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Certamen 2, Segundo Semestre 2007

FelipeK Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 25 2007, 10:54 PM Publicado: #1
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 107 Registrado: 22-August 07 Desde: Valparaiso-Castro Miembro Nº: 9.196 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: <br /><br />\begin{center} SEGUNDO CERTAMEN MAT-022, 23 Octubre 2007 \end{center}<br />\begin{center} (tiempo: 120 minutos) \end{center} <br /><br />P1.- <br /><br />(i) Sean $\vec x = (2,2,1),\ \vec y =(-2,1,2), \ \vec z = (1,-2,2)$ tres vectores en $R^3$, ¿Forman $\vec x, \vec y , \vec z$ un conjunto de vectores ortogonales? \ \ \ \ (10 puntos) <br /><br />(ii) Demuestre que no existen puntos $P(x,y,z)$ que satisfagan la ecuacion del plano \\<br />$\pi : 2x - 3y + z - 2 = 0$ y que esten sobre la recta \\<br />$L: (x,y,z) = (2, -2, -1) + t(1, 1, 1).$ \ \ \ \ (10 puntos) <br /><br />(iii) Determine el valor de $b \in R^{+}$ de modo que los vectores <br /><br />$\vec v = \vec i - \vec j + 2\vec k , \ \vec w = 3\vec i + \vec j$ y $\vec u = b^2\vec i + 2\vec k$ esten sobre un mismo plano, es decir que sean coplanares. \ \ \ \ \ \ (10 puntos) <br /><br />(iv) Hallar la ecuacion parametrica de la recta $L$ que pasa por los puntos $P(2, 0, -2)$, sea perpendicular a la recta $\displaystyle L^{'} : \frac {x-2}{4} = \frac {y-1}{3} = \frac {z-1}{2}$ y sea paralela al plano $\pi: x + y - z = 0$ \ \ \ \ (10 puntos) \\<br /><br />P2.- <br /><br />(i) Determine las antiderivadas de las siguientes funciones: \\<br />i.- $y = b^{x} , \ b > 1$ \\<br />ii.- $y = log_b x , \ b > 1 $ \ \ \ \ \ (10 puntos)<br /><br />(ii) Si $\displaystyle f(x) = \frac {x^{b}}{b^{x}}, \ b> 1, \ x \in [0, + \infty[$ demuestre que \\<br />$\displaystyle f^{'} \ ( \frac {b}{ln b} \ ) = 0$ \ \ \ \ (10 puntos)<br /><br />(iii) Dibuje la grafica de $g{'} (x)$ si \\<br />$\displaystyle g(x) = x log_b x - \frac {x}{ln b}, \ \ 0 < b< 1, \ \ x \in \ ]0, + \infty[.$ \ \ \ \ (10 puntos) \\<br /><br />P3.- La region limitada por las graficas de \\<br />$y= \sqrt{x}$ y $y= \frac{1}{2} x$, por debajo de la recta $y=1$, se gira alrededor del eje y. Obtenga el volumen del solido de revolucion engendrado por esta rotacion. (20 puntos) \\<br /><br />P4.- Utilize la sustitucion $u = x- \pi$ y las propiedades de simetria para demostrar que \\<br />$\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} \frac {x \|sin x\|}{1 + cos^2 x} dx = \pi^2.$ \ \ \ \ (10 puntos)<br /><br /><br />$ Mensaje modificado por FelipeK el Jan 11 2008, 01:24 AM --------------------

trunkz Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 26 2007, 10:15 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 562 Registrado: 26-February 06 Desde: Valparaíso, Chile Miembro Nº: 586 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: 2. Determine las antiderivadas de las siguientes funciones$ $TEX: i.- $y= b^{x}$$ $TEX: Entonces, sea $b^x = e^{ln b^x}$$ $TEX: Haciendo el cambio de variable $u = ln b^x$$ $TEX: Derivando, obtenemos $\displaystyle \frac{du}{lnb} = dx$$ $TEX: Asi, tendremos $\displaystyle \int \frac{e^u}{lnb}du$$ $TEX: Luego, la antiderivada es $\displaystyle \frac{e^u}{lnb} + C$$ $TEX: Pero, $u=lnb^x$$ $TEX: Finalmente, la antiderivada es $\displaystyle \frac{b^x}{lnb} + C$$ Mensaje modificado por trunkz el Oct 26 2007, 10:45 PM -------------------- "Lo importante es no dejar de hacerse preguntas"

