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Elegante Desigualdad, poquitos pasos... Resuelto por Caetano [básico]

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Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 18 2006, 07:22 AM Publicado: #1
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Sean $TEX: $a,b,c\in\mathbb{R}^+$$ Probar que: $TEX: $a\sqrt{b^2+c^2+bc}+b\sqrt{c^2+a^2+ca}+c\sqrt{a^2+b^2+ab}\ge \sqrt{3}(ab+bc+ca)$$ Para resolverlo solo es necesario tener claro el Capitulo I de Desigualdades. Suerte PD:Problema solo apto para guerreros.... -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 19 2006, 11:04 PM Publicado: #2
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Hint: Probar previamente que: $TEX: $\sqrt{a^2+b^2+ab}\ge K(a+b)$$ para cierto valor de $TEX: $K$$ que ustedes deben descubrir -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Caetano Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 5 2006, 03:31 PM Publicado: #3
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 293 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 3 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Antes encontraremos el $TEX: $k$$ que da kenshin en el hint: $TEX: $a^2-2ab+b^2\ge0$$ $TEX: $\Rightarrow$ $a^2+4ab+b^2\ge$ $6ab$$ $TEX: $\Rightarrow$ $4a^2+4ab+4b^2\ge$ $3a^2+6ab+3b^2$$ $TEX: $\Rightarrow$ $4(a^2+ab+b^2)\ge$ $3(a+b)^2$$ $TEX: $\Rightarrow$ $a^2+ab+b^2\ge$ $\displaystyle\frac{3(a+b)^2}{4}$$ $TEX: $\Rightarrow$ $\sqrt{a^2+ab+b^2}\ge$ $\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}(a+b)$$ Por lo tanto, tenemos que: $TEX: $a\sqrt{b^2+c^2+bc}+b\sqrt{c^2+a^2+ca}+c\sqrt{a^2+b^2+ab}$$ $TEX: $\ge$ $a\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}(b+c)+b\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}(c+a)+c\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}(a+b)$$ $TEX: $=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}(2ab+2bc+2ac)$$ $TEX: $=\sqrt{3}(ab+bc+ac)$$ concluyendo asi lo pedido --------------------

sitronco Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 5 2006, 04:31 PM Publicado: #4
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 55 Registrado: 26-May 05 Desde: Santiago Miembro Nº: 58	Caetano esta dejandonos sin problemas propuestos en desigualdades, realmente bien... bueno que mas que decir que nos vamos a resueltos..

mamboraper Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 9 2017, 03:19 PM Publicado: #5
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 134 Registrado: 28-March 14 Miembro Nº: 128.100 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: $a^{2}+b^{2}\geq 2ab\Rightarrow \frac{a^2 + b^2}{4}\geq \frac{ab}{2}\Rightarrow a^{2}+b^2 +ab\geq \frac{3}{4} (a^2 + b^2)+\frac{3ab}{2}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\left(a+b\right)\right)^2\Rightarrow \sqrt{a^2+b^2+ab}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}(a+b)\Rightarrow c\sqrt{a^2+b^2+ab}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}(a+b)c$, luego, hacemos lo mismo con las permutaciones, sumamos y se tiene lo pedido $\blacksquare$$ -------------------- Hago clases particulares (activo 2024). Cualquier consulta por MP.

pprimo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 10 2017, 08:50 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 817 Registrado: 21-February 14 Miembro Nº: 127.064	CITA(Kenshin @ Jan 18 2006, 07:22 AM) Sean $TEX: $a,b,c\in\mathbb{R}^+$$ Probar que: $TEX: $a\sqrt{b^2+c^2+bc}+b\sqrt{c^2+a^2+ca}+c\sqrt{a^2+b^2+ab}\ge \sqrt{3}(ab+bc+ca)$$ Para resolverlo solo es necesario tener claro el Capitulo I de Desigualdades. Suerte PD:Problema solo apto para guerreros.... aca otra solucion, tenemos $TEX: $$a\sqrt{b^{2}+bc+c^{2}}+b\sqrt{c^{2}+ca+a^{2}}+c\sqrt{a^{2}+ab+b^{2}}\ge \sqrt{3}\left( ab+bc+ca \right)$$$ multipliquemos por 2 $TEX: $$2\sqrt{a^{2}b^{2}+a^{2}bc+a^{2}c^{2}}+2\sqrt{b^{2}c^{2}+ab^{2}c+a^{2}b^{2}}+2\sqrt{a^{2}c^{2}+abbc^{2}+b^{2}c^{2}}\ge 2\sqrt{3}\left( ab+bc+ca \right)$$$ entonces $TEX: $$0\le \sum\limits_{cyc}{\left( 2\sqrt{a^{2}b^{2}+a^{2}bc+a^{2}c^{2}}-\sqrt{3}\left( ab+ca \right) \right)}$$$ $TEX: $$=\sum\limits_{cyc}{\left( 2\sqrt{a^{2}b^{2}+a^{2}bc+a^{2}c^{2}}-\sqrt{3}\left( ab+ca \right) \right)\cdot \frac{2\sqrt{a^{2}b^{2}+a^{2}bc+a^{2}c^{2}}+\sqrt{3}\left( ab+ca \right)}{2\sqrt{a^{2}b^{2}+a^{2}bc+a^{2}c^{2}}+\sqrt{3}\left( ab+ca \right)}}$$$ $TEX: $$=\sum\limits_{cyc}{\frac{4\left( a^{2}b^{2}+a^{2}bc+a^{2}c^{2} \right)-3\left( ab+ca \right)^{2}}{2\sqrt{a^{2}b^{2}+a^{2}bc+a^{2}c^{2}}+\sqrt{3}\left( ab+ca \right)}}=\sum\limits_{cyc}{\frac{a^{2}b^{2}-2a^{2}bc+c^{2}a^{2}}{2\sqrt{a^{2}b^{2}+a^{2}bc+a^{2}c^{2}}+\sqrt{3}\left( ab+ca \right)}}$$$ $TEX: $$=\sum\limits_{cyc}{\frac{\left( ab-ca \right)^{2}}{2\sqrt{a^{2}b^{2}+a^{2}bc+a^{2}c^{2}}+\sqrt{3}\left( ab+ca \right)}}$$$ cuando es obvio

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