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mini-maraton olimpica Jr

Cesarator	Nov 2 2007, 05:26 PM Publicado: #51
Invitado	La solución presentada al P10 por Manuel71 es correcta, pero le doy el mínimo de 4 puntos por mala redacción y dejar demasiados detalles sin justificación. La otra solución presentada está incorrecta. La solución al P6 presentada está basada en la misma idea de la anterior. TABLA: 1º: The Lord ----- 30pt 2º: Manuel71-----23pt 3º: iMPuRe--------13pt $TEX: {\bf Problema 11}. Encontrar todos los n\'umeros reales $a$ para los cuales la ecuaci\'on<br />\[<br />x^4+2ax^3+2a^2x^2 + 2ax +1=0<br />\]<br />tiene al menos una soluci\'on real.$

The Lord Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 2 2007, 06:54 PM Publicado: #52
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 374 Registrado: 16-September 06 Desde: New Haven, CT, USA. Miembro Nº: 2.275 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \noindent Sea $P(x)=x^4+2ax^3+2a^2x^2+2ax+1$\\<br />Veamos que $x=0$ no es raiz del polinomio. Factorizando de manera adecuada: \\<br />$P(x)=x^2( (a+x)^2+(a+\dfrac{1}{x})^2)$\\<br />Sea $r$ una raiz real, luego debe cumplirse que $r^2( (a+r)^2+(a+\dfrac{1}{r})^2)=0 \to (a+r)^2+(a+\dfrac{1}{r})^2=0$\\<br />Como los cuadrados de numeros reales ($r,a\in \mathbb{R}$) son mayores o iguales a cero, entonces $a=-r=-\dfrac{1}{r}$, osea $r^2=1\to r=1,-1$, de donde se sigue que $a=1,-1$.<br />$ ---- Editado, esta solucion es mas simple... Mensaje modificado por The Lord el Nov 2 2007, 07:47 PM

Cesarator	Nov 2 2007, 09:16 PM Publicado: #53
Invitado	Solución correcta al P11. 7pt. TABLA: 1º: The Lord ----- 37pt 2º: Manuel71-----23pt 3º: iMPuRe--------13pt $TEX: {\bf Problema 12}. Se escriben en la pizarra los primeros $2007$ n\'umeros naturales:<br />\[<br />1, \ 2, \ 3, \ \dots , \ 2007.<br />\]<br />Delante de cada n\'umero se escribir\'a un signo $+$ o $-$ en forma ordenada, de izquierda a derecha. Para<br />decidir cada signo se arroja una moneda: si sale cara se escribe $+$, si sale sello se escribe $-$.<br />Una vez escritos los $2007$ signos, se efect\'ua la suma de la expresi\'on resultante. Determinar la probabilidad<br />que el resultado sea $0$.<br /><br />{\bf Nota}. LA probabilidad de un suceso se calcula con la f\'ormula<br />\[<br />\frac{\mbox{ Cantidad de casos favorables}}{\mbox{ Cantidad de casos posibles}}.<br />\]$

pelao_malo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 2 2007, 09:32 PM Publicado: #54
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 878 Registrado: 14-May 07 Desde: Talcahuano Miembro Nº: 5.845 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: \noindent Analizando las formas de crear un $0$ con un $2007$, se pueden apreciar 2 casos:\\<br />1) Agrupamos los extremos, obteniendo:\\<br />$(1+2006)(\pm)(2+2005)(\pm)(3+2004)(\pm)...(\pm)(1003+1004)(\pm)(2007+0)$\\<br />Considerando $2007+0$ como una pareja, tenemos $1004$ parejas.\\<br />Como el signo del $1$ no se cambia, y cada pareja lleva su signo antes, entonces tendremos $1003$ signos que escoger, de los cuales $502$ deben ser - y $501$ deben ser +. ( eso para que la suma total sea 0 ).\\<br />O sea, la cantidad de formas que podemos intercalar los + y - entre dichas parejas ser\'an :<br />$\dfrac{1003!}{501!\cdot 502!}$.\\<br />2) Agrup\'andolos en parejas que den -1:\\<br />$1(\pm)(2-3)(\pm)(4-5)(\pm)(6-7)(\pm)...(\pm)(2006-2007)$ , donde debemos alternar los signos mas y menos para que la suma de los 1 y -1 que se van a ir formando, sea 0.\\<br />Al igual que antes, deben haber $502$ - y $501$ +, ya que el + del 1 del principio no cambia, asi que las posibles formas distintas son $\dfrac{1003!}{501!\cdot 502!}$.\\<br />Como tenemos 2 variables ( C y S ) , y queremos formar listas de largo $n$, cuando estemos en el n-\'esimo lanzamiento, tendremos $2^n$ posibles resultados distintos.\\<br />Cuando queramos obtener la serie de signos que anteceden a $2007$ ,como son $2006$ lanzamientos, la probabilidad de que salga las configuraciones deseadas es $\dfrac{2\cdot\dfrac{1003!}{501!\cdot 502!}}{2^{2006}}$.<br />$ --megaeditado-- [/tex] Mensaje modificado por pelao_malo el Nov 3 2007, 12:57 PM -------------------- $TEX: $\sqrt{5}=41$$

Cesarator	Nov 3 2007, 11:41 AM Publicado: #55
Invitado	Sigue incorrecto Mensaje modificado por Cesarator el Nov 3 2007, 08:26 PM

