Capitulo V - Foro fmat.cl

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Capitulo V, Desigualdad de Jensen

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 1 2006, 11:57 PM Publicado: #1
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Antes de iniciar este Capitulo debo confesar que esta es una de las Desigualdades que mas me gusta...y a la cual le he dado mucha utilidad en variadas Olimpiadas. Por fin aprenderemos algo realmente lindo....jejejejejeje(y de paso nos toparemos con calculo) Consideremos $TEX: $D=\Re$$ o bien $TEX: D=$ Intervalo en $TEX: $\Re$$ (en el futuro diremos que D es un conjunto convexo) Una funcion $TEX: $f:D\to\Re$$ se dira Convexa si: $TEX: $\left(\forall x,y\in D\right)\left(\forall \lambda\in[0,1]\right) f((1-\lambda)x+\lambda y)\le (1-\lambda) f(x)+\lambda f(y)$$ Graficamente esto significa que en cada intervalo $TEX: [x,y]$ , la grafica de $TEX: $f$$ queda por debajo del segmento que une $TEX: $(x,f(x))$$ con $TEX: $(y,f(y))$$ Esto lo podemos visualizar en el siguiente "Grafico Ilustrativo" screen.width0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaÃ±o original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img313.imageshack.us/img313/9934/convexa2zm.png');}" /> De la misma forma $TEX: $f:D\to\Re$$ se dira Concava si: $TEX: $\left(\forall x,y\in D\right)\left(\forall \lambda\in[0,1]\right) f((1-\lambda)x+\lambda y)\ge (1-\lambda) f(x)+\lambda f(y)$$ -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 2 2006, 12:48 AM Publicado: #2
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Algunos ejemplos de Funciones Convexas importantes: $TEX: $f(x)=x^n$$ con $TEX: $n\in\aleph$$ y $TEX: $x\in\Re$$ $TEX: $f(x)=e^{kx}$$ con $TEX: $k\in\Re$$ $TEX: $f(x)=x^a$$ con $TEX: $a>1$$ y $TEX: $x\in\Re_+$$ $TEX: $f(x)=log_a(x)$$ con $TEX: $a\in(0,1)$$ y $TEX: $x\in\Re_+$$ $TEX: $f(x)=tan(x)$$ para $TEX: $x\in[0,\frac{\pi}{2})$$ Algunos ejemplos de Funciones Concavas importantes: $TEX: $f(x)=x^a$$ para $TEX: $a\in(0.1)$$ y $TEX: $x\in\Re_+$$ $TEX: $f(x)=sen(x)$$ para $TEX: $x\in[0,\pi]$$ (Una de mis favoritas,y que no se malentienda ) $TEX: $f(x)=log_a(x)$$ para $TEX: $a>1$$ y $TEX: $x\in\Re_+$$ $TEX: $f(x)=arctan(x)$$ para $TEX: $x\in\Re_+$$ -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 2 2006, 01:11 AM Publicado: #3
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Para aquellos que se manejen un poco en Calculo Diferencial, si $TEX: $f$$ resulta ser derivable entonces sera convexa si $TEX: $f^{\prime}$$ es creciente en $TEX: $D$$ . Si $TEX: $f$$ es dos veces derivable basta verificar que $TEX: $f^{\prime\prime}(x)\ge0$$ para $TEX: $x\in$$D$$ Nota:Esto no quiere decir que todas las funciones convexas(o concavas) tienen que ser derivables...solo indico que si lo fueran,seria "mas facil"(dependiendo el caso) saber si son o no convexas(o concavas). Como ultimo comentario,se tiene la siguiente equivalencia: $TEX: $f$$ es concava $TEX: $\Leftrightarrow$$ $TEX: $-f$$ es convexa (esto ultimo independiente de que $TEX: $f$$ sea o no sea derivable) Finalmente el Gran Momento $TEX: \[ \boxed{Desigualdad\ de\ Jensen}\]$ Sea $TEX: $f$$ una funcion convexa en $TEX: $D$$ , $TEX: $x_1,x_2,...,x_n\in$$D$$ y $TEX: $\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$$ reales positivos tales que: $TEX: $\lambda_1+\lambda_2+...+\lambda_n=1$$ Bajo estas condiciones se cumple que: $TEX: $f(\lambda_1 x_1+\lambda_2 x_2+...+\lambda_n x_n)\le \lambda_1f(x_1)+\lambda_2f(x_2)+...+\lambda_nf(x_n)$$ Demostracion: Nuestra demostracion la haremos por Induccion sobre $TEX: $n$$ $TEX: \[\boxed{Si\ n=2}\]$ Eso es simplemente la desigualdad de la Convexidad, y por ende se cumple( $TEX: $f$$ es convexa) $TEX: \[\boxed{H.I.}\]$ Supongamos que para cierto $TEX: $n$$ es cierta la propiedad, o sea que: Si $TEX: $x_1,x_2,...,x_n\in$$D$$ y $TEX: $\lambda_1+\lambda_2+...+\lambda_n=1$$ ( $TEX: $\lambda_i>0$$ ) entonces: $TEX: $f(\lambda_1 x_1+\lambda_2 x_2+...+\lambda_n x_n)\le \lambda_1f(x_1)+\lambda_2f(x_2)+...+\lambda_nf(x_n)$$ $TEX: \[\boxed{P.d.q.}\]$ La propiedad es valida tambien para $TEX: $n+1$$ Esto es: Si $TEX: $x_1,x_2,...,x_n,x_{n+1}\in$$D$$ y $TEX: $\lambda_1+\lambda_2+...+\lambda_n+\lambda_{n+1}=1$$ ( $TEX: $\lambda_i>0$$ ) entonces: $TEX: $f(\lambda_1 x_1+\lambda_2 x_2+...+\lambda_{n+1} x_{n+1})\le \lambda_1f(x_1)+\lambda_2f(x_2)+...+\lambda_{n+1}f(x_{n+1})$$ Ahora viene la parte interesante,o sea la demostracion en si: Caso 1 Si $TEX: $\lambda_{n+1}=1$$ entonces $TEX: $\lambda_1=\lambda_2=...=\lambda_n=0$$ y la desigualdad se transforma en una igualdad. Caso 2 Entonces veamos que sucede si $TEX: $\lambda_{n+1}\not=1$$ Definamos $TEX: $\displaystyle \alpha_i=\frac{\lambda_i}{1-\lambda_{n+1}}$$ para $TEX: $i\in\{ 1,2,...,n\} $$ Notemos que $TEX: $\displaystyle \alpha_1+\alpha_2+...+\alpha_n=\frac{\lambda_1+\lambda_2+...+\lambda_n}{1-\lambda_{n+1}}=\frac{1-\lambda_{n+1}}{\lambda_{n+1}}=1$$ Notemos que: $TEX: $f(\lambda_1 x_1+\lambda_2 x_2+...+\lambda_n x_n+\lambda_{n+1} x_{n+1})$$ $TEX: $\displaystyle =f\left((1-\lambda_{n+1})\left(\frac{\lambda_1}{1-\lambda_{n+1}}x_1+\frac{\lambda_2}{1-\lambda_{n+1}}x_2+...+\frac{\lambda_n}{1-\lambda_{n+1}}x_n\right)+\lambda_{n+1} x_{n+1}\right)$$ $TEX: $\displaystyle =f((1-\lambda_{n+1})(\alpha_1 x_1+\alpha_2 x_2+...+\alpha_n x_n)+\lambda_{n+1} x_{n+1})$$ $TEX: $\displaystyle \le(1-\lambda_{n+1})f(\alpha_1 x_1+\alpha_2 x_2+...+\alpha_n x_n)+\lambda_{n+1}f(x_{n+1})$$ $TEX: $\displaystyle \le(1-\lambda_{n+1})(\alpha_1 f(x_1)+\alpha_2 f(x_2)+...+\alpha_n f(x_n))+\lambda_{n+1}f(x_{n+1})$$ $TEX: $\displaystyle=((1-\lambda_{n+1})\alpha_1f(x_1)+...+(1-\lambda_{n+1})\alpha_nf(x_n))+\lambda_{n+1}f(x_{n+1})$$ $TEX: $\displaystyle =\lambda_1 f(x_1)+\lambda_2 f(x_2)+...+\lambda_n f(x_n)+\lambda_{n+1}f(x_{n+1})$$ $TEX: $PD_1$$ : El primer $TEX: $\le$$ fue porque $TEX: $f$$ es convexa Esto tomando: $TEX: $x=\alpha_1 x_1+\alpha_2 x_2+...+\alpha_n x_n\in$$D$$ pues $TEX: $\alpha_1+\alpha_2+...+\alpha_n=1$$ $TEX: $y=x_{n+1}$$ $TEX: $PD_2$$ : El segundo $TEX: $\le$$ por la $TEX: $H.I.$$ y porque $TEX: $(1-\lambda_{n+1})>0$$ $TEX: $PD_3$$ : En el caso que la funcion $TEX: $f$$ fuese concava la demostracion es identica,y el teorema solo cambia en el sentido de la desigualdad(cambia de $TEX: $\le\ $$ a $TEX: $\ \ge$$ ) -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 2 2006, 02:43 AM Publicado: #4
