Segundo Nivel Individual Opciones

[S. E. Puelma Moy...]

Problema 1. Se tiene una tómbola con nueve bolitas, numeradas de 1 a 9. Juan saca tres bolitas, cuyos números son consecutivos y el producto es cinco veces la suma. Ana saca tres bolitas (de las seis restantes): los números en dos de ellas son consecutivos, no sacó ningún divisor de 1813, y el producto de los tres números es cuatro veces la suma. Determine cuáles son las tres bolitas que quedaron en la tómbola.

Problema 2. Considere un triángulo , isósceles en , tal que el ángulo mide 30º. Sean el punto medio del lado , un punto arbitrario en el segmento , y un punto arbitrario en la recta , , tal que . Determine la medida de .

[Gp20]

Solución 1:

Juan saca tres bolitas, cuyos números son consecutivos y su producto es cinco veces su suma.

Esto quiere decir que Juan saca las bolitas , y .

Y cumplen la condición:


Desarrollando esta ecuación:


Cancelamos y nos queda:




Pero como puede tomar valores de 1 a 9, su valor es 4.
O sea, Juan sacó las bolitas numeradas con el , el y el .

Las bolitas restantes son:

Ana no sacó ningún divisor de 1813, cuya descomposición prima es:


Esto nos dice que no sacó el 7.

Las bolitas que sacó Ana pueden ser:

De las cuales son consecutivas el par y el

Sabemos que sacó uno de estos pares (las bolitas y ) y otra bolita , y su relación es que su producto es 4 veces su suma.

Es decir:


Despejando :




Si fuera el par , tendríamos:

Pero debe tomar valores de 1 a 9, por lo que no puede ser -6.

Entonces, es el par , y es:


Lo que sí es positivo, entonces tenemos que Ana sacó la bolita , la y la .

Las bolitas que quedan son:

Resuelto por Guía Rojo

[pelao_malo]

Bueno primero sorry por lo atrasao xd pero me gusta revisar lo que pasan antes, weno creo que le pille la respuesta al de geometria.
-Se sabe que vale 30, por lo que los basales valen 75 cada 1.
-Si trazamos AP, sera igual a PB , por ser isoceles el APB, por semejanza al trianguo ABC, y ese trazo BP tiene que ser igual al QP, entonces, trazamos una circunferencia de radio BP que pase por los puntos Q, A y B.
-El arco QB tiene al angulo QAB, que vale 75, pero este por ser angulo inscrito, el QPB, que cubre el mismo angulo pero sale del centro, vale el doble, osea , 150 graditos.
ojala te bueno, salu2.

Mensaje modificado por pelao_malo el Jul 31 2007, 08:33 PM

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