Una Desafiante Desigualdad

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Una Desafiante Desigualdad, IMO 2005 Resuelto por Kenshin y Cesarator [avanzado]

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Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 2 2006, 05:13 AM Publicado: #1
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Problemita Sean $TEX: $x,y,z$$ reales positivos tales que $TEX: $xyz\ge1$$ Pruebe que: $TEX: $\displaystyle \frac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2}+\frac{y^5-y^2}{y^5+z^2+x^2}+\frac{z^5-z^2}{z^5+x^2+y^2}\ge0$$ Editado -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Icaro Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 2 2006, 04:58 PM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 361 Registrado: 24-September 05 Desde: beaucheff #850 Stgo Miembro Nº: 324 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Kenshin @ Jan 2 2006, 06:13 AM) Problemita Sean $TEX: $x,y,z$$ reales positivos tales que $TEX: $xyz\ge1$$ Pruebe que: $TEX: $\displaystyle \frac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2}+\frac{y^5-y^2}{y^5+x^2+y^2}+\frac{z^5-z^2}{z^5+x^2+y^2}\ge0$$ siguiendo la dinamica de las otras fracciones el denominador de la segunda no deberia ser y^5 + x^2 + z^2???? -------------------- Súmese a la campaña de conciencia energética Ahorre agua, tome chela $TEX: Save the Beerdrinker, Save the World$ $TEX: La velocidad de los profes en esta carrera se mide en Felmer, y Davila se mueve a 0.9 Felmer ...$

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 2 2006, 05:05 PM Publicado: #3
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Se agradece la observacion....como trasnoche entonces el sueño ya me vencia... Saludos -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Cesarator	Jan 22 2006, 06:27 PM Publicado: #4
Invitado	Hace mucho tiempo que no resuelvo un problemilla. Hace bien calentar músculos de vez en cuando Un primer paso es transformar un poco la expresión. Por ejemplo, para la primera fracción se tiene $TEX: <br />$$<br />\frac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2} = \frac{x^5 +y^2+z^2 - (x^2+y^2+z^2)}{x^5 + y^2+z^2}<br />$$<br />$$<br />= 1 - \frac{x^2+y^2+z^2}{x^5+y^2+z^2}.<br />$$<br />$ Haciendo el mismo truco en las tres fracciones `Nikita Nipone aditivo', llegamos a la siguiente forma equivalente de la desigualdad: $TEX: <br />$$<br />\frac{1}{x^5+y^2+z^2} + \frac{1}{y^5+x^2+z^2} + \frac{1}{z^5+x^2+y^2}<br />\le \frac{3}{x^2+y^2+z^2}.<br />$$<br />$ Ahora, notar que $TEX: <br />$$<br /> \frac{\frac{x^2+y^2}{2} + x^2 +y^2}{x^2+y^2+z^2}<br />+ \frac{\frac{x^2+z^2}{2} + x^2 +z^2}{x^2+y^2+z^2}<br />+ \frac{\frac{y^2+z^2}{2} + y^2 +z^2}{x^2+y^2+z^2}<br />$$<br />$$<br />=3<br />$$<br />$ y luego $TEX: <br />$$<br /> \frac{\frac{x^2+y^2}{2} + x^2 +y^2}{(x^2+y^2+z^2)^2}<br />+ \frac{\frac{x^2+z^2}{2} + x^2 +z^2}{(x^2+y^2+z^2)^2}<br />+ \frac{\frac{y^2+z^2}{2} + y^2 +z^2}{(x^2+y^2+z^2)^2}<br />$$<br />$$<br />= \frac{3}{x^2+y^2+z^2}.<br />$$<br />$ La clave viene ahora. Aplicando la desigualdad de Cauchy Swarz: $TEX: <br />$$<br />(x^2+y^2+z^2)^2 \le \left( x^2 \cdot x^3 + y^2 + z^2 \right) \left( x^2 \cdot \frac{1}{x^3} + y^2 + z^2 \right)<br />$$<br />$$<br />\le \left(x^5 + y^2 + z^2\right) \left(yz + y^2 + z^2\right)<br />$$<br />$$<br />\le \left(x^5 + y^2 + z^2\right) \left(\frac{y^2+z^2}{2} + y^2 + z^2\right)<br />$$<br />$ donde en la segunda desigualdad se usa la condicion $TEX: $xyz\ge 1$$ . De todo esto la conclusion es inmediata, y la dejo al "atento lector". Mensaje modificado por Kenshin el Jan 27 2006, 08:48 PM

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 22 2006, 07:48 PM Publicado: #5
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Excelente solucion...simplemente brillante... Solo hago notar dos detallitos chicos: 1) $TEX: $\left(x^5 + y^2 + z^2\right) \left(yz + y^2 + z^2\right)$$ $TEX: $\le \left(x^5 + y^2 + z^2\right) \left(\frac{x^2+y^2}{2} + y^2 + z^2\right)$$ Aca detalle de tipeo.... 2)La condicion es $TEX: $xyz\ge 1$$ . Pero la solucion sigue funcionando bien... Asi que simplemente la solucion sigue siendo brillante... Saludos -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 22 2006, 08:29 PM Publicado: #6
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Mi Solucion: Llamemos: $TEX: $\mathcal{A}=x^3(x^2+y^2+z^2)-(x^5+y^2+z^2)=(y^2+z^2)(x^3-1)$$ $TEX: $\displaystyle\mathcal{B}=x^2-\frac{1}{x}=\frac{1}{x}(x^3-1)$$ Luego: $TEX: $\displaystyle\mathcal{AB}=\frac{(y^2+z^2)(x^3-1)^2}{x}\ge 0$$ [1] Por otro lado: $TEX: $\displaystyle\mathcal{AB}=(x^3(x^2+y^2+z^2)-(x^5+y^2+z^2))\left(x^2-\frac{1}{x}\right)$$ $TEX: $\displaystyle =(x^5-x^2)(x^2+y^2+z^2)-\left(x^2-\frac{1}{x}\right)(x^5+y^2+z^2)$$ [2] De [1] y [2] podemos concluir que: $TEX: $\displaystyle \frac {x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2} \geq \frac {x^2- \frac{1}{x}}{x^2+y^2+z^2} \geq \frac {x^2-yz}{x^2+y^2+z^2}$$ donde la ultima desigualdad de deduce de que $TEX: $xyz\ge 1$$ . Aplicando la misma desigualdad para las otros terminos y sumando se obtiene lo pedido pues $TEX: $x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx$$ Saludos -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

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