Segundo Nivel Individual Opciones

[Rurouni Kenshin]

Problema 1.



Problema 2.

[Corecrasher]

Demostrar que el diametro de la circunferencia inscrita en un triangulo rectangulo es igual a la diferencia entre la suma de los catetos y la hipotenusa

SOLU:



Sea ABC un triangulo recto en A , se traza la circunferencia inscrita y luego desde el centro (G) los radios tangentes a los lados de el triangulo que caen en D , E y F respectivamente , notamos que DG=GE=r , démonos cuenta que en el cuadrilátero ADGE hay 3 ángulos de 90 grados , por tanto el Angulo DGE = 90 ; fijémonos de igual modo que hay 2 lados consecutivos iguales (DG y GE) por tanto ADGE es un cuadrado.
Sea BF = p y CF = q , también sabemos que BD = BF , ya que si trazamos el segmento BG nos quedaran dos triángulos congruentes por criterio LLA (estos triángulos serian el BDG y el BFG ; análogamente lo mismo con CFGE , CF = CE.

(p+r) + (q+r) -(p+q)= p+r+q+r-p-q=2r

Por lo tanto queda demostrado que la diferencia entre la suma de los dos catetos ( p+r y q+r) y la hipotenusa (p+q) es igual a el diámetro de la circunferencia circunscrita (2r)

[Corecrasher]

2)Determine si la ecuacion siguiente tiene alguna solucion entera

x^5 + 2004x^3 + x + 1 = 0

SOLU:

Sea x par , por tanto x^5 par , 2004x^3 par y x par , x^2+2004x^3+x es par , al sumarle uno la expresion es impar, conclusion : x par no puede satisfacer la ecuacion pues el lado izquierdo de esta seria impar, y el lado derecho seria par( 0 es par).

Sea x impar , x^5 impar , 2004x^3 par y x impar , x^5+x es par , por lo tanto x^2+2004x^3+x es par y mas 1 quedaria impar.Analogamente a lo anterior tampoco satisface la ecuacion un x impar.

Conclusion final: No hay solucion entera para la ecuacion dada.