatica Desigualdad, Resuelto por Jaime SSCC

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Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 19 2006, 08:26 PM Publicado: #1
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Problema Dados $TEX: $a,b,c>0$$ tal que $TEX: $a+b+c=1$$ Probar que: $TEX: $\displaystyle \sqrt{\frac{ab}{c+ab}}+\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}+\sqrt{\frac{ac}{b+ac}}\le\frac{3}{2}$$ Solucion: Bueno, analizemos primero: $TEX: $\displaystyle \sqrt{\frac{ab}{c+ab}}$$ [Pero $TEX: $c$=$1-a-b$$ ] $TEX: $\displaystyle \sqrt{\frac{ab}{1-a-b+ab}}$$ [Factorizando] $TEX: $\displaystyle \sqrt{\frac{ab}{(1-b)(1-a)}}$$ [Pero $TEX: $1-b$=$a+c$$ y $TEX: $1-a$=$b+c$$ ] $TEX: $\displaystyle \sqrt{\frac{ab}{(a+c)(b+c)}}$$ $TEX: $\displaystyle \sqrt{\frac{a}{a+c}\cdot \frac{b}{b+c}}$$ [Pero $TEX: $\displaystyle \sqrt{xy} \le \frac{x+y}{2}$$ ] $TEX: $\displaystyle \sqrt{\frac{a}{a+c}\cdot \frac{b}{b+c}}\le \frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}\right)$$ [Asi mismo] $TEX: $\displaystyle \sqrt{\frac{b}{a+b}\cdot \frac{c}{a+c}}\le \frac{1}{2}\left(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}\right)$$ $TEX: $\displaystyle \sqrt{\frac{a}{a+b}\cdot \frac{c}{b+c}}\le \frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{c}{b+c}\right)$$ [Sumando] $TEX: $\displaystyle \sqrt{\frac{a}{a+c}\cdot \frac{b}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+b}\cdot \frac{c}{a+c}}+\sqrt{\frac{a}{a+b}\cdot \frac{c}{b+c}}$$ $TEX: $\displaystyle \le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}+\frac{a}{a+b}+\frac{c}{b+c}\right)$$ Sumando fracciones de igual denominador $TEX: $\displaystyle \sqrt{\frac{a}{a+c}\cdot \frac{b}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+b}\cdot \frac{c}{a+c}}+\sqrt{\frac{a}{a+b}\cdot \frac{c}{b+c}}\le \underbrace{\frac{1}{2}\left(\frac{a+c}{a+c}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{a+b}{a+b}\right)}_{\displaystyle \frac{3}{2}}$$ Que es lo que queriamos demostrar Resuelto por Jaime SSCC -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)