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mini-maraton olimpica Jr

Cesarator	Oct 31 2007, 08:39 PM Publicado: #1
Invitado	A pedido del público, le daremos a una mini maratón de problemas variados de olimpiadas para ir calentando el ambiente previo al Veranomatematico. Sacaré problemas de olimpiadas varias, de dificultad variada, y algunos incluso ya conocidos por varios. Un pequeño REGLAMENTO 1) Esta mini maratón constará de 31 problemas. Los problemas serán planteados en horario de 8:00 a 24:00. Las soluciones pueden postearse en cualquier horario. Pueden participar los usuarios que lo deseen. 1a) Se trata de una MARATÓN LENTA. Así, el siguiente problema se planteará cuando yo tenga tiempo para hacerlo, y no necesariemnte inmediatamente despúes de que alguien postea una solución correcta. 2) Las soluciones deben ser entregadas en formato LATEX, asi que el que desee participar, un primer requisito es leerse los manuales. 3) Debe acompañarse la solución con diagramas explicativos cuando el problema así lo requiera, en particular se exigirá al menos un dibujo en la resolución de los problemas de geometría planteados. 4) Se adaptará un "método de corrección IMO". Es decir, todos los problemas tendrán un puntaje total de 7 puntos. Se corregirá formalmente las respuestas, como si se tratara de una olimpiada internacional, es decir, se bajará puntaje por falta de justificaciones, ambiguedades de notación, mala redacción, etc. Así, para obtener los 7 puntos la solución debe estar "perfecta". Para ser validada como correcta, el puntaje mínimo de una solución es de 4 puntos. 5) Se pueden presentar soluciones adicionales dentro de los 2 días siguientes a la presentación de la primera solución. Estas deben estar basadas en ideas distintas a la primera posteada. La segunda solución posteada será evaluada con el mismo método de la primera, sólo que su puntaje total se obtendrá multiplicando el asignado por 2/3 (dos tercios). La tercera solución presentada se multiplicará por (1/2) y la cuarta o posterior a la cuarta por (1/3). 6) Si posteriormente al plazo de 2 días se entrega alguna solucion distinta o mas elegante, esta obtendrá 1 punto. 7) Cualquier denuncia respecto a post que se van modificando en el camino debe hacerse por screen shoot al menos. Cualquier denuncia sin pruebas hara que automaticamente el usuario efectuador de ella quede excluido de la Competencia. Para evitar esos problemas existe la opcion de "Previsualizar" antes de mandar el mensaje. 8) Cualquier situación ambigua que se presente será dirimida por la administración del foro como mejor le parezca. En particular, se reserva el derecho de borrar post que no sean aportes a los problemas planteados. *********** Y, para ponerle más interés, el primer lugar de esta maratón tendrá de premio una beca para un curso del Verano Matemático UdeC 2008 (si gana alguien que ya tenga una beca, pasa al siguiente). El segundo lugar tendrá una beca de un 50% para un curso. El tercer lugar tendrá una beca para el 50% de un curso. El puntaje mínimo para optar a estos premios es de 25 puntos, y al menos haber resuelto 2 problemas con 7 puntos adjudicados. **

Jorgeston Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 31 2007, 08:43 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Baneado Mensajes: 2.588 Registrado: 7-November 06 Miembro Nº: 2.747	A modo de consulta general , ¿Quienes pueden participar? (edad, si puede ser del staff, etc)

pelao_malo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 31 2007, 08:56 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 878 Registrado: 14-May 07 Desde: Talcahuano Miembro Nº: 5.845 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	weeeeeeeeeeeeeenaaaa aki toy preparaito :DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD no duden que me cabesiare salu2 y gracias PD: porke yo habia pedido una eeeee xD chau -------------------- $TEX: $\sqrt{5}=41$$

Cesarator	Oct 31 2007, 08:56 PM Publicado: #4
Invitado	$TEX: {\bf Problema 1}$ Dibujo.JPG ( 2.24k ) Número de descargas: 7 $TEX: La figura de arriba est\'a formada por 16 segmentos, que se intersectan en 12<br />esquinas. >Se puede trazar una curva que pase por cada uno de los segmentos una sola vez?<br /><br />La curva puede ser cerrada o abierta y también puede intersectarse a si misma. No puede pasar <br />por una esquina y al tocar un segmento debe necesariamente atravesarlo (no puede solo tocarlo y devolverse)$

Cesarator	Oct 31 2007, 08:59 PM Publicado: #5
Invitado	Leer el reglamento primero, y después preguntar, si persiste la duda.

