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Cuarto Nivel Individual

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 30 2005, 03:38 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Problema 1: Los números $TEX: $a_1,a_2,a_3,...$$ se definen con las siguientes reglas: $TEX: $a_1=19$$ y $TEX: $a_2=77$$ $TEX: $\displaystyle{a_n=\frac{1-a_{n-1}}{a_{n-2}}}$$ , para todo $TEX: $n\geq 3$$ (natural) Calcule $TEX: $a_{2004}$$ Problema 2: En un $TEX: $\triangle ABC$$ , la bisectriz interior respecto al vértice $TEX: $C$$ (medida desde el vértice hasta su intersección con el lado opuesto) mide $TEX: $b_\gamma$$ . Si $TEX: $BC=a,AC=b$$ , pruebe que $TEX: ${b_\gamma}^2<ab$$ -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

ginobili Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 4 2006, 09:16 PM Publicado: #2
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 178 Registrado: 28-May 05 Desde: Aca , alla , aca , alla Miembro Nº: 70 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Problema 1: $TEX: $A_1=19$$ $TEX: $A_2=77$$ $TEX: $A_3=\displaystyle \frac{1-77}{19}=\frac{-76}{19}=-4$$ $TEX: $A_4=\displaystyle \frac{1+4}{77}=\frac{5}{77}$$ $TEX: $A_5=\displaystyle \frac{1-\frac{5}{77}}{-4}=\frac{-18}{77}$$ $TEX: $A_6=\displaystyle \frac{1+\frac{18}{77}}{\frac{5}{77}}=19$$ $TEX: $A_7=\displaystyle \frac{1-19}{\frac{-18}{77}}=77$$ Ahora se ve claramente el patron que define estos numeros , entonces : $TEX: $\displaystyle \frac{2004}{5}$$ con resto $TEX: 4$ y como tiene resto $TEX: 4$ entonces : $TEX: $A_{2004}=A_4=\displaystyle \frac{5}{77}$$ -------------------- Por un lado la matematica , lo mas importante , pero por el otro el basquetbol y ginobili lo mejor q hay!!!! Team Naranja!!! Apagando incendios xD

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 4 2006, 10:14 PM Publicado: #3
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	CITA(ginobili @ Mar 4 2006, 11:16 PM) Problema 1: $TEX: $A_1=19$$ $TEX: $A_2=77$$ $TEX: $A_3=\displaystyle \frac{1-77}{19}=\frac{-76}{19}=-4$$ $TEX: $A_4=\displaystyle \frac{1+4}{77}=\frac{5}{77}$$ $TEX: $A_5=\displaystyle \frac{1-\frac{5}{77}}{-4}=\frac{-18}{77}$$ $TEX: $A_6=\displaystyle \frac{1+\frac{18}{77}}{\frac{5}{77}}=19$$ $TEX: $A_7=\displaystyle \frac{1-19}{\frac{-18}{77}}=77$$ Ahora se ve claramente el patron que define estos numeros , entonces : $TEX: $\displaystyle \frac{2004}{5}$$ con resto $TEX: 4$ y como tiene resto $TEX: 4$ entonces : $TEX: $A_{2004}=A_4=\displaystyle \frac{5}{77}$$ Claro, la idea era darse cuenta que el patron se repetia cada 5 terminos. No revise a ver si tus calculos eran correctos en todos los casos...pero me pareceria interesante que ofrecieramos tambien una solucion que fuera independiente de los valores iniciales...en el sentido que demostraste que independiente de ellos, la secuencia igualmente tendra periodo 5, mientras no se indefina en ningun paso. Hasta ahi, la solucion es completa..pero ahora uno siempre quiere un poquito mas Saludos -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

MasterIN® Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 5 2006, 10:25 AM Publicado: #4
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 116 Registrado: 14-May 05 Desde: Buin, Santiago Miembro Nº: 26 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Bueno, después de volver a escrbir esto (pq mi mama desconectó la zapatilla mientras estaba terminando , seguiré: No pondré todos los cálculos, sólos los necesarios. Y es así: $TEX: $\displaystyle a_3= \frac{1-a_1}{a_2}$$ $TEX: $\displaystyle a_4= \frac{1-a_3}{a_2} = \frac{a_1+a_2-1}{a_1a_2}$$ $TEX: $\displaystyle a_5= \frac{1-a_4}{a_3} = \frac{1-a_1}{a_2}$$ $TEX: $\displaystyle a_6= a_1$$ $TEX: $\displaystyle a_7= a_2$$ . . . . . . . Y... luego se concluye de la misma manera que el post anterior: Es decir, $TEX: $2004 \equiv 4 (\mod 5)$$ , por ende, $TEX: $a_{2004}=a_4=\frac{5}{77}$$ -------------------- "Lo que no entiendes hoy lo comprenderás mañana"

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 26 2007, 12:13 AM Publicado: #5
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Solución al problema 2 $TEX: \noindent Sea $E$ el punto donde la bisectriz $b_\gamma$ interseca a $\overline{AB}$; sean $\angle{BCE}=\angle{ACE}=\alpha, \angle{CAB}=\beta$, y $K$ la circunferencia circunscrita del $\triangle{ABC}$. Prolongamos $CE$ hasta cortar a $K$ en $D$ (obviamente, distinto de $C$), y trazamos $\overline{BD}$; ahora $\angle{CAB}=\angle{CDB}=\beta$, por lo que tendremos que $\triangle{CDB}\sim\triangle{CAE}$. Aplicando la semejanza, y siendo $ED=s$, tenemos que:\\<br /><br />\noindent $\dfrac{CB}{CE}=\dfrac{CD}{CA}\Rightarrow\dfrac{a}{b_\gamma}=\dfrac{b_\gamma+s}{b}\Rightarrow{ab}=b_\gamma(b_\gamma+s)\Rightarrow{ab}=b_\gamma^2+b_\gamma{s}\Rightarrow{ab-b_\gamma{s}}=b_\gamma^2\Longrightarrow\boxed{ab>b_\gamma^2}\ \blacksquare$$ Saludos -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

juancodmw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 23 2015, 09:29 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 783 Registrado: 23-April 13 Desde: Constitución Miembro Nº: 118.027 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	P2 sean $TEX: $m$$ y $TEX: $n$$ los segmentos determinados por la bisectriz en AB, empezamos con: $TEX: $mn>0$$ usando el t. de la bisectriz interior: $TEX: $b_{\gamma}^{2}=ab-mn\Longrightarrow mn=ab-b_{\gamma}^{2}$$ $TEX: $ab-b_{\gamma}^{2}>0\Longrightarrow b_{\gamma}^{2}<ab$$ $TEX: $\blacksquare$$ --------------------

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