Tercer Nivel Individual Opciones

[Rurouni Kenshin]

Problema 1.
En la figura , CD es bisectriz de el angulo ACB . Ademas el <BAC = 2 <ABC y AC = DB. Encontrar las medidas de los angulos del triangulo.


Problema 2.

[Rurouni Kenshin]

Problema 1
Solucion:
En Geometria una primera leccion es simpre dibujar la figura de tal forma que refleje lo mas posible la situacion planteada,o sea que si un angulo es x y el otro 2x,que en la figura el triangulo no se vea casi isosceles,pues de otra forma jamas se les ocurriran los truquitos...

Bueno...basado basicamente en el truco que sirve para demostrar el teorema de la bisectriz prolongamos el segmento AB mas alla de A(a la izquierda y denotaremos por E al punto que cumple que AC= AE.Luego el triangulo EAC es isosceles y es facil concluir de ahi que <CEA=<ACE= x(basta fijarse en que <CAB=2x)
Ahora como <BEC=<EBC=x , el triangulo CEB sera isosceles y por ende CE=CB.
Ahora como por enunciado AC=DB,pero por construccion se tiene que AC= AE se concluye que AE = DB.
Por lo tanto se puede concluir por el criterio LAL que los triangulos CEA y CBD son congruentes(CE=CB,<AEC=<DBC=x, AE = DB)
Luego se concluye de la congruencia que necesariamente <ECA=<BCD y por lo tanto que x=y
Mirando finalmente el triangulo ABC la suma de sus angulos interiores debe de ser 180,por lo que:
3x + 2y=180
5x=180
x=36
Por lo tanto se concluye que <ABC=36 y <BAC=<ACB=72

Eso seria...saludos y mucha suerte ^.^
David

[Dex!]

El primer problema es muy sencillo..

x = partidos ganados
y = partidos perdidos
si el primer jugador gana todos los partido es 9^2 = x ; o^2 = y para ese jugador. por lo cual los otros participantes ya habran perdido 1 partido a lo menos. si el que viene gana todos sus partidos restantes (sin perder generalidad) tendremos 8^2 = x ; 1^2 = y, y los otros contrincants habran perdido 2 partidos a los menos, si seguimos con este metodo (sin eprder generalidad, puesto que pueden resultar intercalados los resultados) el ultimo tendra o^2 = x ; 9^2 = y

tendremos los siguientes resultados: (x1 = x sub 1, igual para las y)
x1^2 + x2^2 + ..... + x10^2 = y1^2 +y2^2 + ..... + y10^2

==> 9^2 +8^2 +7^2 +......+1^2 +0^2 = 0^2 +1^2 +2^2 +....+9^2 +10^2

los que cumple la igualdad.
:wink:

[S. E. Puelma Moy...]

No es correcto decir que, por ser un torneo de ping pong (donde no existen los empates), deba ocurrir la situación que has planteado... no es necesario que exista un jugador que gana siempre, uno que pierde un solo partido, otro que pierde exactamente dos partidos, etc... esa es tan solo una de las opciones.

Existen campeonatos donde no ocurren esas cosas, y lamentablemente no están considerados en tu solución

La solución en general, debe mantener el lenguaje de los y de los , porque no podemos decir que sea una reordenación de los números 0, 1, 2, ..., 9. Les doy una prqueña pista: calculen

En la Página del Campeonato Escolar de Matemáticas puedes encontrar la solución a ambos problemas, pero la idea es que intenten hacerlo por su cuenta. Para el problema de geometría hay una solución alternativa.

[Dex!]

vale seba :wink:

lo habiamos desarrollado en clases y vimos que eso era posible. okey grx
lo vere cuando llege a mi casa

bye

[GlagosSA]

[sebagarage]