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Capitulo IV, Reordenamiento y Chebyshev

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 1 2006, 08:43 PM Publicado: #1
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Desigualdad de Reordenamiento Dados $TEX: $2n$$ numeros reales $TEX: $a_1<a_2<...<a_n$$ y $TEX: $b_1<b_2<...<b_n$$ Sea $TEX: $c_1,c_2,...,c_n$$ una reordenacion de $TEX: ${b_1,b_2,...,b_n}$$ . Entonces: $TEX: $a_1b_n+a_2b_{n-1}+...+a_nb_1\le$$a_1c_1+a_2c_2+...+a_nc_n\le$$a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n$$ Demostracion: Sea $TEX: $i<j$$ y definamos: $TEX: $S=a_1c_1+....+a_ic_i+...+a_jc_j+...+a_nc_n$$ y $TEX: $S^{\prime}=a_1c_1+....+a_ic_j+...+a_jc_i+...+a_nc_n$$ donde $TEX: $S^{\prime}$$ se obtiene de la misma forma que $TEX: $S$$ ,salvo porque permutamos las posiciones de $TEX: $c_i$$ y $TEX: $c_j$$ Notemos que: $TEX: $S^{\prime}-S=(a_ic_j+a_jc_i)-(a_ic_i+a_jc_j)=(a_jc_i-a_ic_i)-(a_jc_j-a_ic_j)$$ $TEX: $=(a_j-a_i)c_i-(a_j-a_i)c_j=(a_j-a_i)(c_i-c_j)$$ Notemos que si $TEX: $c_i>c_j$$ entonces $TEX: $S^{\prime}-S>0\Rightarrow$$S^{\prime}>S$$ De aqui se concluye que el valor maximo de $TEX: $S$$ se alcanza cuando $TEX: $c_1<c_2<...<c_n$$ o sea $TEX: $c_1=b_1,c_2=b_2,...,c_n=b_n$$ Analogamente notemos que si $TEX: $c_i<c_j$$ entonces $TEX: $S^{\prime}-S<0\Rightarrow$$S^{\prime}<S$$ De aqui se concluye que el valor minimo de S se alcanza cuando $TEX: $c_1>c_2>...>c_n$$ o sea $TEX: $c_1=b_n,c_2=b_{n-1},...,c_n=b_1$$ PD:El minimo claramente existe pues existe una cantidad finita de combinaciones para obtener $TEX: $S$$ de la forma $TEX: $S=a_1c_1+a_2c_2+...+a_nc_n$$ con $TEX: $c_1,...,c_n$$ una permutacion de $TEX: $b_1,...,b_n$$ ( para ser exacto son $TEX: $n!$$ combinaciones) -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 1 2006, 10:20 PM Publicado: #2
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Desigualdad de Chebyshev Consideremos los $TEX: $2n$$ reales tales que: $TEX: $a_1\le$$a_2\le...\le$$a_n$$ y $TEX: $b_1\le$$b_2\le...\le$$b_n$$ Entonces se cumple que: $TEX: $\displaystyle \left(\frac{a_1+...+a_n}{n}\right)\left(\frac{b_1+...+b_n}{n}\right)\le\left(\frac{a_1b_1+...+a_nb_n}{n}\right)$$ Demostracion: $TEX: $\displaystyle \left(\frac{a_1b_1+...+a_nb_n}{n}\right)-\left(\frac{a_1+...+a_n}{n}\right)\left(\frac{b_1+...+b_n}{n}\right)$$ $TEX: $\displaystyle =\frac{1}{n^2}\left[n(a_1b_1+...+a_nb_n)-(a_1+...+a_n)(b_1+...+b_n)\right]$$ $TEX: $\displaystyle =\frac{1}{n^2}\sum_{i,j=1,\ i<j}^{n}(a_i-a_j)(b_i-b_j)\ge0$$ PD:Lo unico raro de esta demostracion es su ultimo paso,y la notacion de sumatoria que estamos usando...asi que hare la factorizacion de manera explicita cuando $TEX: $n=3$$ a modo de ejemplo: Sean $TEX: $a\le$$b\le$$c$$ y $TEX: $x\le$$y\le$$z$$ En este caso: $TEX: $\displaystyle \left(\frac{ax+by+cz}{3}\right)-\left(\frac{a+b+c}{3}\right)\left(\frac{x+y+z}{3}\right)$$ $TEX: $\displaystyle =\frac{1}{3^2}\left[3(ax+by+cz)-(a+b+c)(x+y+z)\right]$$ $TEX: $\displaystyle =\frac{1}{3^2}\left[3ax+3by+3cz-(ax+ay+az+bx+by+bz+cx+cy+cz)\right]$$ $TEX: $\displaystyle =\frac{1}{3^2}\left[2ax+2by+2cz-(ay+az+bx+bz+cx+cy)\right]$$ $TEX: $\displaystyle =\frac{1}{3^2}\left[(ax+by-ay-bx)+(ax+cz-az-cx)+(by+cz-bz-cy)\right]$$ $TEX: $\displaystyle =\frac{1}{3^2}\left[(a-b)(x-y)+(a-c)(x-z)+(b-c)(y-z)\right]$$ -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 2 2006, 04:33 AM Publicado: #3
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Ejemplo 1: Sean $TEX: $a,b,c$$ reales positivos. Pruebe que: $TEX: $a^ab^bc^c\ge(abc)^{\frac{a+b+c}{3}}$$ Olimpiada Matematica Canadiense,1995 Solucion: Sin perdida de generalidad podemos suponer $TEX: $0<a\le$$b\le$$c$$ Luego $TEX: $log(a)\le$$log(b)\le$$log©$$ Aplicando la Desigualdad de Chebyshev tendremos que: $TEX: $\displaystyle \left(\frac{a+b+c}{3}\right)\left(\frac{log(a)+log(b)+log©}{3}\right)\le\left(\frac{alog(a)+blog(b)+clog©}{3}\right)$$ Amplificando por 3 y agrupando: $TEX: $\displaystyle \left(\frac{a+b+c}{3}\right)log(abc)\le$$(log(a^a)+log(b^b)+log(c^c))$$ Agrupando nuevamente: $TEX: $\displaystyle log((abc)^{\frac{a+b+c}{3}})\le$$log(a^ab^bc^c)$$ y considerando el hecho de que $TEX: $log(\cdot)$$ es una funcion estrictamente creciente tenemos: $TEX: $\displaystyle (abc)^{\frac{a+b+c}{3}}\le$$a^ab^bc^c$$ -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 26 2009, 02:51 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	La desigualdad de Chebyshev admite la siguiente generalizacion: $TEX: Considere $2n$ reales $a_{1}\ge a_{2}\ge...