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Segundo Nivel Individual

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 30 2005, 04:02 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Problema 1: Un futbolista patea una pelota y ésta rebota. Un hincha ha observado lo siguiente: La relación entre la altura y largo de cada bote es de 1:2 La altura disminuye a la mitad en cada rebote. Suponga que la altura del primer rebote es de 1024 cm. Determine la distancia recorrida por la pelota después de 5 botes, después de 8 botes, después de 12 botes y después de 50 botes. Problema 2: Sobre los lados de un ángulo de vértice $TEX: $A$$ se toman puntos $TEX: $B$$ y $TEX: $C$$ (uno en cada lado) tales que $TEX: $AB+AC=k$$ (constante). Sea $TEX: $P$$ un punto en la región interior del ángulo, tal que $TEX: $ABPC$$ es un paralelogramo. Determine el lugar geométrico (LG) del punto $TEX: $P$$ -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

Jaime sscc Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 12 2006, 06:59 PM Publicado: #2
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 167 Registrado: 17-May 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 38 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Problema 1: Un futbolista patea una pelota y ésta rebota. Un hincha ha observado lo siguiente: * La relación entre la altura y largo de cada bote es de 1:2 * La altura disminuye a la mitad en cada rebote. Suponga que la altura del primer rebote es de 1024 cm. Determine la distancia recorrida por la pelota después de 5 botes, después de 8 botes, después de 12 botes y después de 50 botes. Solución: screen.width0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaÃ±o original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img156.imageshack.us/img156/5878/imagen3da.jpg');}" /> Utilizando las proporciones dadas en el enunciado tenemos: $TEX: \noindent $\displaystyle \frac{h_n}{b_n} = \frac{1}{2} \Rightarrow b_n=2h_n$$ $TEX: \noindent $\displaystyle h_n=\frac{h_{n-1}}{2}$$ Denotaremos como $TEX: $S=b_1+b_2+b_3+\ldots+b_x$$ Luego nos demos cuenta, utilizando las proporciones anteriores: $TEX: \noindent $\displaystyle b_1=2h_1 \\<br />b_2=2h_2=2\left(\frac{h_1}{2}\right)=h_1 \\<br />b_3=\frac{h_1}{2} \\<br />\vdots \\<br />b_x=\frac{h_1}{2^{x-2}} \\<br />\Downarrow \\<br />S=h_1\left(2+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{2^{x-2}}\right) \\<br />S=h_1\left(2+1+\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+\ldots+\frac{1}{2^{x-2}}\right)$$ Ahora bien, nescesitamos calcular la suma de $TEX: $\displaystyle 2+1+\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+\ldots+\frac{1}{2^{x-2}}$$ , la cual separaremos en $TEX: $2$$ y en $TEX: $\displaystyle 1+\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+\ldots+\frac{1}{2^{x-2}}$$ para lo cual utilizaremos inducción; intentaremos probar que: $TEX: $\displaystyle 1+\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+\ldots+\frac{1}{2^{n}}= \frac{2^{n+1}-1}{2^n}$$ Caso base, $TEX: $n=0$$ $TEX: $\displaystyle 1=\frac{2-1}{1}$$ Hipotesis de inducción: $TEX: $\displaystyle 1+\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+\ldots+\frac{1}{2^{n}}= \frac{2^{n+1}-1}{2^n}$$ Ahora nos gustaria que para $TEX: $(n+1)$$ el resultado sea $TEX: $\displaystyle \frac{2^{n+2}-1}{2^{n+1}}$$ Luego: $TEX: $\displaystyle 1+\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+\ldots+\frac{1}{2^{n}}+\frac{1}{2^{n+1}}$$ $TEX: $\displaystyle = \frac{2^{n+1}-1}{2^{n}}+\frac{1}{2^{n+1}} $$ $TEX: $\displaystyle = \frac{2^{n+2}-2+1}{2^{n+1}} = \frac{2^{n+2}-1}{2^{n+1}}$$ Con lo anterior ya demostrado, sabiendo que 1024 = 2^10: $TEX: $\displaystyle S=2^10\left(2+\frac{2^{x-1}-1}{2^{x-2}}\right) \\<br />=2^{10}\left(\frac{2^{x}-1}{2^{x-2}}\right) \\<br />=2^{10}\left(\frac{2^{x}}{2^{x} \cdot 2^{-2}} - \frac{1}{2^{x-2}}\right) \\<br />= 2^{12} - \frac{1}{2^{x-12}}$$ Ahora para $TEX: $x=5$$ $TEX: $\displaystyle 4096cm - \frac{1}{2^{-7}}cm$$ $TEX: $\displaystyle 4096cm - 2^7cm$$ $TEX: $\displaystyle 4096cm - 128cm$$ $TEX: $3968 cm$$ $TEX: $x=8$$ $TEX: $\displaystyle 4096cm - \frac{1}{2^{-4}} cm$$ $TEX: $\displaystyle 4096cm - 2^4cm$$ $TEX: $\displaystyle 4096cm - 16cm$$ $TEX: $4080 cm$$ $TEX: $x=12$$ $TEX: $\displaystyle 4096cm - \frac{1}{2^{0}} cm$$ $TEX: $\displaystyle 4096cm - 1cm$$ $TEX: $4095 cm$$ $TEX: $x=50$$ $TEX: $\displaystyle 4096cm - \frac{1}{2^{38}} cm$$ $TEX: $\displaystyle 4096cm -\frac{1}{2^{(524288)^2}} cm$$ Pero el segundo valor es tan pequeño , que se puede decir que ha recorrido $TEX: $ 4096 cm$$ ojala este correcta la respuesta salu2 --------------------