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Ejemplo 1: Probar que $TEX: $C\ge$$A$$ (esto ya lo probamos antes usando Cauchy-Shwarz-Bunyakowsky) Solucion: Consideremos $TEX: $f(x)=x^2$$ una funcion convexa, y $TEX: $\displaystyle \lambda_1=\lambda_2=...=\lambda_n=\frac{1}{n}$$ Luego aplicando la Desigualdad de Jensen tendremos que: $TEX: $\displaystyle \left(\frac{1}{n}x_1+\frac{1}{n}x_2+...+\frac{1}{n}x_n\right)^2\le \frac{1}{n}x_1^2+\frac{1}{n}x_2^2+...+\frac{1}{n}x_n^2$$ $TEX: $\displaystyle \left(\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}\right)^2\le\frac{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2}{n}$$ Considerando el hecho que $TEX: $x_1,x_2,...,x_n\ge0$$ , al aplicar raiz cuadrada a ambos lados tendremos: $TEX: $\displaystyle \frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}\le\sqrt{\frac{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2}{n}}$$ -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 2 2006, 02:54 AM Publicado: #5
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Ejemplo 2: Probar que $TEX: $A\ge$$G$$ (demostrado anteriormente en el Capitulo II) Solucion: Consideremos $TEX: $f(x)=log(x)$$ (una funcion concava para $TEX: $x>0$$ ) y $TEX: $\displaystyle \lambda_1=\lambda_2=...=\lambda_n=\frac{1}{n}$$ Consideremos tambien $TEX: $x_1,....,x_n>0$$ Entonces: $TEX: $log\left(\frac{1}{n}x_1+\frac{1}{n}x_2+...+\frac{1}{n}x_n\right)\ge \frac{1}{n}log(x_1)+\frac{1}{n}log(x_2)+...+\frac{1}{n}log(x_n)$$ O sea: $TEX: $\displaystyle log\left(\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}\right)\ge log(\sqrt[n]{x_1x_2...x_n})$$ y considerando el hecho de que $TEX: $log(\cdot)$$ es una funcion estrictamente creciente tendremos que: $TEX: $\displaystyle \frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}\ge\sqrt[n]{x_1x_2...x_n}$$ El caso en que algun $TEX: $x_i=0$$ es elemental pues en ese caso $TEX: $G=0$$ y $TEX: $A\ge0$$ -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 2 2006, 03:14 AM Publicado: #6
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Ejemplo 3: Si $TEX: $a,b\ge0$$ y $TEX: $p,q>1$$ son exponentes conjugados, o sea: $TEX: $\displaystyle \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$$ Entonces: $TEX: $\displaystyle ab\le\frac{1}{p}a^p+\frac{1}{q}b^q$$ Solucion: Consideremos $TEX: $f(x)=log(x)$$ (una funcion concava para $TEX: $x>0$$ ) $TEX: $\displaystyle \lambda_1=\frac{1}{p}$$ , $TEX: $\displaystyle \lambda_2=\frac{1}{q}$$ (notar que $TEX: $\lambda_1+\lambda_2=1$$ por enunciado) y $TEX: $x_1=a^p>0$$ y $TEX: $x_2=b^q>0$$ Los casos $TEX: $a=0$$ o $TEX: $b=0$$ son directos. Aplicando la Desigualdad de Jensen tendremos: $TEX: $\displaystyle log\left(\frac{1}{p}a^p+\frac{1}{q}b^q\right)\ge\frac{1}{p}log(a^p)+\frac{1}{q}log(b^q)=log(a)+log(b)=log(ab)$$ Considerando el hecho de que $TEX: $log(\cdot)$$ es una funcion estrictamente creciente tendremos que: $TEX: $\displaystyle \frac{1}{p}a^p+\frac{1}{q}b^q\ge$$ab$$ -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 2 2006, 03:35 AM Publicado: #7
