Desigualdad de Holder Generalizacion de Cauchy-Shwarz

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Desigualdad de Holder Generalizacion de Cauchy-Shwarz

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Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 3 2006, 02:50 AM Publicado: #1
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Desigualdad de Holder Si $TEX: $x_1,x_2,...,x_n,y_1,y_2,...y_n$$ son reales cualesquiera y $TEX: $p,q>0$$ tales que: $TEX: $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$$ $TEX: $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\|x_ky_k\|\le\left(\sum_{k=1}^{n}\|x_k\|^p\right)^{\frac{1}{p}}\cdot\left(\sum_{k=1}^{n}\|y_k\|^q\right)^{\frac{1}{q}}$$ Notar que si $TEX: $p=q=2$$ obtenemos la desigualdad de Cauchy-Shwarz-Bunyakowsky -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Luffy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 2 2007, 09:31 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 556 Registrado: 16-August 06 Desde: Rio de Janeiro Miembro Nº: 1.950 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: {\bf Demostraci\'on}:$ $TEX: Aplicando la {\bf Desigualdad de Young} para cada $i\in\{1,2,...,n\}$:$ $TEX: $\left(\dfrac{\|x_i\|}{\left(\displaystyle\sum_{k=1}^n\|x_k\|^p\right)^{\frac{1}{p}}}\right)\left(\dfrac{\|y_i\|}{\left(\displaystyle\sum_{k=1}^n\|y_k\|^q\right)^{\frac{1}{q}}}\right)\le \dfrac{1}{p}\left(\dfrac{\|x_i\|}{\left(\displaystyle\sum_{k=1}^n\|x_k\|^p\right)^{\frac{1}{p}}}\right)^p+\dfrac{1}{q}\left(\dfrac{\|y_i\|}{\left(\displaystyle\sum_{k=1}^n\|y_k\|^q\right)^{\frac{1}{q}}}\right)^q$$ $TEX: $\dfrac{\|x_iy_i\|}{\left(\displaystyle\sum_{k=1}^n\|x_k\|^p\right)^{\frac{1}{p}}\left(\displaystyle\sum_{k=1}^n\|y_k\|^q\right)^{\frac{1}{q}}}\le \dfrac{1}{p}\left(\dfrac{\|x_i\|^p}{\left(\displaystyle\sum_{k=1}^n\|x_k\|^p\right)}\right)+\dfrac{1}{q}\left(\dfrac{\|y_i\|^q}{\left(\displaystyle\sum_{k=1}^n\|y_k\|^q\right)}\right)$$ $TEX: Entonces sumando las desigualdades obtenidas para cada $i\in\{1,2,...,n\}$:$ $TEX: $\dfrac{\displaystyle\sum_{k=1}^n\|x_ky_k\|}{\left(\displaystyle\sum_{k=1}^n\|x_k\|^p\right)^{\frac{1}{p}}\left(\displaystyle\sum_{k=1}^n\|y_k\|^q\right)^{\frac{1}{q}}}\le \dfrac{1}{p}\left(\dfrac{\displaystyle\sum_{k=1}^n\|x_k\|^p}{\displaystyle\sum_{k=1}^n\|x_k\|^p}\right)+\dfrac{1}{q}\left(\dfrac{\displaystyle\sum_{k=1}^n\|y_k\|^q}{\displaystyle\sum_{k=1}^n\|y_k\|^q}\right)$$ $TEX: $\dfrac{\displaystyle\sum_{k=1}^n\|x_ky_k\|}{\left(\displaystyle\sum_{k=1}^n\|x_k\|^p\right)^{\frac{1}{p}}\left(\displaystyle\sum_{k=1}^n\|y_k\|^q\right)^{\frac{1}{q}}}\le \dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}$$ $TEX: $\dfrac{\displaystyle\sum_{k=1}^n\|x_ky_k\|}{\left(\displaystyle\sum_{k=1}^n\|x_k\|^p\right)^{\frac{1}{p}}\left(\displaystyle\sum_{k=1}^n\|y_k\|^q\right)^{\frac{1}{q}}}\le 1$$ $TEX: $\boxed{\displaystyle\sum_{k=1}^n\|x_ky_k\|\le \left(\displaystyle\sum_{k=1}^n\|x_k\|^p\right)^{\frac{1}{p}}\left(\displaystyle\sum_{k=1}^n\|y_k\|^q\right)^{\frac{1}{q}}}$$ $TEX: Ocurriendo la igualdad cuando $\dfrac{\|x_1\|^p}{\|y_1\|^q}=\dfrac{\|x_2\|^p}{\|y_2\|^q}=...=\dfrac{\|x_n\|^p}{\|y_n\|^q}$$

