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mini-maraton olimpica Jr

The Lord Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 1 2007, 06:49 PM Publicado: #21
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 374 Registrado: 16-September 06 Desde: New Haven, CT, USA. Miembro Nº: 2.275 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \noindent Generaremos la nueva sucesi\'on $y_i$, como sigue:\\<br />$x_i\equiv {y_i} (mod.100), 0\le y_i\le 99$\\<br />Lo pedido es $y_{2007}$. Veamos los primeros terminos de la sucesi\'on:\\<br />$x_2=3+3^2=12\to y_2=12$\\<br />$x_3=12+12^2=156\to y_3=56$\\<br />Como lo que nos interesa son los $y_i's$, notemos que se cumple $y_{i+1}\equiv{y_i+y_i^2}(mod.100)$, esta observacion los facilitara calcular los siguientes terminos\\<br />$y_4\equiv{56+56^2}\equiv{92}(mod 100)\to y_4=92$\\<br />$y_5\equiv{92+92^2}\equiv{-8+8^2=56}(mod 100)\to y_5=56$\\<br />De donde se sigue que la recurrencia es ciclica, mas explicitamente si $i$ impar tenemos que $y_i=56$, $y_i=92$ si $i$ es par (para $i\ge 3$). Finalmente el numero pedido es 56<br /><br /><br /><br /><br /><br />$

Manuel71 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 1 2007, 06:54 PM Publicado: #22
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 329 Registrado: 24-August 06 Desde: Concepción Miembro Nº: 2.038 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: \noindent Se calculan los primeros valores en m\'odulo 100.\\<br />$x_1\equiv3$ (mod 100)\\<br />$x_2\equiv 12$\\<br />$x_3\equiv 12+12^2\equiv 12+44\equiv 56$ (mod 100)\\<br />$x_4\equiv 56+56^2=56+36\equiv 92$ (mod 100)\\<br />$x_5\equiv 92+92^2\equiv 92+64\equiv 56$ (mod 100)\\<br />$x_6\equiv 56+56^2\equiv 56+36\equiv 92$ (mod 100)\\<br />\\<br />Notemos que de aqu\'i en adelante se forma un ciclo donde se alternan los valores 56 y 92. Los $x_k$ con k impar son congruentes a 56 en modulo 100, por lo que $x_{2007}$ termina en 56.$ Mensaje modificado por Manuel71 el Nov 1 2007, 07:00 PM

iMPuRe Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 1 2007, 06:59 PM Publicado: #23
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 193 Registrado: 22-March 07 Desde: San Miguel, Santiago Miembro Nº: 4.651 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Cesarator @ Nov 1 2007, 08:38 PM) {\bf Problema 5}. Se define una sucesi\'on $(x_n)$ poniendo \[ x_1= 3, \ \ x_{n+1} = x_n + x_n^2. \] Determinar los \'ultimos dos d\'{\i}gitos de $x_{2007}$. [/tex] Notar que los ultimos $TEX: $2$$ digitos del producto de $TEX: $2$$ numeros dependen exclusivamente de los ultimos $TEX: $2$$ digitos de ambos numeros pues en modulo $TEX: $100$$ ambos numeros son congruentes a sus $TEX: $2$$ ultimos digitos. Notar que $TEX: $x_1$$ termina en $TEX: $3$$ , $TEX: $x_2$$ en $TEX: $12$$ , $TEX: $x_3$$ en $TEX: $56$$ , $TEX: $x_4$$ en $TEX: $92$$ , fijarse que $TEX: $92+92^2 \equiv 92 \cdot 93 \equiv (-6) \cdot (-7) \equiv 56 (mod.100)$$ , entonces ahora llegamos a un ciclo. Como $TEX: $2007$$ es de la forma impar sus ultimos $TEX: $2$$ digitos son $TEX: $56$$ . -------------------- 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997 1009 1013 1019 1021 1031 1033 1039 1049 1051 1061 1063 1069 1087 1091 1093 1097 1103 1109 1117 1123 1129 1151 1153 1163 1171 1181 1187 1193 1201 1213 1217 1223 1229 1231 1237 1249 1259 1277 1279 1283 1289 1291 1297 1301 1303 1307 1319 1321 1327 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Assassin.... Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 1 2007, 07:01 PM Publicado: #24
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 45 Registrado: 20-October 07 Miembro Nº: 11.559 Nacionalidad: Sexo:	Buena solución Mensaje modificado por Assassin.... el Nov 1 2007, 07:05 PM

Cesarator	Nov 1 2007, 07:13 PM Publicado: #25
Invitado	ok, las soluciones dadas al P5 son todas correctas, basadas en la misma idea. Por lo tento, quien primero la posteó, The Lord, tiene 7 pt. TABLA: 1º: The Lord ----- 24pt 2º: iMPuRe--------6pt 3º: Manuel71-----1pt *** $TEX: {\bf Problema 6}. Determinar todos los n\'umeros enteros $a$ tales que<br />\[<br />2^a(4-a) = 2a +4.<br />\]<br />$

