Primer Nivel Individual Opciones

[S. E. Puelma Moy...]

Problema 1: En un regimiento hay cien soldados, y todas las noches se escogen tres de ellos para trabajar de centinelas. Pasado un tiempo, un soldado dice a su superior: "Señor, en las guardias he conocido a todos mis colegas, a pesar de haber estado con cada uno de ellos sólo una vez". ¿Es cierto lo que dice el soldado? Justifique.

Problema 2: Las piezas de un juego, que llamaremos "Lautaro juega con geometría'', son construidas cortando un cuadrado en siete partes, como muestra la figura: dos triángulos rectángulos grandes, uno mediano y dos pequeños, un cuadrado y un paralelógramo. Determine qué porcentaje del área del cuadrado cubre el paralelógramo.

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[Gp20]

Problema 1: En un regimiento hay cien soldados, y todas las noches se escogen tres de ellos para trabajar de centinelas. Pasado un tiempo, un soldado dice a su superior: "Señor, en las guardias he conocido a todos mis colegas, a pesar de haber estado con cada uno de ellos sólo una vez". ¿Es cierto lo que dice el soldado? Justifique.

Para resolver este problema, supongamos que hay algun soldado que haya conocido a sus 99 compañeros. Pero en cada ronda que él hacia, salía con 2 compañeros. Entonces, cuando ya hubiese hecho ronda con 98 compañeros distintos, para conocer al ultimo compañero, habria estado obligado a salir con alguno de sus compañeros conocidos. En resumen, podemos decir por contradiccion que no pudo haber hecho ronda con sus 99 compañeros 1 sola vez con cada uno.

[Corecrasher]

P2) UFF



Sea ABCD el cuadrado del enunciado con lado b. Extendemos el segmento AY para que corte en C. Notemos que por ser BD diagonal el ángulo DBC=DBA=45, análogamente lo mismo con el segmento CA. Al lado del cuadrilátero XMYZ le llamaremos a , por lo cual el lado del triangulo isósceles BXM es a también ,así con MZC, YZU y CZN. Notemos que ZN=a y por ser ZNDU paralelogramo , UD=a, concluimos que a es 1/4 de la diagonal que es b√2 . Fijémonos en que CYD es 1/4 del área del cuadrado que es b^2. Al ser el triangulo CZN congruente con el ZYU por criterio ALA podemos decir que el área del paralelogramo es el área de CYD menos la suma de las áreas de los dos triangulitos restantes, es decir b^2/4-2(a^2/2).
Al ser a=(b√2)/4 queda:

b^2/4-¬2((b√2/4)^2/2)=Área(ZNDU)
b^2/4-(b√2/4)^2=Área(ZNDU)
b^2/4-(b^2*2)/16=Área(ZNDU)
b^2/4-b^2/8=Área(ZNDU)
b^2/8=Área(ZNDU)

Sabemos que b^2/8 es el 12,5% de b^2. Q.D.Q. el área del paralelogramo achurado es el 12,5% de el cuadrado ABCD.

Saludos :hola: