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Cónicas, ayudita con parábolas

rexivo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 16 2006, 04:49 PM Publicado: #1
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 4 Registrado: 10-January 06 Miembro Nº: 495	Aqui van algunos problemitas ahora con parabola PROBLEMA 1 : Para la parabola $TEX: $y=x^2-9x+14$$ , se pide hallar su vertice , intersecciones con los ejes y su eje de simetría. PROBLEMA 2 : Hallar las intersecciones de las parabola $TEX: $y=x^2-5x+4$$ e $TEX: $y=x^2+6x+7$$ . graficar las intersecciones. saluditos...

Gp20 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 16 2006, 07:15 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 558 Registrado: 14-May 05 Desde: Maipú, Stgo, Chile Miembro Nº: 27 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Aquí vamos con las respuestas CITA(rexivo @ Jan 16 2006, 05:49 PM) Aqui van algunos problemitas ahora con parabola PROBLEMA 1 : Para la parabola $TEX: $y=x^2-9x+14$$ , se pide hallar su vertice , intersecciones con los ejes y su eje de simetría. Para hallar su vértice, las coordenadas son $TEX: $(-b/2a,f(-b/2a))$$ . Como $TEX: $a=1, b=-9$$ , tenemos que las coordenadas del vértice son: $TEX: $(9/2, -25/4)$$ Para conseguir las interesecciones con el eje $TEX: $OX$$ , tenemos que colocar la condición $TEX: $y=f(x)=0 \Rightarrow x^2-9x+14=0 \Rightarrow (x-7)(x-2)=0$$ . Con esto, podemos ver claramante que las intersecciones con el eje x son $TEX: $x=2 \land x=7$$ . Poe su parte, para hallar el punto de contacto con el eje y, basta con colocar $TEX: $x=0$$ . Con esto, el pto de contacto con el eje y es $TEX: $y=14$$ . Nótese que esto no es coincidencia con el 14 de la ecuacion, pues el pto de interseccion con el eje y es siempre el valor que no va multiplicado con ningún x. Para terminar, el eje de simetría, esta dado por $TEX: x=coordenada x del vertice$ , o sea $TEX: $x=9/2$$ CITA(rexivo @ Jan 16 2006, 05:49 PM) PROBLEMA 2 : Hallar las intercecciones de las parabola $TEX: $y=x^2-5x+4$$ e $TEX: $y=x^2+6x+7$$ . graficar las intercecciones. Para resolver este problema, debes fijarte que de haber interseccion entre las parábolas,las coordenadas $TEX: $(x,y)$$ de ambas parábolas deben ser las mismas. Entonces podemos igualar las $TEX: $y$$ para despejar $TEX: $x$$ . Entonces $TEX: $x^2-5x+4=x^2+6x+7 \Rightarrow -5x+4=6x+7 \Rightarrow x=-3/11$$ . Usamos este valor de $TEX: $x$$ en cualquiera de las 2 ecuaciones y logramos $TEX: $y=158/11$$ . O sea, el pto de intersección es ambas parabolas está dado por $TEX: $(-3/11,158/11)$$ Respecto al gráfico, tarea pa la casa.........saludos -------------------- El peor defecto del ignorante es que ignora su propia ignorancia................ Educación2020 - Registra tu apoyo individual!!!!

- ViCkY- Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 16 2006, 08:05 PM Publicado: #3
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 10 Registrado: 15-May 05 Miembro Nº: 30 Nacionalidad: Sexo:	Holas!!! hace tiempo que no posteaba... esta es la oportunidad... Porfis necesito que me ayuden con un ejercicio que es de parábolas... Aún no domino bien el latex del foro...pero haré el intento $TEX: \noindent Problemilla...Hallar la longitud de la cuerda de la parabola $x^2=2py$ (donde p es conocido), sabiendo ademas que la cuerda es horizontal y pasa por el foco.$ -------------------- Un idiota encuentra siempre otro más idiota que lo admira...

vanita_vyc Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 16 2006, 09:10 PM Publicado: #4
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 7 Registrado: 9-January 06 Miembro Nº: 492	aqui les va otro que me complica... Hallar la ecuación de los puntos que están a la misma distancia de la recta $TEX: $y+5=0$ y del punto (0,5).$ gracias!