The Lord Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 31 2007, 10:08 PM Publicado: #6
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 374 Registrado: 16-September 06 Desde: New Haven, CT, USA. Miembro Nº: 2.275 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Solución Problema 1: $TEX: \noindent Como se puede ver en la figura, hemos marcados los puntos $A,B,C,D,E$.<br />Veamos que la curva debe cortar a los trazos $AB,BD,DE$.\\<br />Luego hay tres cortes en el segmento $AE$. Esto es una contradicci\'on porque al haber tres cortes, por principio del palomar, dos cortes pertenecerian a uno de los segmentos $AC$ o $CE$, osea habria dos cortes en un trazo algo que no esta permitido.<br />Luego no se puede trazar la curva.$ cuancc

Cesarator	Oct 31 2007, 10:21 PM Publicado: #7
Invitado	Respuesta incorrecta. Identificar bien los "segmentos" (son 16). Así, por ejemplo, AC no es un segmento. Problema vivo (recordar también que no solo la primera respuesta tiene puntaje: Leer reglamento).

The Lord Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 31 2007, 10:59 PM Publicado: #8
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 374 Registrado: 16-September 06 Desde: New Haven, CT, USA. Miembro Nº: 2.275 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Nuevo intento u.u $TEX: \noindent Caso 1: Cuando la curva es abierta\\ En la soluci\'on se considera el trayecto de la curva con una direcci\'on que va desde el punto de origen de la curva hasta el punto final de dicha curva.\\<br />En la figura hemos marcado los puntos que se muestran (algo desordenada la elecci\'on de los nombres de los puntos, pero en fin). En esta soluci\'on es de vital importancia que los rectangulos $HGAB$, $ABCD$,$JFEI$ tienen sus lados compuestos por un n\'umero impar de "segmentos" (5 "segmentos" forman cada uno de estos rectangulos, por ejemplo los segmentos $GH,HB,BA,AF,FG$ determinan al rectangulo $HGAB$).\\<br />Coloreemos los rectangulos $HGAB, ABCD, JFEI$ (sus interiores) de tres colores distintos, esto para poder determinar estas tres regiones en forma independiente.\\<br />Es importante considerar que cada vez que la curva corta a uno de los "segmentos" de estos rectangulos, esta entrando o saliendo de un determinado color. Si una curva viene de "afuera" de una determinada regi\'on (aqu\'i es importante recordar que la curva lleva una direcci\'on) y esta entra en esta regi\'on, hay dos opciones, o vuelve a salir cortando nuevamente a uno de los segmentos que componen al rectangulo o se queda en esa misma regi\'on, osea el punto extremo de la cuerda queda dentro de la regi\'on de ese color.\\<br />Es importante notar que como los rectangulos $HGAB$, $ABCD$,$JFEI$ tienen sus lados compuestos por un n\'umero impar de "segmentos", necesariamente la curva debe haber partido o haber terminado en uno de los interiores de esos rectangulos.\\<br />Supongamos que la curva no parte ni termina en alguno de estos 3 rectangulos. Luego la curva necesariamente debe entrar a la regi\'on (porque corta corta "desde afuera"), luego debe salir, nuevamente entrar, otra vez salir y finalmente volver a entrar, pero en este paso ya no puede volver a salir (porque solo son 5 "segmentos"), lo que contradice que no termine dentro de la zona.\\<br />Como son 3 rectangulos y solo hay dos puntos de inicio/termino de la curva, esto es contradictorio ya que un rectangulo no tendr\'a un punto de inicio o de termino en su interior. Finalmente no se puede trazar la curva.\\$ $TEX: \noindent Caso 2: Cuando la curva es cerrada:\\<br />Consideraremos el rectangulo $ABCD$. Tomemos un punto de la curva que se encuentra fuera de la regi\'on interior de este rectangulo, diremos que ese punto es el origen de la curva. Como la curva corta todos los "segmentos" que determinan los lados del rectangulo $ABCD$, podemos tomar alguna de las dos direcciones que tenemos disponibles como la dirección de la curva. Considerando esta direcci\'on, llegaremos al primer punto de corte respecto a este origen. En este corte la curva "entra" en la regi\'on interior del rectangulo $ABCD$, luego la curva debe salir de la regi\'on cortando nuevamente a algun "segmento" del rectangulo. La curva nuevamente debe entrar y salir de la regi\'on interior (debe cortar todos los "segmentos" del rectangulo), pero nuevamente debe entrar para poder cortar al "segmento" restante, en este momento la curva ya no puede salir de la regi\'on y por ende no puede volver al punto origen (punto fuera de la regi\'on), lo que contradice que la curva sea cerrada.$