Zirou Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 4 2007, 12:15 AM Publicado: #56
Máquina que convierte café en teoremas Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 1.665 Registrado: 18-August 05 Desde: Concepción Miembro Nº: 247 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	muy similar a pelao_malo pero con números distintos. $TEX: \noindent {\bf Lema:} Si se tienen numeros consecutivos desde $1$ a $4k-1$ ($\underbrace{1,2,\ldots,n}_{4k-1\ \text{n\'umeros}}$) o desde $1$ a $4k$ ($\underbrace{1,2,\ldots,n}_{4k\ \text{n\'umeros}}$) estos siempre dar\'an como resutado final un n\'umero par, pues poseen una cantidad par de impares.$ Demostración $TEX: Notemos que $\underbrace{1,2,\ldots,n}_{4k\ \text{n\'umeros}}$ termina en un numero par, luego si poseen una cantidad par de numeros impares y una par de numeros pares esta será la misma cantidad, osea 2k. Arbitrariamente calcularemos su suma:\\<br />$\displaystyle\sum_{i=1}^{4k}i=\dfrac{4k(4k+1)}2=8k^2+2k$\\<br />por otro lado tenemos.:\\<br />\begin{eqnarray}<br />\displaystyle\sum_{i=1}^{4k}i&=&(4k^2+2k)+4k^2+2k-2k\\<br />&=& \displaystyle\sum_{i=1}^{2k}2i+\displaystyle\sum_{i=1}^{2k}2i-\displaystyle\sum_{i=1}^{2k}1\\<br />&=&\displaystyle\sum_{i=1}^{2k}2i+\displaystyle\sum_{i=1}^{2k}2i-1\end{eqnarray}<br />luego la sucesion se puede separar en partes iguales de numeros pares e impares (an\'alogo para 4k-1, solo que se le agrega un cero)$ $TEX: Luego como 2007 es del orden de $4k-1$ (con $k=502$) es posible realizar el problema.\\<br />Para poder agrupar los n\'umeros en parejas agregaremos un cero al comienzo de la sucesion, as\'i tendremos 4k de numeros.\\<br />$$0,1,\ldots,2007$$<br />Ahora, para obtener 0 al final del resultado, se formaran parejas de tal forma que se puedan anular, as\'i tenemos:\\<br />$$\underbrace{(2007+0),(2006+1),(2005+2),\ldots,(1004+1003)}_{1004\ \text{parejas}}$$<br />a lo anterior se le ubican 502 signos + y 502 - antes de cara parentesis, luego par ver las posibles maneras solo nos fijaremos en los signos + (pues los - se ubicar\'an donde les quede un espacio). Ahora si tenemos 1004 casillas y 502 signos + las posibles combinaciones son $\dfrac{1004!}{502!502!}$.\\<br />Otra forma es alternando 1 y -1, conseguimos esto situando signos + y - antes de los siguientes parentesis.\\ <br />$$\underbrace{(2006-2005),(2005-2004)\ldots, (1-0)}_{1004\ parejas}$$<br />Analogo al anterior, las posibles combinaciones son $\dfrac{1004!}{502!502!}$\\<br />\\<br />CASO 2: de cuartetos. \textit{Se forman cuartetos de numeros consecutivos de la forma $n+(n-1)-(n-2)-(n-3)$ pues su resultado es 4, luego quedan 502 parejas.}\\<br />$$\underbrace{(2007+2006-2005-2004),(2003+2002-2001-2000),\ldots,(3+2-1-0)}_{502 parejas}$$<br />nuevamente, pensando en como ubicar 256 signos + dentro de 502 casillas tenemos que existen $\dfrac{502!}{256!256!}$ posibilidades.$ $TEX: Luego como 2008 (incluyendo el cero) tiene como descomposici\'on prima $2^3\cdot251$ no podemos seguir subdividiendo en parejas como un octeto (en ese caso tendriamos que colocar un numero impar de signos + y par de - o viciversa).\\<br />Finalmente la probabilidad de obtener como resultado final 0 es de: $\dfrac{\dfrac{2\cdot1004!}{502!^2}+\dfrac{502!}{251!^2}}{2^{2007}}$<br />$ Saludos. -------------------- $TEX: $mathcal{Z}$ $imath$ $Re$ $varnothing$ $mho$$ Manual para subir imágenes y archivos a fmat (con servidor propio) Manual de latex Estilo Propio Lista de libros en fmat "Un Matemático es una máquina que trasforma café en teoremas"(Erdös) --- Consultas, sugerencias, reclamos via mp o a los correos mencionados.

pelao_malo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 9 2007, 05:49 PM Publicado: #57
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 878 Registrado: 14-May 07 Desde: Talcahuano Miembro Nº: 5.845 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	y que paso con la maraton taba bakan, y hay respuesta nueva, don cesarator parece que esta muy ocupado, weno ojala se pase por aki pa que esto siga, salu2. -------------------- $TEX: $\sqrt{5}=41$$

Jorgeston Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 9 2007, 06:03 PM Publicado: #58
Dios Matemático Supremo Grupo: Baneado Mensajes: 2.588 Registrado: 7-November 06 Miembro Nº: 2.747	CITA(pelao_malo @ Nov 9 2007, 06:49 PM) y que paso con la maraton taba bakan, y hay respuesta nueva, don cesarator parece que esta muy ocupado, weno ojala se pase por aki pa que esto siga, salu2. Por eso decia MARATON LENTA en la reglas salu2

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