FelipeK Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 26 2007, 11:49 PM Publicado: #3
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 107 Registrado: 22-August 07 Desde: Valparaiso-Castro Miembro Nº: 9.196 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: <br /><br />P1.-<br /><br />(i)<br />$\vec x, \vec y, \vec z$ forman un conjunto de vectores orgotonales <br /><br />$\Leftrightarrow \vec x \cdot \vec y = 0 \wedge \vec x \cdot \vec z = 0 \wedge \vec y \cdot \vec z = 0$ \\<br /><br />Solo basta comprobar esta condicion: \\<br />$\vec x \cdot \vec y = -4 + 2 + 2 = 0$ \\<br />$\vec x \cdot \vec z = 2 - 4 + 2 = 0$ \\<br />$\vec y \cdot \vec z = -2 -2 + 4 = 0$ \\<br /><br />Por lo tanto $\vec x, \vec y, \vec z$ efectivamente, forman un conjunto de verctores orgotonales<br /><br /><br /><br /><br /> <br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />$ Mensaje modificado por FelipeK el Oct 27 2007, 02:26 AM --------------------

FelipeK Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 27 2007, 12:04 AM Publicado: #4
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 107 Registrado: 22-August 07 Desde: Valparaiso-Castro Miembro Nº: 9.196 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: <br /><br />P1.-<br /><br />(ii) Supongamos que existen puntos $P(x,y,z)$ que satisfagan la ecuacion del plano $\pi : 2x -3y + z -2 = 0$ y esten sobre la recta $L: (x,y,z) = (2, -2, -1) + t(1,1,1)$. Para demostrar que no existen puntos que satisfagan dicha condicion, tendremos que llegar a una contradiccion. \\<br /><br />Intersectamos el plano $\pi$ con la recta $L$: \\ \\<br />$\displaystyle 2(2+t) - 3(-2+t) + (-1+t) -2 = 0$ \\<br />$\displaystyle 4 +2t +6 - 3t -1 + t - 2 = 0$ \\<br />$\displaystyle 7 = 0$ \ \ \ (contradiccion) \\<br /><br />Por lo tanto, no existen puntos $P(x,y,z)$ que satisfagan la ecuacion del plano $\pi : 2x -3y + z -2 = 0$ y esten sobre la recta $L: (x,y,z) = (2, -2, -1) + t(1,1,1)$, completando la demostracion pedida en el enunciado.<br /> <br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />$ --------------------

trunkz Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 27 2007, 10:37 AM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 562 Registrado: 26-February 06 Desde: Valparaíso, Chile Miembro Nº: 586 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(FelipeK @ Oct 27 2007, 03:04 AM) $TEX: <br /><br />P1.-<br /><br />(ii) Supongamos que existen puntos $P(x,y,z)$ que satisfagan la ecuacion del plano $\pi : 2x -3y + z -2 = 0$ y esten sobre la recta $L: (x,y,z) = (2, -2, -1) + t(1,1,1)$. Para demostrar que no existen puntos que satisfagan dicha condicion, tendremos que llegar a una contradiccion. \\<br /><br />Intersectamos el plano $\pi$ con la recta $L$: \\ \\<br />$\displaystyle 2(2+t) - 3(-2+t) + (-1+t) -2 = 0$ \\<br />$\displaystyle 4 +2t +6 - 3t -1 + t - 2 = 0$ \\<br />$\displaystyle 7 = 0$ \ \ \ (contradiccion) \\<br /><br />Por lo tanto, no existen puntos $P(x,y,z)$ que satisfagan la ecuacion del plano $\pi : 2x -3y + z -2 = 0$ y esten sobre la recta $L: (x,y,z) = (2, -2, -1) + t(1,1,1)$, completando la demostracion pedida en el enunciado.<br /> <br />$ De esa manera, sólo estás comprobando, hay que demostrar que no se intersectan -------------------- "Lo importante es no dejar de hacerse preguntas"

trunkz Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 27 2007, 11:02 AM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 562 Registrado: 26-February 06 Desde: Valparaíso, Chile Miembro Nº: 586 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: P1$ $TEX: ii) Demostrar que no existen puntos $P:(x,y,z)$ que satisfagan la ecuacion del plano$ $TEX: $\pi:2x-3y+z-2=0$$ $TEX: $L:(x,y,z) = (2,-2,-1) + t(1,1,1)$$ $TEX: Si $\pi$ no intersecta a $L$, el plano sería paralelo a la recta $\Rightarrow \vec N \cdot \vec q = 0$$ $TEX: Donde $\vec N =$ vector normal del plano y $\vec q =$ vector director de la recta$ $TEX: Sea $\vec N = (2,-3,1)$ (coeficientes del plano) y $\vec q = (1,1,1)$$ $TEX: Entonces $\vec N \cdot \vec q = (2,-3,1)(1,1,1) = 2-3+1 =0$$ $TEX: De esta manera, ningun punto de $\pi$ puede pertenecer a la recta $L$$ Mensaje modificado por trunkz* el Oct 27 2007, 11:08 AM -------------------- "Lo importante es no dejar de hacerse preguntas"

