La Mesa Redonda, Simpatico Resuelto por Pasten Opciones

[Rurouni Kenshin]

Problemita Simpatico
Alrededor de una mesa redonda se encuentran sentadas personas a quienes se les reparten tarjetas(numeradas del al ) de manera que una persona tiene las tarjetas , la persona a su derecha las tarjetas , y a persona la derecha de esta ultima tendra las tarjetas y asi sucesivamente.

De manera simultanea, cada persona toma la tarjeta con el numero menor(de las dos que tiene) y la pasa a quien este sentado a su derecha.Este paso se repite una infinidad de veces.

Demuestre que en cierto momento hay tarjetas que ya no se mueven, y descubra (en terminos de ) cuantos pasos son necesarios para llegar al momento en que aquellas cartas ya no se mueven(a priori no sabemos quienes son).


Yo tambien propondria este en una Clasificacion de Olimpiada Nacional...jejejejeje
Nivel Menor,claro esta....

[Pasten]

como para n=1 el juego no esta definido, consideremos n>1. notemos que las n tarjetas menores no podran permanecer siempre en la misma posicion porque las tarjetas van rotando y de este modo las n tarjetas mayores son las que finalmente quedaran quietas. consideremos el conjunto de las duplas que originalmente tienen los n numeros mayores. el total de las duplas de es
observemos que en una dupla el numero menor es el impar, luego, en las duplas de podemos asegurar que los numeros pares permaneceran quietos hasta que algun impar mayor o igual que el segundo menor impar de las duplas de llegue hasta la primera dupla de despues de dar una vuelta completa. pero obsevemos que todos los impares de las duplas de quedaran inmoviles cuando lleguen a alguna de las duplas que no estan en y no contengan elementos de las duplas de . quedara inmovil en la primera movida. en la segunda, estara con en la primera dupla, en la tercera jugada estara inmovil pero con el impar menor que le sigue ocurrira lo mismo y se detendra en 2 jugadas mas y asi sucesivamente. finalemnte, habran tarjetas detenidas cuando en las primera duplas enten distribuidos los impares de las ultimas duplas. la cantidad necesaria de movimientos es, como vimos, donde es la cantidad de impares entre los n ultimos numeros. pero el mayor de los n mayores, es par. de esto deducimos que y la cantidad de jugadas necesarias son

[sebagarage]

como para n=1 el juego no esta definido, consideremos n>1. notemos que las n tarjetas menores no podran permanecer siempre en la misma posicion porque las tarjetas van rotando y de este modo las n tarjetas mayores son las que finalmente quedaran quietas. consideremos el conjunto de las duplas que originalmente tienen los n numeros mayores. el total de las duplas de es
observemos que en una dupla el numero menor es el impar, luego, en las duplas de   podemos asegurar que los numeros pares permaneceran quietos hasta que algun impar mayor o igual que el segundo menor impar de las duplas de llegue hasta la primera dupla de despues de dar una vuelta completa. pero obsevemos que todos los impares de las duplas de quedaran inmoviles cuando lleguen a alguna de las duplas que no estan en y no contengan elementos de las duplas de . quedara inmovil en la primera movida. en la segunda, estara con en la primera dupla, en la tercera jugada estara inmovil pero con el impar menor que le sigue ocurrira lo mismo y se detendra en 2 jugadas mas y asi sucesivamente. finalemnte, habran tarjetas detenidas cuando en las primera duplas enten distribuidos los impares de las ultimas duplas. la cantidad necesaria de movimientos es, como vimos, donde es la cantidad de impares entre los n ultimos numeros. pero el mayor de los n mayores, es par. de esto deducimos que y la cantidad de jugadas necesarias son

Solución correcta.
Saludos.