Luffy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 3 2007, 10:34 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 556 Registrado: 16-August 06 Desde: Rio de Janeiro Miembro Nº: 1.950 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: {\bf Ejemplo 1}:$ $TEX: Sean $a,b,c,d> 0$ tales que $(a^2+b^2)^3=c^2+d^2$$ $TEX: Probar que:$ $TEX: $\displaystyle \frac{a^3}{c}+\frac{b^3}{d}\ge 1$$ $TEX: {\bf Soluci\'on}:$ $TEX: Aplicando la {\bf Desigualdad de Holder} para $x_1=\dfrac{a^2}{c^{\frac{2}{3}}}$ ; $x_2=\dfrac{b^2}{d^{\frac{2}{3}}}$ ; $y_1=c^{\frac{2}{3}}$ ; $y_2=d^{\frac{2}{3}}$ ; $p=\dfrac{3}{2} $ ; $q=3$:$ $TEX: $a^2+b^2\le \left( \left(\dfrac{a^2}{c^{\frac{2}{3}}}\right)^{\frac{3}{2}}+\left(\dfrac{b^2}{d^{\frac{2}{3}}}\right)^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{2}{3}}((c^{\frac{2}{3}})^3+(d^{\frac{2}{3}})^3)^{\frac{1}{3}}$$ $TEX: $a^2+b^2\le \left(\dfrac{a^3}{c}+\dfrac{b^3}{d}\right)^{\frac{2}{3}}(c^2+d^2)^{\frac{1}{3}}$$ $TEX: $(a^2+b^2)^3\le \left(\dfrac{a^3}{c}+\dfrac{b^3}{d}\right)^2(c^2+d^2)$$ $TEX: $\dfrac{(a^2+b^2)^3}{c^2+d^2}\le \left(\dfrac{a^3}{c}+\dfrac{b^3}{d}\right)^2$$ $TEX: $1\le \left(\dfrac{a^3}{c}+\dfrac{b^3}{d}\right)^2$$ $TEX: $\boxed{1\le \dfrac{a^3}{c}+\dfrac{b^3}{d}}$$ $TEX: Con la igualdad para $\dfrac{\left(\dfrac{b^2}{d^{\frac{2}{3}}}\right)^{\frac{3}{2}}}{(d^{\frac{2}{3}})^3}=\dfrac{\left(\dfrac{a^2}{c^{\frac{2}{3}}}\right)^{\frac{3}{2}}}{(c^{\frac{2}{3}})^3}$ $\iff$ $\dfrac{b}{d}=\dfrac{a}{c}$$

tebas Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 8 2008, 02:52 PM Publicado: #4
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 85 Registrado: 9-January 08 Desde: Guatemala Miembro Nº: 14.478 Sexo:	$TEX: Otra forma de probar algunos casos de Holder:$ $TEX: Sean $a,b,c,p,q,r,x,y,z$ reales positivos.$ $TEX: Probar que:$ $TEX: $(a^3+b^3+c^3)(p^3+q^3+r^3)(x^3+y^3+z^3)\ge (apx+bqy+crz)^3$$ $TEX: {\bf Soluci\'on}:$ Talvez se mira algo feo pero esta sencillo. Es solo AM.GM. $TEX: $\displaystyle 3=\sum{\frac{a^3}{a^3+b^3+c^3}}+\sum{\frac{p^3}{p^3+q^3+r^3}}+\sum{\frac{x^3}{x^3+y^3+z^3}}=$$ $TEX: $\displaystyle \frac{a^3}{a^3+b^3+c^3}+\frac{p^3}{p^3+q^3+r^3}+\frac{x^3}{x^3+y^3+z^3}+$$ $TEX: $\displaystyle \frac{b^3}{a^3+b^3+c^3}+\frac{q^3}{p^3+q^3+r^3}+\frac{y^3}{x^3+y^3+z^3}+$$ $TEX: $\displaystyle\frac{c^3}{a^3+b^3+c^3}+\frac{r^3}{p^3+q^3+r^3}+\frac{z^3}{x^3+y^3+z^3}\ge $$ $TEX: $\displaystyle \frac{3apx}{\sqrt[3]{(a^3+b^3+c^3)(p^3+q^3+r^3)(x^3+y^3+z^3)}}+$$ $TEX: $\displaystyle\frac{3bqy}{\sqrt[3]{(a^3+b^3+c^3)(p^3+q^3+r^3)(x^3+y^3+z^3)}}+$$ $TEX: $\displaystyle\frac{3crz}{\sqrt[3]{(a^3+b^3+c^3)(p^3+q^3+r^3)(x^3+y^3+z^3)}}=$$ $TEX: $\displaystyle\frac{3(apx+bqy+crz)}{\sqrt[3]{(a^3+b^3+c^3)(p^3+q^3+r^3)(x^3+y^3+z^3)}}$$ De donde se deduce el resultado. Demostraciones similares se pueden hacer para varias series de números (en este caso eran 3) y para cualquier los cuando los exponentes son racionales positivos y el minimo de sus denominadores es el mismo nunero que el numero de series. Mensaje modificado por tebas el May 8 2008, 02:54 PM

pprimo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 3 2014, 05:26 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 817 Registrado: 21-February 14 Miembro Nº: 127.064	Yo la conocia de la forma $TEX: $$\prod\limits_{j=1}^{n}{\left( \sum\limits_{i=1}^{m}{x_{ij}} \right)^{\omega _{j}}}\ge \sum\limits_{i=1}^{m}{\prod\limits_{j=1}^{n}{x_{ij}^{\omega _{j}}}}$$$ donde $TEX: $$x_{ij}\left( i=1,...,m,j=1,...,n \right)$$$ y $TEX: $$\omega _{1},\omega _{2},...,\omega _{n}$$$ son numeros reales positivos que a su vez deben cumplir $TEX: $$\omega _{1}+\omega _{2}+...+\omega _{n}=1$$$

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