Manuel71 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 1 2007, 07:32 PM Publicado: #26
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 329 Registrado: 24-August 06 Desde: Concepción Miembro Nº: 2.038 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(Cesarator @ Nov 1 2007, 07:13 PM) $TEX: {\bf Problema 6}. Determinar todos los n\'umeros enteros $a$ tales que<br />\[<br />2^a(4-a) = 2a +4.<br />\]<br />$ $TEX: \noindent Si $a<-2$, la parte izquierda de la igualdad ser\'a positiva, mientras que la dercha ser\'a negativa.\\<br />Si $a>4$, el lado izquierdo de la igualdad ser\'a negativo, mientras que la parte derecha ser\'a positiva.\\<br />Por lo tanto las soluciones deben estar en el intervalo $[-2,4]$. Como s\'olo se buscan enteros, basta probar todos los valores del intervalo.\\<br />Vemos que los \'unicos valores para $a$ que cumplen son 0, 1 y 2.$

The Lord Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 1 2007, 07:34 PM Publicado: #27
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 374 Registrado: 16-September 06 Desde: New Haven, CT, USA. Miembro Nº: 2.275 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \noindent Veamos que $a=0$ si cumple lo pedido. Separemos en casos:\\<br />Caso 1: $a>0$\\<br />Claramente en este caso $2a+4>0$, luego como $2^a>0$ entonces $a<4$. Es facil ver que $a=1,2$ satisfacen pero $a=3$ no lo hace.\\<br />Caso 2: $a<0$\\<br />Digamos que $-a=b\in N$, luego:\\<br />$4+b=(4-2b)2^b$\\<br />Luego $b=2r$, reemplazando obtenemos: $2+r=(2-2r)2^{2r}$, luego $r=2t$, reemplazando obtenemos:\\<br />$1+t=(1-2t)2^{4t}$, como $t>0$ es claro que no hay soluciones posibles<br /><br />$

Cesarator	Nov 1 2007, 07:46 PM Publicado: #28
Invitado	Solución correcta de Manuel71 al P6. con 7pt. La otra solución presentada es incorrecta. TABLA: 1º: The Lord ----- 24pt 2º: Manuel71-----8pt 3º: iMPuRe--------6pt $TEX: <br />{\bf Problema 7}. Un n\'umero de 3 d\'{\i}gitos $abc$ se puede {\it extender}<br />insertando $n$ d\'{\i}gitos $0$ entre $a$ y $b$ y otros $n$ ceros entre $b$ y $c$. <br />Por ejemplo, si $n=3$, la extensi\'on de $abc$ es<br />$a000b000c$.<br /><br /> Asumir que $abc$ es un cuadrado perfecto y que la suma de los d\'{\i}gitos de <br />su ra\'{\i}z cuadrada es menor que $5$. Determinar si las extensiones de $abc$<br />son cuadrados perfectos para cualquier valor de $n$.<br /><br />$

iMPuRe Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 1 2007, 08:05 PM Publicado: #29
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 193 Registrado: 22-March 07 Desde: San Miguel, Santiago Miembro Nº: 4.651 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Notar que los cuadrados de $TEX: $3$$ digitos son el $TEX: $100,121,144$$ y el $TEX: $169$$ , pero la suma de los digitos de la raiz cuadrada es menor que $TEX: $5$$ , luego consideramos solo $TEX: $100$$ y $TEX: $121$$ . Notar que abc extendido en $TEX: $n$$ es $TEX: $a\cdot 10^{2n+2}+b \cdot 10^{n+1}+c$$ , para $TEX: $100$$ tenemos $TEX: $10^{2n+2}$$ lo que evidentemente es cuadrado. Para $TEX: $121$$ se tiene $TEX: $10^{2n+2}+2 \cdot 10^{n+1}+1=(10^{n+1}+1)^2$$ lo que es cuadrado. Entonces las extensiones de abc siempre son cuadrados. Mensaje modificado por iMPuRe el Nov 1 2007, 08:10 PM -------------------- 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997 1009 1013 1019 1021 1031 1033 1039 1049 1051 1061 1063 1069 1087 1091 1093 1097 1103 1109 1117 1123 1129 1151 1153 1163 1171 1181 1187 1193 1201 1213 1217 1223 1229 1231 1237 1249 1259 1277 1279 1283 1289 1291 1297 1301 1303 1307 1319 1321 1327 1361 1367 1373 1381 1399 1409 1423 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Cesarator	Nov 1 2007, 08:12 PM Publicado: #30
Invitado	Solución al P7 incorrecta.

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