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Ejemplo 4: Se define las Medias "Pesadas" de la siguiente manera: Sean $TEX: $a_1,a_2,...,a_n\ge0$$ reales tales que: $TEX: $a_1+a_2+...+a_n=1$$ y sean $TEX: $x_1,x_2,...,x_n\ge0$$ y no nulos si es necesario. Se define la Media Aritmetica Pesada como: $TEX: $A^{\prime}=a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n$$ Se define la Media Geometrica Pesada como: $TEX: $G^{\prime}=x_1^{a_1}x_2^{a_2}...x_n^{a_n}$$ Se define la Media Armonica Pesada como: $TEX: $\displaystyle H^{\prime}=\frac{1}{\frac{a_1}{x_1}+\frac{a_2}{x_2}+...+\frac{a_n}{x_n}}$$ Notemos que $TEX: $A^{\prime}=A$$ si $TEX: $\displaystyle a_1=a_2=...=a_n=\frac{1}{n}$$ Asi tambien ocurre con $TEX: $G^{\prime}$$ y $TEX: $H^{\prime}$$ Probar que $TEX: $A^{\prime}\ge$$G^{\prime}\ge$$H^{\prime}$$ Solucion: Primer Paso: Probemos que $TEX: $A^{\prime}\ge$$G^{\prime}$$ Si algun $TEX: $x_i=0$$ la desigualdad es inmediata. Supongamos entonces que $TEX: $x_1,x_2,...,x_n>0$$ Si consideramos $TEX: $f(x)=log(x)$$ (funcion concava para $TEX: $x>0$$ ) y $TEX: $\lambda_i=a_i$$ para $TEX: $i\in\{1,2,...,n\}$$ (notar que $TEX: $a_1+a_2+...+a_n=1$$ Luego aplicando la Desigualdad de Jensen tendremos: $TEX: $log(a_1x_1+...+a_nx_n)\ge$$a_1log(x_1)+...+a_nlog(x_n)=log(x_1^{a_1}...x_n^{a_n})$$ Considerando el hecho de que $TEX: $log(\cdot)$$ es una funcion estrictamente creciente tendremos que: $TEX: $a_1x_1+...+a_nx_n\ge$$x_1^{a_1}....x_n^{a_n}$$ Segundo Paso: Basta aplicar la desigualdad $TEX: $A^{\prime}\ge$$G^{\prime}$$ recien demostrada a los reales positivos $TEX: $\displaystyle \frac{1}{x_1},\frac{1}{x_2},...,\frac{1}{x_n}$$ considerando que $TEX: $x_i\not=0$$ para todo $TEX: $i\in\{1,2,...,n\}$$ -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

2.718281828 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 8 2013, 06:13 PM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.875 Registrado: 27-December 07 Desde: ∂Ω©ȹʕѺϧگἐᾋ1©Ӹ█₯►☻X TH.....I FORGOR Miembro Nº: 14.122 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Una cosa: personalmente prefiero el termino "ponderadas" que "pesadas"... es que me suena como la cancion esa de los tres: somos tontos, no pesados... Consecuencias interesantes: $TEX: Consecuencia 1:\\<br />Considere $a_1,...a_n\geq 0$ y $b_1,....b_n >0$, Entonces:<br />$$a_1^{b_1}a_2^{b_2}....a_n^{b_n}\leq \left(\frac {\sum_{i=1}^n a_i b_i}{\sum_{i=1}^n b_i} \right)^{\sum_{i=1}^n b_i}$$$ $TEX: Demostracion:\\<br />Aplicamos la desigualdad de las medias ponderadas (aka pesadas) para los pesos $w_i=b_i/\sum_{i=1}^n b_i$:<br />Por lo que el resultado se sigue de ahi.