Desigualdad Asia Pacifico

Foro fmat.cl > Sector Preparación Olimpiadas > Competencias y Olimpiadas > Destacados FMAT > Las Mejores Soluciones

Desigualdad Asia Pacifico, Resuelto por Jossy

Opciones

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 19 2006, 08:16 PM Publicado: #1
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Problema Si $TEX: $a,b,c$$ reales no negativos tales que $TEX: $abc=8$$ , probar que: screen.width0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaÃ±o original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img358.imageshack.us/img358/6929/abc84mp7um.jpg');}" /> Solucion: Se sabe que $TEX: $abc=8$$ Por desigualdad entre la $TEX: MA$ y la $TEX: MG$ tenemos que: $TEX: \frac{a^2+2}{2}=\frac{(a+1)+(a^2-a+1)}{2}\ge \sqrt{(a+1)(a^2-a+1)}=\sqrt{1+a^3}$ Asi tendremos que (I) $TEX: \frac{a^2+2}{2}\ge \sqrt{1+a^3}$ Analogamente tendremos que: (II) $TEX: \frac{b^2+2}{2}\ge \sqrt{1+b^3}$ (III) $TEX: \frac{c^2+2}{2}\ge \sqrt{1+c^3}$ Multiplicando (I) y (II) tendremos que: $TEX: \frac{(a^2+2)(b^2+2)}{4}\ge \sqrt{(1+a^3)(1+b^3)}$ Entonces: $TEX: \frac{a^2}{\sqrt{(1+a^3)(1+b^3)}}\ge \frac{4a^2}{(a^2+2)(b^2+2)}$ Analogamente: $TEX: \frac{b^2}{\sqrt{(1+b^3)(1+c^3)}}\ge \frac{4b^2}{(b^2+2)(c^2+2)}$ $TEX: \frac{c^2}{\sqrt{(1+c^3)(1+a^3)}}\ge \frac{4c^2}{(c^2+2)(a^2+2)}$ Luego basta probar que: $TEX: \frac{4a^2}{(a^2+2)(b^2+2)}+\frac{4b^2}{(b^2+2)(c^2+2)}+\frac{4c^2}{(c^2+2)(a^2+2)}\ge \frac{4}{3}$ Esto es: $TEX: \frac{a^2}{(a^2+2)(b^2+2)}+\frac{b^2}{(b^2+2)(c^2+2)}+\frac{c^2}{(c^2+2)(a^2+2)}-\frac{1}{3}\ge 0$ Desarrollando el lado izquierdo de esta desigualdad obtendremos: $TEX: \frac{3a^2(c^2+2)+ 3b^2(a^2+2)+ 3c^2(b^2+2)-(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)}{(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)}$ $TEX: =\frac{3(a^2c^2+b^2a^2+c^2b^2)+6(a^2+b^2+c^2)-(72+4(a^2+b^2+c^2)+2(a^2c^2+b^2a^2+c^2b^2))}{(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)}$ $TEX: =\frac{(a^2c^2+b^2a^2+c^2b^2)+2(a^2+b^2+c^2)-72}{(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)}$ $TEX: $\displaystyle \ge \frac{48+24-72}{(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)}=0$$ y la igualdad se da cuando $TEX: a=b=c=2$ Resuelto por Jossy -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)