Segundo Nivel Individual Opciones

[S. E. Puelma Moy...]

Problema 1. ¿Cuántos enteros entre 10 y 1000 tienen sus dígitos en orden estrictamente creciente?

Problema 2. En la figura, es un cuadrado. El triángulo es equilátero y su área es . Determine el área del cuadrado.

screen.width*0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width*0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaño original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img166.echo.cx/img166/8422/icmatprueba4nivel2pregunta21zl.jpg');}" />

[SoLiD_UsHeR]

Los números que me piden los puedo escribir de la siguiente forma:


<100:

10a + a + 1 que es igual a 11a + 1

>100:

100a + 10a + 10 + a + 2 que es igual a 111a + 12


Y "a" solo puede tomar dígitos de 1 al 9, pero en el primero caso no puede ser el 9 ya que, con la ecuación tomaría el valor de 100, y en el segundo caso no podría ser 8 ni 9 ya que tomaría el valor de 900 y 1011 respectivamente.

Por lo tanto los valores que puede tomar a y así los números que puede formar son el total de 7 + 8, que son los dígitos posibles en cada caso.


Respuesta: hay 15 números que están escritos estrictamente en orden creciente entre el 10 y el 1000

[S. E. Puelma Moy...]

Por lo que veo, en tu solución asumiste que los dígitos debían estar en orden consecutivo, esa no es una restricción. El orden debe ser estrictamente creciente, por lo tanto números como 38 y 459 también son permitidos

[SoLiD_UsHeR]

Ya que los numeros estrictamente creciente, desde el 10 hasta el 100, en cada decena, eceptuando la decena del 9, ya que no hay numeros estricatamente puestos en orden creciente, van perdiendo 1, esta es la suma de

8 + 7 ...... + 1 = 36

Ya que en la decena del 10 hay 8 numeros, en la del 20 hay 7, en la del 30 hay 6 y asi suscesivamente.



Ahora desde el 100 hasta el 1000 pasa casi lo mismo, pero ahora en la centena del 8 ni la del 9 hay numeros escritos estrictamente en orden creciente, entonces:


100) 7 + 6 ... + 1 = 28
200) 6 + 5 ... + 1 = 21
300) 5 + 4 ... + 1 = 15
400) 4 + 3 ... + 1 = 10
500) 3 + 2 + 1 = 6
600) 2 + 1 = 3
700) 1 = 1

Ya que en la centena del 100, hay 7 numeros entre el 120 y el 130, hay 6 numeros entre el 130 y el 140 y asi suscesivamente para todas las centenas.

Entonces la suma final sería:

36 + 28 + 21 + 15 + 10 + 6 + 3 + 1 = 120


Por lo tanto hay 120 numeros escritos en forma estricatamete creciente desde el 10 hasta el 1000[size=18]

[S. E. Puelma Moy...]

Esta vez tu solución está muy buena , felicitaciones...

que les vaya muy bien a todos en las pruebas de hoy

Saludos para todos

[Gp20]

Solución 2:

Calculemos ="lado del triángulo equilátero". Esto lo lograremos porque sabemos el área del triángulo:






screen.width*0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width*0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaño original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img453.imageshack.us/img453/8425/11hq.jpg');}" />


El triángulo que está en la parte inferior izquierda de la figura es rectángulo isósceles, de base .
Por Teorema de Pitágoras encontramos la medida de los otros lados (medidas iguales).

Lo que sobra del lado izquierdo (la parte superior) es un cateto de otro triángulo rectángulo, cuyo otro cateto es y cuya hipotenusa es .

Nuevamente por Pitágoras tenemos:


Despejando se llega a:


Pero sabemos que :


Y como el área del cuadrado es , tenemos finalmente:





Resuelto por Guía Rojo

[caf_tito]

una consulta estaba haciendo el ejercicio y me quedó una duda... cuál es la razón para justificar que efectivamente el triangulito de la parte inferior izquierda es isósceles?

[「Krizalid」]

Determínalo solo

Nótese qué hay de productivo entre los y , no olvides que posees que el es equilátero y que es un cuadrado.

Saludos