$ $TEX: Consecuencia 2:\\<br />Considere $a_1,...a_n\geq 0$, $w_1,...w_n\geq 0$ tales que $\sum_{i=1}^n w_i =1$ y $b_1,....b_n >0$ cualquiera: entonces:<br />$$a_1^{w_1}a_2^{w_2}....a_n^{w_n}\leq b_1^{w_1}b_2^{w_2}....b_n^{w_n}\sum_{i=1}^n \frac{a_i}{b_i}w_i$$<br />La demostracion es sencilla, usando la desigualdad de las medias (tontas, no) pesadas para los numeros $a_i/b_i$.La igualdad se cumple si $a_i/b_i=a_j/b_j$ $i \neq j$, $i,j=1,...n$. Esto se traduce en $N-1$ ecuaciones lineales basados en $n$ incognitas, por lo que tomando el hecho de que $a_1/b_1=a_i/b_i$, $i=2...n$ hay 2 posibilidades: Fijando $a_i$, cualquiera o fijando $b_i$ cualquiera.\\<br />En el primer caso la igualdad se cumple tomando cualquier $n-$tupla y para $b_1=b$, de la siguiente forma: $(b,\frac{a_2}{a_1}b, \frac{a_3}{a_1}b,... \frac{a_n}{a_1}b)$.\\<br />En el segundo caso, tomamos $a_1=a$, y la igualdad se cumple tomando la $n-$tupla: $(a,\frac{b_2}{b_1}a, \frac{b_3}{b_1}a,... \frac{b_n}{b_1}a)$$ $TEX: Como consecuencia directa, si elegimos $b_i=w_i$,$i=1..n$ es decir, los propios pesos, obtenemos una interesante desigualdad:<br />$$a_1^{w_1}a_2^{w_2}....a_n^{w_n} \leq w_1^{w_1}w_2^{w_2}....w_n^{w_n}\sum_{i=1}^n a_i$$ <br />Note que la igualdad se cumple si $a_i/w_i=a_j/w_j$, $i,j=1...n$, $i\leq j$ (necesitamos que ningun peso sea no nulo).\\$ $TEX: Consecuencia 3 :\\<br />Suponga que $\sum_{i=1}^n x_i=S$. donde $x_j>0,j=1..n$, entonces, el mayor valor de la funcion $f(x_1,x_2,x_3,..x_n)=x_1^{w_1}x_2^{w_2}....x_n^{w_n}$ es $w_1^{w_1}w_2^{w_2}....w_n^{w_n}S$, donde $w_j$ son las ponderaciones (suman 1) y se alcanza en $x_j=Sw_j$, donde $j=1..n$.\\<br /><br />Dem:\\<br />En virtud de la desigualdad anterior tenemos que efectivamente $f(x_1,x_2,x_3,..x_n) $ esta acotado por $w_1^{w_1}w_2^{w_2}....w_n^{w_n}S$. La igualdad se cumple si $x_iw_j=x_jw_i$, el cual para $i=1$ y $j>2$, tenemos:<br />$x_j=\frac{w_j}{w_1}x_1$.\\<br />Finalmente haciendo uso de la condicion $\sum_{i=1}^n x_i=S$, tenemos que $$\sum_{i=1}^n x_i=x_1 \sum_{i=1}^n \frac{w_j}{w_1}=\frac{x_1}{w_1}=S$$<br />por lo que $x_1=Sw_1$, y por ende, $x_j=Sw_j$, luego, el maximo se alcanza en el punto $(Sw_1,..Sw_n)$, QED.<br />$ Saludos. Claudio. PD: alguna falencia, avise no mas. -------------------- Claudio Henriquez Tapia Ingeniero Civil Matemático UTFSM y Prof. DMAT UTFSM Candidato a Doctor en Estadística UC. Campus San Joaquin Si todo sale bien, estaría defendiendo en Julio 2024. [indent] everywhere at the end of FMAT ｆｍａｔ　ｎｅｅｄｓ　.... To Survive... 3ch03s facts: a nearest integer: $TEX: $e^{\pi}-\pi=19.999099979$$ Ecuacion funcional no simetrica de la funcion zeta de riemann: $TEX: $$\zeta (1-s)=2^{1-s}\pi^s \cos (\pi s/2) \Gamma(s) \zeta(s)$$$ acid number as a pitagoric trio: $TEX: $45904^2+303^2=45905^2$$ lost: $TEX: 4 8 15 16 23 42$ Teorema del colo colo: $TEX: axioma del colo: $\forall \lambda>1$ $\forall \mu>0$, se tiene que: $$\inf(colo)^{-\mu}>\sup(U)^{\lambda}$$ y es invariante ante derrotas.