FelipeK Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 27 2007, 12:03 PM Publicado: #7
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 107 Registrado: 22-August 07 Desde: Valparaiso-Castro Miembro Nº: 9.196 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Lo que yo hize fue una demostracion por contradiccion. No una comprobación. Supuse que existian puntos que cumplian la condicion, y al hacerlo llegué a una contradiccion,con lo que estoy demostrando que no existen puntos que cumplan dicha condición. :leer: --------------------

charly1234 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 28 2007, 01:27 PM Publicado: #8
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 335 Registrado: 3-December 06 Desde: Viña del mar Miembro Nº: 3.111 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> P1 \hfill \\<br /> {\text{(iii)Determine el valor de b}} \in {\text{R}}^{\text{ + }} {\text{ de modo que los vectores}} \hfill \\<br /> \mathop v\limits^ \to = i - j + 2k,{\text{ }}\mathop w\limits^ \to = 3i + j,{\text{ }}\mathop {\text{y}}\limits^ \to = b^2 i + 2k{\text{ esten}} \hfill \\<br /> {\text{sobre un mismo plano}}{\text{, es decir sean coplanares}} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />$ $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> {\text{Para que esten en un mismo plano}}{\text{, }}\mathop v\limits^ \to \times \mathop w\limits^ \to {\text{ debe ser perpendicular a }}\mathop {\text{y}}\limits^ \to \hfill \\<br /> {\text{Luego }}\mathop v\limits^ \to \times \mathop w\limits^ \to = \left\| {\begin{array}{*{20}c}<br /> i & j & k \\<br /> 1 & { - 1} & 2 \\<br /> 3 & 1 & 0 \\<br /><br /> \end{array} } \right\| \Rightarrow i = - 2,j = 6,k = 4 \hfill \\<br /> \mathop {(v}\limits^ \to \times \mathop w\limits^ \to ) \bullet \mathop {\text{y}}\limits^ \to = 0 \hfill \\<br /> {\text{ - 2b}}^{\text{2}} + 6 \cdot 0 + 4 \cdot 2 = 0 \hfill \\<br /> b = \pm 2,{\text{ Pero como se pide un b }} \in {\text{R}}^{\text{ + }} ,b = 2 \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />$ --------------------

Niyck Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 28 2007, 04:49 PM Publicado: #9
Coordinador Team PreuVirtual Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.447 Registrado: 2-February 06 Desde: Valparaiso Miembro Nº: 531 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	El 4 $TEX: \noindent Sea $u=x-\pi$ \\<br />$\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} \dfrac{(u+\pi)\|Sen(u+\pi)\|}{1+cos^2(u+\pi)}du $ \\<br />\\<br />$=\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} \dfrac{(u+\pi)\|-Sen(u)\|}{1+cos^2(u)}du $ \\<br />\\<br />$=\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} \dfrac{(u+\pi)\|Sen(u)\|}{1+cos^2(u)}du $ \\<br />\\<br />$=\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} \dfrac{(u)\|Sen(u)\|}{1+cos^2(u)}du + \pi \int_{-\pi}^{\pi}\dfrac{\|Sen(u)\|}{1+cos^2(u)}du $ \\<br />\\<br />La primera integral es 0, ya que la funcion es impar. \\<br />$=\displaystyle 2\pi \int_{0}^{\pi} \dfrac{\|Sen(u)\|}{1+cos^2(u)}du $ \\<br />\\<br />$=\displaystyle 2\pi \int_{0}^{\pi} \dfrac{Sen(u)}{1+cos^2(u)}du $ \\<br />\\<br />Sea $z=cos(u) \Rightarrow dz=-sen(u)du$ \\ \\<br />$=\displaystyle -2\pi \int_{1}^{-1} \dfrac{1}{1+z^2}dz $ \\<br />\\<br />$=\displaystyle 4\pi \int_{0}^{1} \dfrac{1}{1+z^2}dz $ \\<br />\\<br />$=\ 4\pi ( arctg(1) - arctg(0) ) = \pi ^2 $ \\<br />$ Al final me andube saltando algunos pasos, es facil notar que la funcion es par y por eso la calculo de 0 a 1 (tambien di vuelta los limites por ahi) -------------------- Obten $50+100 dolares para aprender a jugar poker, sin hacer NINGUN deposito, cualquier duda por MP.

trunkz Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 28 2007, 06:32 PM Publicado: #10
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 562 Registrado: 26-February 06 Desde: Valparaíso, Chile Miembro Nº: 586 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Creo que estaba bien la demostración por contradiccion xD Sorry por el comentario -------------------- "Lo importante es no dejar de hacerse preguntas"

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