Gp20 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 21 2006, 06:52 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 558 Registrado: 14-May 05 Desde: Maipú, Stgo, Chile Miembro Nº: 27 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(xsebastian @ May 30 2005, 05:02 PM) Problema 2: Sobre los lados de un ángulo de vértice $TEX: $A$$ se toman puntos $TEX: $B$$ y $TEX: $C$$ (uno en cada lado) tales que $TEX: $AB+AC=k$$ (constante). Sea $TEX: $P$$ un punto en la región interior del ángulo, tal que $TEX: $ABPC$$ es un paralelogramo. Determine el lugar geométrico (LG) del punto $TEX: $P$$ screen.width0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaÃ±o original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img105.imageshack.us/img105/5766/fgos5.jpg');}" /> Sean $TEX: $a,b$$ las longitudes de los segmentos $TEX: $AB,AC$$ respectivamente. Para la solucion de este problema, copiaremos el segmento $TEX: $AB$$ y lo pondremos en la prolongacion del segmento $TEX: $AC$$ , formando asi el punto $TEX: $E$$ . Analogamente, aplicando el procedimiento anterior al lado $TEX: $AC$$ obtendremos el punto $TEX: $D$$ . De esta manera hemos formado el $TEX: $\triangle ADE$$ con base $TEX: $DE$$ y longitud de lados $TEX: $a+b$$ . Por enunciado, sabemos que $TEX: $a+b=k$$ por ende, sea cual sea la ubicacion que tomen los puntos $TEX: $B,C$$ en el $TEX: $\angle A$$ , el triangulo siempre sera el mismo. Como el $TEX: $\triangle ADE$$ es Isoceles, los angulos $TEX: $\angle ADE, \angle DEA$$ son iguales, y ambos iguales a $TEX: $\alpha$$ Posteriormente trazaremos una recta paralela a $TEX: $AE$$ que pase por el punto $TEX: $B$$ obteniendo asi el punto $TEX: $P$$ . Por angulos en paralelas, el angulo $TEX: $\angle DPA=\alpha$$ lo cual implica que el $TEX: $\triangle BDP$$ es isoceles, por lo cual la longitud del segmento $TEX: $BP$$ es igual a $TEX: $b$$ . Finalmente, fijandonos en el cuadrilatero $TEX: $ABPC$$ , nos damos cuenta que este es un paralelogramo, ya que posee dos lados opuestos de igual longitud y paralelos, con lo cual concluimos que el lugar geometrico del punto $TEX: $P$$ es la base del $TEX: $\triangle ADP$$ cuyos lados miden $TEX: $a+b$$ que es igual a una constante. Resuelto por Jaime sscc -------------------- El peor defecto del ignorante es que ignora su propia ignorancia................ Educación2020 - Registra tu apoyo individual!!!!

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