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 16 2006, 11:18 PM Publicado: #5
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Bueno,con respecto al tema de las parabolas de la forma $TEX: $y=ax^2+bx+c$$ una forma alternativa (y equivalente a la mostrada por Gp20) es expresar la parabola de la siguiente forma: $TEX: $y=a(x-x_0)^2+y_0$$ donde el vertice tiene coordenadas $TEX: $(x_0,y_0)$$ Ejemplos: Pregunta 1 Encontrar el vertice de la parabola $TEX: $y=3(x+2)^2+4$$ Respuesta: En este caso conocer el vertice es directo. El vertice tiene coordenadas $TEX: $(x_0,y_0)=(-2,4)$$ Pregunta 2 Encontrar el vertice de la parabola $TEX: $y=-3x^2+18x+14$$ Respuesta: En este caso ya no es tan directo pues hay que saber expresar esta parabola en la forma de la Pregunta 1, para lo cual hay que factorizar esta parabola de forma "adecuada" Primer Paso Primero debemos factorizar por el coeficiente de $TEX: $x^2$$ dejando aparte al coeficiente constante. Esto es: $TEX: $y=-3(x^2-6x)+14$$ Segundo Paso Debemos fijarnos en el termino al interior del parentesis...esto es $TEX: $x^2-6x$$ , y a este debemos sumarle y restarle el cuadrado de la mitad del coeficiente de la $TEX: $x$$ (en este caso el coeficiente de la $TEX: $x$$ es -6, luego su mitad es -3, y su cuadrado es 9), para de esta forma obtener un cuadrado de binomio. Esto es: $TEX: $x^2-6x=x^2-6x+9-9=(x-3)^2-9$$ y al reemplazar esto en la ecuacion de la funcion tendremos: $TEX: $y=-3((x-3)^2-9)+14$$ $TEX: $y=-3(x-3)^2+27+14$$ $TEX: $y=-3(x-3)^2+41$$ Luego el vertice sera $TEX: $(x_0,y_0)=(3,41)$$ -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 16 2006, 11:40 PM Publicado: #6
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	CITA PROBLEMA 1 : Para la parabola $TEX: $y=x^2-9x+14$$ , se pide hallar su vertice , intersecciones con los ejes y su eje de simetría. Primero el vertice.... El primer paso no existe pues el coeficiente de $TEX: $x^2$$ es 1. El segundo paso: $TEX: $\displaystyle x^2-9x=x^2-9x+\left(\frac{9}{2}\right)^2-\left(\frac{9}{2}\right)^2=\left(x-\frac{9}{2}\right)^2-\frac{81}{4}$$ Luego,reemplazando en la ecuacion de la funcion: $TEX: $\displaystyle y=\left(x-\frac{9}{2}\right)^2-\frac{81}{4}+14=\left(x-\frac{9}{2}\right)^2-\frac{25}{4}$$ Luego las coordenadas del vertice son: $TEX: $\displaystyle (x_0,y_0)=\left(\frac{9}{2},-\frac{25}{4}\right)$$ Interseccion con los vertices... Tal cual como indico Gp20 Eje de Simetria Este es $TEX: $x=x_0$$ en general, para las parabolas de ecuacion $TEX: $y=a(x-x_0)^2+y_0$$ En este caso sera $TEX: $\displaystyle x=\frac{9}{2}$$ -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 16 2006, 11:52 PM Publicado: #7
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	CITA(vanita_vyc @ Jan 16 2006, 11:10 PM) aqui les va otro que me complica... Hallar la ecuación de los puntos que están a la misma distancia de la recta $TEX: $y+5=0$ y del punto (0,5).$ gracias! Holas...bueno,respondere a tu problema pero de una forma mas "generalizada". La recta sera de la forma $TEX: $y+p=0$$ y el punto sera $TEX: $(0.p)$$ (para tu problema es simplemente tomar $TEX: $p=5$$ ) Nuestra recta sera $TEX: $y=-p$$ y el punto es $TEX: $(0,p)$$ , y buscamos que condicion tienen que cumplir los $TEX: $P=(x,y)\in\mathbb{R}^2$$ tales que la distancia de $TEX: $P$$ a la recta, sea la misma que la de $TEX: $P$$ al punto $TEX: $(0,p)$$ Distancia de $TEX: $P=(x,y)$$ a la recta $TEX: $y=-p$$ Esto es $TEX: $d_1=\|y+p\|$$ Distancia de $TEX: $P=(x,y)$$ al punto $TEX: $(0,p)$$ Esto es $TEX: $d_2=\sqrt{(x-0)^2+(y-p)^2}=\sqrt{x^2+(y-p)^2}$$ La condicion pedida por el enunciado es que $TEX: $d_1=d_2$$ , o sea: $TEX: $\|y+p\|=\sqrt{x^2+(y-p)^2}$$ Elevando al cuadrado: $TEX: $\|y+p\|^2=x^2+(y-p)^2$$ pero $TEX: $\|y+p\|^2=(y+p)^2$$ Luego: $TEX: $(y+p)^2=x^2+(y-p)^2$$ Desarrollando: $TEX: $y^2+2yp+p^2=x^2+y^2-2yp+p^2$$ O sea $TEX: $x^2=4py$$ O sea la ecuacion de una parabola. Al punto $TEX: $(0.p)$$ se le conoce como foco y a la recta $TEX: $y=-p$$ se le llama directriz. Ejemplo: Esto significa que si tenemos la ecuacion $TEX: $x^2=20y$$ , entonces su foco es $TEX: $(0,5)$$ y su directriz es $TEX: $y=-5$$ (o simplemente $TEX: $y+5=0$$ ). De hecho este ejemplo es la respuesta a tu ejercicio.... En general la ecuacion $TEX: $x^2=ay$$ tiene como foco al punto $TEX: $\displaystyle \left(0,\frac{a}{4}\right)$$ y directriz $TEX: $\displaystyle y=-\frac{a}{4}$$ Saludos -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 17 2006, 12:16 AM Publicado: #8
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	CITA(- ViCkY- @ Jan 16 2006, 10:05 PM) Holas!!! hace tiempo que no posteaba... esta es la oportunidad... Porfis necesito que me ayuden con un ejercicio que es de parábolas... Aún no domino bien el latex del foro...pero haré el intento $TEX: \noindent Problemilla...Hallar la longitud de la cuerda de la parabola $x^2=2py$ (donde p es conocido), sabiendo ademas que la cuerda es horizontal y pasa por el foco.$ Si lees la solucion al problema anterior quedara claro que el foco de esta parabola es el punto $TEX: $\displaystyle \left(0,\frac{2p}{4}\right)=\left(0,\frac{p}{2}\right)$$ Luego esta cuerda que buscas tiene por extremos la intersecciones de las curvas $TEX: $x^2=2py$$ , $TEX: $\displaystyle y=\frac{p}{2}$$ (esto pues nos "dicen" que la cuerda es horizontal y que pasa por el foco) Resolviendo el sistema encontraremos estas intersecciones. Reemplazando la segunda igualdad en la primera tenemos: $TEX: $\displaystyle x^2=2p\left(\frac{p}{2}\right)=p^2\Rightarrow x=p\vee x=-p$$ Luego los puntos de interseccion son $TEX: $\displaystyle\left( p.\frac{p}{2}\right)$$ y $TEX: $\displaystyle\left(-p.\frac{p}{2}\right)$$ Finalmente la distancia entre ellos es $TEX: $2\|p\|$$ (le puse modulo pues no sabemos el signo de $TEX: $p$$ , a lo mas sabemos que $TEX: $p\not=0$$ , pues entonces $TEX: $x^2=2py$$ no seria una parabola, no habria foco y no habria nada...) Propuesto: Sean $TEX: $P_1P_2$$ una cuerda de una parabola que pasa por el foco. Probar que la suma de las distancias de $TEX: $P_1$$ a la directriz y $TEX: $P_2$$ a la directriz es igual a la medida de la cuerda $TEX: $P_1P_2$$ . Notar que esto implica que si consideramos una circunferencia de diametro $TEX: $P_1P_2$$ y centro en el punto medio de $TEX: $P_1P_2$$ , entonces esta resultara ser tangente a la directriz. -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

DavidC Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 7 2008, 11:53 PM Publicado: #9
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 119 Registrado: 6-June 08 Desde: Arriba a la izquierda Miembro Nº: 26.255 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	En la seccion de 3º medio en contenidos, yo hice una guia de funciones cuadraticas que puede servir para desarrollar todo esto. click aqui para ver Eso es todo saludos. P.D.: sorry por haberme atrasado 2 años xD. Mensaje modificado por DavidC el Jun 7 2008, 11:54 PM --------------------

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