Felipe_ambuli Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 1 2007, 06:51 AM Publicado: #9
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 836 Registrado: 9-January 07 Desde: Santiasko Miembro Nº: 3.659 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Cesarator @ Oct 31 2007, 11:56 PM) $TEX: {\bf Problema 1}$ $TEX: La figura de arriba est\'a formada por 16 segmentos, que se intersectan en 12<br />esquinas. >Se puede trazar una curva que pase por cada uno de los segmentos una sola vez?<br /><br />La curva puede ser cerrada o abierta y también puede intersectarse a si misma. No puede pasar <br />por una esquina y al tocar un segmento debe necesariamente atravesarlo (no puede solo tocarlo y devolverse)$ $TEX: \noindent Llamemos "disposicion T" cuando tres segmentos de la figura formen una T. Asi, en la figura, los lados $BA, AK$ y $AC$ forman una disposicion T. Luego de varios intentos, vemos que una curva (que desde ahora llamaremos $\Gamma_i$) toca a los tres segmentos de una disposicion T de tres formas, las que seran llamadas $\Gamma_1$, $\Gamma_2$, $\Gamma_3$.$ $TEX: Esta es la disposicion de la curva $\Gamma_1$:$ $TEX: Esta es la disposicion de $\Gamma_2$:$ $TEX: Esta es la disposicion de $\Gamma_3$:$ $TEX: \noindent Veamos la disposicion T formada por $BA, AK$ y $AC$. Si trazamos una curva de la forma $\Gamma_1$, esta dispuesta de tal forma que no puede cortar a $FG$. Si disponemos en esta T una curva $\Gamma_2$, estaria colocada tal que no corta a $CI$ ($CI=AK$), pues esta curva no pasa por el $\triangle{CIK}$ (recordar que no toca las esquinas). Si disponemos $\Gamma_3$ sobre esta T, esta no toca a $BD$. Analogamente, si hacemos los tres tipos de curvas sobre cada una de las disposiciones T de la figura, podemos ver que siempre hay un segmento que no es cortado. En conclusion, no es posible hacer lo pedido.$ EDITED: Puse CI y era AC. Mensaje modificado por Felipe_ambuli el Nov 1 2007, 07:46 AM

Cesarator	Nov 1 2007, 09:25 AM Publicado: #10
Invitado	Solución correcta al P1 por The Lord. Le adjudico 6 puntos (por la extensión innecesaria y la separación en casos, también innecesaria). La otra solución presentada está incorrecta. TABLA: 1º: The Lord ---- 6pt $TEX: {\bf Problema 2}.<br />Considerar un tri\'angulo $\triangle ABC$ de \'area 7. Sea $A_1$ un punto del lado $BC$ y sean $B_1$<br />y$C_1$ en las rectas $AC$ y $AB$ respectivamente, tales que $AA_1, BB_1$ y $CC_1$ son paralelas.<br />Si es que es posible hacerlo, determinar el \'area del tri\'angulo $\triangle A_1B_1C_1$.<br />$

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