$ Una interesante distribucion (en ingles y en progreso): ver aqui y aqui Como hallar a lacie resolviendo esta ecuacion: $TEX: $$\ln \left(\frac{x}{acl}\right)=1+\frac 12 i \pi$$<br />aplicando exponencial:<br />$$\frac{x}{acl}=e^{1+\frac 12 i \pi}$$<br />$$\frac{x}{acl}=e\times e^{\frac 12 i \pi}$$<br />y como $e^{\frac 12 i \pi}=\cos(\frac \pi 2)+i\sin(\frac \pi 2)=i$<br />y en consecuencia:<br />$$\frac{x}{acl}=ei$$<br />$$x=acl \times ei$$<br />finalmente:<br />$$x=lacie$$<br />$$=$$$ Frases para el bronce by 3ch03s: uno de los mejores mensajes de fmat, de parte de un loco pasado a dubstep (respondiendole a pasten): CITA(skrillex @ Jul 9 2012, 10:41 PM) nunca e dicho que me gusta vagar :o que * te pasa no fumo ni tomo tienes super esteriotipada la pobresa no por que sea de no tantos recursos me voy a drogar :´C me hiere tu comentario creí que aquí habría gente con mente abierta no como tu ** burgués ojala quemen tu casa y se violen a tu familia y en otro mundo de tantos esta pasando :D saludos fraternos y en otro mundo eres travestí y te vendí en la calle abrazos :D Kaissa se autodeclara un "ICM lover" (es en buena) meanwhile in "ayuda para un primo mio" (seccion consultas generales): CITA(KaICMssa @ Dec 30 2012, 09:55 AM) En la UdeC se llama "optimización no lineal" creo y es un curso de Ing Mat (puaj) Este "aporte" lo dejo porque puede haber algún estudiante de dicha carrera (puaj...) que desconozca el curso con ese nombre. Posteriormente pregunte a que se debe el Puaj, y me dijo que se referia a ICM, entonces en un post de agradecimiento a todos (pq igual no me acordaba mucho de la materia y tuve que rebobinar my cerebro) dije que seria odiado por kaissa pq saldria de Ingeniero Civil Matematico. entonces.... CITA(KaICMssa @ Jan 1 2013, 12:25 PM) faltó el "puajjj!" (es importante!) fin. Pasten, idolo: CITA(Pasten @ Jan 31 2013, 07:46 PM) Yo persigo fama, mujeres, dinero y poder, por eso me meti a estudiar matematica. trolleo terafail. sobre las temperaturas bajo 0K (aunq originalmente en el manga camus si se veia ultragay, con el pelo rosado y las uñas pintadas webbona!) CITA(Pedro Gaete @ Feb 11 2013, 09:20 PM) El primer indicio de que se podía bajar la temperatura bajo el cero absoluto fue cuando pelearon en las 12 casas los maracos de Hyoga y Camus. don coqui se hace el chistoso. CITA(coquitao @ Mar 24 2012, 10:36 PM) Tal como se lee en el encabezado, el objetivo de este tema es proponer una lista de problemitas para celebrar el post 1500 de coquitao. Algunas de las preguntas se han retomado de discusiones sin respuesta en fmat.cl y algunas otras de Condorito y revistas similares. Se ha intentado darle variedad a las preguntas para que no haya pretexto de no abordarlas sino hasta el 2015. Saludos. Kaissa, da ICM lover strikes back: Haters gonna hate. CITA(KaICMssa @ Feb 18 2013, 09:11 PM) ¿Qué hace hoy un matemático? - ver HD. - disfrutar de las vacaciones. - sobarse las manos pensando en cuánto hará sufrir a sus futuros alumnos. - recibir llamadas telefónicas preguntando tonteras como "cuánto es la raíz cuadrada de 7561?" - mirar de vez en cuando el diploma para no sentirse tan mal por la horrible vida que escogió. - esperar un futuro mejor :3 Kaissa da flamin' ICM lovah is fuckin' back. (mientras tanto en un post de bienvenida) El asunto es que una usuaria pregunto acerca de como eramos los usuarios de FMAT, un par les respondieron que tenian buena voluntad