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mini-maraton olimpica Jr

The Lord Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 1 2007, 08:12 PM Publicado: #31
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 374 Registrado: 16-September 06 Desde: New Haven, CT, USA. Miembro Nº: 2.275 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Los cuadrados cuyas suma de las cifras de las raices es menor que 5 son los siguientes: 100,121,144,169,441,484,961. Para 100 cuando se extienden tenemos los numeros de la forma $TEX: $10^{2n}$$ Para 121 cuando se extienden tenemos los numeros de la forma $TEX: $(10^n+1)^2$$ Para 144 cuando se extienden tenemos los numeros de la forma $TEX: $(10^n+2)^2$$ Para 169 cuando se extienden tenemos los numeros de la forma $TEX: $(10^n+3)^2$$ Para 441 cuando se extienden tenemos los numeros de la forma $TEX: $(2\cdot 10^n+1)^2$$ Para 484 cuando se extienden tenemos los numeros de la forma $TEX: $(2\cdot 10^n+2)^2$$ Para 961 cuando se extienden tenemos los numeros de la forma $TEX: $(3\cdot 10^n+1)^2$$ Luego no influye el valor de n, todos son cuadrados perfectos.

Cesarator	Nov 1 2007, 08:18 PM Publicado: #32
Invitado	Solución al P7 incorrecta.

Manuel71 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 1 2007, 08:18 PM Publicado: #33
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 329 Registrado: 24-August 06 Desde: Concepción Miembro Nº: 2.038 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: \noindent Los \'unicos $abc$ que cumplen con el enunciado son:\\<br />100, 121, 144, 169, 400, 441, 484, 900 y 961.\\<br />Respecitvamente: $10^2$, $11^2$, $12^2$, $13^2$, $20^2$, $21^2$, $22^2$, $30^2$, $31^2$\\<br />\\<br />Estos se pueden representar como: $c+10b+100a$. Al agregar los ceros nos queda:\\<br />$c+10^{n+1}b+10^{2n+2}a$. Para cada uno de los $abc$ ya presentados, su forma extendida siempre es un cuadrado:\\<br />100: $0+10^{n+1}(0)+10^{2n+2}(1)=(10^{n+1}+0)^2$\\<br />121: $1+10^{n+1}(2)+10^{2n+2}(1)=(10^{n+1}+1)^2$\\<br />144: $4+10^{n+1}(4)+10^{2n+2}(1)=(10^{n+1}+2)^2$\\<br />169: $9+10^{n+1}(6)+10^{2n+2}(1)=(10^{n+1}+3)^2$\\<br />400: $0+10^{n+1}(0)+10^{2n+2}(4)=(10^{n+1}(2)+0)^2$\\<br />441: $1+10^{n+1}(4)+10^{2n+2}(4)=(10^{n+1}(2)+1)^2$\\<br />484: $4+10^{n+1}(8)+10^{2n+2}(4)=(10^{n+1}(2)+2)^2$\\<br />900: $0+10^{n+1}(0)+10^{2n+2}(9)=(10^{n+1}(3)+0)^2$\\<br />961: $1+10^{n+1}(6)+10^{2n+2}(9)=(10^{n+1}(3)+1)^2$$

CyedqD Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 1 2007, 08:20 PM Publicado: #34
Coordinador General Gran Maraton PSU Final 2008 Grupo: Moderador Mensajes: 1.607 Registrado: 11-June 07 Desde: Peñalolen, Stgo Miembro Nº: 6.641 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: Para cualquier numero abc, su raiz sera un numero de dos digitos, al que llamaremos de.<br />luego $d+e <5$, por lo que los unicos numeros de posibles son:$ $TEX: $10,11,12,13,20,21,22,30,31$$ $TEX: observar que para $n=1$$ $TEX: $ 11$ y $121$, cumplen con la condicion puesto que:$101^2=10201$$ $TEX: generalizando, para cualquier n, se tiene que: $10^{2n+2}a+10^{n+1}+c=(10^{n+1}d+e)$, por lo que la condicion se cumple para cualquier extension n.$ Mensaje modificado por CyedqD el Nov 1 2007, 08:23 PM --------------------

iMPuRe Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 1 2007, 08:21 PM Publicado: #35
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 193 Registrado: 22-March 07 Desde: San Miguel, Santiago Miembro Nº: 4.651 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Los cuadrados cuyas suma de las cifras de las raices es menor que 5 son los siguientes: 100,121,144,169,400,441,484,900,961. Para 100 cuando se extienden tenemos los numeros de la forma $TEX: $10^{2n+2}$$ Para 121 cuando se extienden tenemos los numeros de la forma $TEX: $(10^{n+1}+1)^2$$ Para 144 cuando se extienden tenemos los numeros de la forma $TEX: $(10^{n+1}+2)^2$$ Para 169 cuando se extienden tenemos los numeros de la forma $TEX: $(10^{n+1}+3)^2$$ Para 400 cuando se extienden tenemos los numeros de la forma $TEX: $(2\cdot10^{n+1})^2$$ Para 441 cuando se extienden tenemos los numeros de la forma $TEX: $(2\cdot 10^{n+1}+1)^2$$ Para 484 cuando se extienden tenemos los numeros de la forma $TEX: $(2\cdot 10^{n+1}+2)^2$$ Para 900 cuando se extienden tenemos los numeros de la forma $TEX: $(3\cdot 10^{n+1}+2)^2$$ Para 961 cuando se extienden tenemos los numeros de la forma $TEX: $(3\cdot 10^{n+1}+1)^2$$ Luego no influye el valor de n, todos son cuadrados perfectos. Mensaje modificado por iMPuRe el Nov 1 2007, 08:25 PM -------------------- 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997 1009 1013 1019 1021 1031 1033 1039 1049 1051 1061 1063 1069 1087 1091 1093 1097 1103 1109 1117 1123 1129 1151 1153 1163 1171 1181 1187 1193 1201 1213 1217 1223 1229 1231 1237 1249 1259 1277 1279 1283 1289 1291 1297 1301 1303 1307 1319 1321 1327 1361 1367 1373 1381 1399 1409 1423 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9931 9941 9949 9967 9973 10007

Cesarator	Nov 1 2007, 08:26 PM Publicado: #36
Invitado	Solución correcta al P7 para Manuel71. Le damos 7pt. Las otras son la misma. TABLA: 1º: The Lord ----- 24pt 2º: Manuel71-----15pt 3º: iMPuRe--------6pt *** $TEX: <br />{\bf Problema 8}. Juan el mentiroso dice lo siguiente: {\it Entre $39$ n\'umeros naturales consecutivos,<br />siempre habr\'a un n\'umero tal que la suma de sus d\'{\i}gitos es divisible por $11$}.<br /><br />Determinar si Juan dice o no la verdad.<br /><br />$

iMPuRe Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 1 2007, 08:45 PM Publicado: #37
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 193 Registrado: 22-March 07 Desde: San Miguel, Santiago Miembro Nº: 4.651 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	De los $TEX: $20$$ primeros numeros consecutivos escojidos hay siempre $TEX: $2$$ que su digito de unidades $TEX: $0$$ y al menos uno de los dos tiene como digito de las decenas un numero diferente de $TEX: $9$$ . Sea $TEX: $n$$ ese número y $TEX: $j$$ la suma de sus dígitos. Entonces los numeros $TEX: $n, n+1,...,n+ 9 y n +19$$ que estan entre los $TEX: $39$$ numeros consecutivos tienen respectivamente como suma de sus digitos $TEX: $j, j +1,..., j + 9 y j +10$$ y aca siempre almenos uno es divisible por $TEX: $11$$ . Mensaje modificado por iMPuRe el Nov 1 2007, 08:47 PM -------------------- 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997 1009 1013 1019 1021 1031 1033 1039 1049 1051 1061 1063 1069 1087 1091 1093 1097 1103 1109 1117 1123 1129 1151 1153 1163 1171 1181 1187 1193 1201 1213 1217 1223 1229 1231 1237 1249 1259 1277 1279 1283 1289 1291 1297 1301 1303 1307 1319 1321 1327 1361 1367 1373 1381 1399 1409 1423 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9931 9941 9949 9967 9973 10007

Manuel71 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 1 2007, 08:49 PM Publicado: #38
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 329 Registrado: 24-August 06 Desde: Concepción Miembro Nº: 2.038 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: Separamos los naturales en grupos de a 10, tal que el primer n\'umero de cada grupo termine en 0 y el \'ultimo en 9. Solo queda un conjunto de 9 n\'umeros, el que va de 1 a 9, pero no lo consideraremos como "grupo". Al elegir los 39 n\'umeros consecutivos, siempre se abarcara\'an dos grupos completos, llam\'emoslos A y B (donde B viene despues de A). Vemos que en cada grupo la suma de los d\'igitos de cada numero que lo compone son consecutivas. Si en A, no hay ninguna suma de d\'igitos divisible por 11, como son 10 en total, necesariamente la primera es de la forma $11k+1$ y el \'ultimo de la forma $11k+10$. Luego, en los digitos del primer numero de B, la unidad es cero y la decena es uno m\'as que su antecesor, por lo que la suma de sus digitos es $11k+2$, por lo que el d\'ecimo elemento de B debe ser de la forma $11k+11$, por lo que igualmente habr\'a un n\'umero que cumpla lo pedido.\\<br />\\<br />Sin embargo el grupo A puede terminar con un n\'umero que acabe en 00, sin poseer ningun numero cuya suma de digitos sea divisible por 11, pero entonces, el primer numero de B termniaria en 01, luego si tomamos los numeros de B mas el ultimo numero de A, tenemos 11 sumas de digitos consecutiva, por lo que alguna debe ser divisible por 11$

Cesarator	Nov 1 2007, 09:09 PM Publicado: #39
Invitado	Ambas soluciones al P8 son correctas y distintas. Damos 7pt a impure y 4pt a Manuel71 (leer reglas). TABLA: 1º: The Lord ----- 24pt 2º: Manuel71-----19pt 3º: iMPuRe--------13pt $TEX: <br />{\bf Problema 9}. Considerar el n\'umero<br />\[<br />n = 19! + 20! +... + 97!<br />\]<br />Determinar el primer d\'{\i}gito de $n$ (mir\'andolo de derecha a izquierda) que sea distinto de $0$ .<br />$

The Lord Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 1 2007, 09:20 PM Publicado: #40
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 374 Registrado: 16-September 06 Desde: New Haven, CT, USA. Miembro Nº: 2.275 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Solo basta considerar el ultimo digito de 19! (veamos que 20!>19!·10, en otras palabras el ultimo digito no nulo de 19! no se ve afectado por sumar 20! a 19!, pasa lo mismo con 21!,...,97! porque cada uno de estos elementos son mayores que 10·19!). Luego solo queda encontrar el ultimo digito no nulo de 19!, para esto por la definicion de 19! tenemos que: 1·2·3·4·5·6·7·8·9·10·11·12·13·14·15·16·17·18·19=10³(3·4·6·7·8·9·11·12·13·14·8·17·18·19)=10³A Luego por modulo: $TEX: $A\equiv{2}(mod 10)$$ , el numero buscado. Mensaje modificado por The Lord el Nov 1 2007, 09:25 PM

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