siempre y cuando sea con respeto y blah blah.... la cosa es que le respondi explayandome un poco (como siempre), y en la ultima linea dije que no sabia si habian usuarios prepotentes. entonces y en modo de respuesta por la ultima linea..... Asi hablo Kaissa da ICM lovah: CITA(Kaissa da ICM lovah @ May 9 2013, 01:40 PM) Sin mencionar a los ICM puaj! Le respondi que extrañaba sus comentarios..... Kaissa RULZ Con uds. Las ironias y el sarcasmo de Pasten.!!!!! pt.1. CITA(Pasten @ Apr 13 2012, 08:24 PM) Demostracion 2: Estimado lector, si usted no cree que hay infinitos numeros primos entonces hagamos el siguiente experimento mental. Suponga que los unicos numeros primos son p1, p2, ..., pr y que no hay mas. Hagase el numero N que es el producto de todos esos primos que segun usted son solo finitos. Entonces, estimado lector, podria decirme cuales son los factores primos de N+1? seguro que no podra! pienselo un minuto y se va a dar cuenta. Este error le muestra que debe haber infinitos primos. Mori con esto: Los picapiedras ft. coquitao. CITA(coquitao aka pedro picapiedra @ Mar 8 2012, 08:38 PM) es notable pues: ¡no es por contradicción! ¡Yabadabadoo! Kaissa pesaa conmigo ajajajaj: CITA(Kaissa da ICM lovah 2014 @ Jan 1 2014, 01:30 PM) Ojalá que este año Claudio enmiende camino y se salga de la cuestión de carrera esa. (broma, obvio :) ) Creo que JAV no entiende el comercial de snickers. CITA(jefferson alexander vitola @ Mar 12 2014, 05:11 PM) .......por ultimo, dices que me calme y que me coma una chocolatina snikers, esa no me gusta tanto, prefiero la milkyway, esa es mi favorita,,,, ..... att jefferson alexander vitola :zippytecito: e=syd barrett. coquitabadabadoo goes floyd. CITA(coquitao @ May 20 2009, 07:03 PM) Presento aquí una versión aumentada de la propuesta hecha por Syd Barrett. Espero que sea del agrado de todos: - Si G es un grupo de orden pq donde p, q son números primos, p>q y q no divide a p-1, entonces G es cíclico. Nótese que el propuesto anterior proporciona una nueva solución al problema planteado por e = Syd Barrett. En efecto, mi propuesto implica que ............. tl;dr wtf abu? CITA(Abu-Khalil @ Nov 7 2009, 11:39 AM) Me referia a cambios de series con integrales, con límites, con asdfsda. Pasten, the warrior. (Plus interesante detalle despues del texto en negrita) CITA(Pasten @ Jun 5 2014, 08:21 AM) Por que la gente vieja deja de postear? porque la gente nueva ya no tiene el espiritu del guerrero. Antes teniamos el espiritu del guerrero pero ahora ustedes ya no tienen el espiritu del guerrero. ...... En mis tiempos eramos bacanes, brigidos y por que no decir pulentos.** Donde estan las nuevas generaciones? wassappeando y actualizando su perfil de face. Saludos. Solo se que pasten tiene sed CITA(Pasten @ Nov 1 2015, 09:21 PM) Sólo sé que tengo sed. QQQQQUUUUEEEEEEEEEE (and he was f*cking right) ???????? CITA(C.F.Gauss @ Nov 3 2015, 03:24 PM) Sólo sé que G.B. se ha materializado en un flaite. Fmat dejame subir mas citas! TB-3030303 que es YTP-Tennis:

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