\ge a_{n}$ y $b_{1}\ge b_{2}\ge...\ge b_{n}$, y considere $n$ reales no negativos $x_1, x_2,...,x_n$, que satisfacen $\sum_{i=1}^n x_i=1$. Entonces se cumple la siguiente desigualdad:$ $TEX: $\displaystyle \sum_{i=1}^n a_ib_ix_i\ge \displaystyle (\sum_{i=1}^n a_ix_i)\displaystyle (\sum_{i=1}^n b_ix_i)$$ La demostracion se puede hallar en este lindo archivo Classical_inequalities.pdf ( 202.37k ) Número de descargas: 161 saludos y viva la libre difusion. -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

Gerardo Soto Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 6 2011, 11:38 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.648 Registrado: 16-April 10 Desde: Dalcahue-Chiloe Miembro Nº: 68.853 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	leyendo el pdf se me ocurrio otra forma de entender la desigualdad de Chebyshev se las dejo Sean 2n reales tales que $TEX: \[{{a}_{1}}\ge {{a}_{2}}\ge .....\ge {{a}_{n}}\]$ y $TEX: \[{{b}_{1}}\ge {{b}_{2}}\ge .....\ge {{b}_{n}}\]$ (lo siguiente se asumira así durante toda la demostración para no re-escribirlo todo el rato) tenemos que: $TEX: \[n\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{i}}{{b}_{i}}}\ge \sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{i}}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{b}_{i}}\ge }n\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{i}}{{b}_{n+1-i}}}}\]$ bueno solo les hablare de como analize para lograr entender dicha desigualdad, que arriba esta un poco más dificil de entender notemos que $TEX: \[\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{i}}{{b}_{i}}}\]$ tiene $TEX: n$ terminos, luego al multiplicarlo por $TEX: n$ la expresión $TEX: \[n\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{i}}{{b}_{i}}}\]$ tendra $TEX: \[{{n}^{2}}\]$ términos , la misma cantidad de terminos tendra la siguiente expresión $TEX: \[\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{i}}}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{b}_{i}}}\]<br />$ pero por la desigualdad de reordenamiento $TEX: \[\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{i}}{{b}_{i}}}\ge \sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{i}}{{c}_{i}}}\]$ donde $TEX: \[{{c}_{i}}\]$ es una permutación $TEX: \[{{b}_{i}}\]$ osea que existen algún $TEX: \[{{b}_{j}}\ne {{c}_{j}}\]$ de aquí se concluye que $TEX: \[n\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{i}}{{b}_{i}}}\ge \sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{i}}}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{b}_{i}}}\]$ ya que ambos tienen la misma cantidad de termino mientras que el lado izquierdo es el maximo valor que se puede obtener permutando $TEX: \[{{a}_{i}},{{b}_{i}}\]$ , y el lado derecho sera una permutación diferente a la del lado izquierdo por tanto menor o igual, dandose la igualdad solo si $TEX: \[{{a}_{1}}={{a}_{2}}=....={{a}_{n}}\]$ y $TEX: \[{{b}_{1}}={{b}_{2}}=....={{b}_{n}}\]$ ahora nos queda demostrar que $TEX: \[\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{i}}}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{b}_{i}}}\ge n\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{i}}{{b}_{n+1-i}}}\]$ analogamente notamos que ambos tienen la misma cantidad de terminos y que $TEX: \[\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{i}}{{b}_{n+1-i}}}\]$ es el menor valor que puede tomar la expresión permutando $TEX: \[{{a}_{i}}{{b}_{i}}\]$ (desigualdad de reordenamiento), entonces es fácil concluir que cualquier permutación diferente de dichos terminos tendra que ser mayor o igual a la expresión dada, concluyendose que $TEX: \[\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{i}}}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{b}_{i}}}\ge n\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{i}}{{b}_{n+1-i}}}\]$ dandose la igualdad solo cuando $TEX: \[{{a}_{1}}={{a}_{2}}=....={{a}_{n}}\]$ y $TEX: \[{{b}_{1}}={{b}_{2}}=....={{b}_{n}}\]$ demostrando finalmente que $TEX: \[n\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{i}}{{b}_{i}}}\ge \sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{i}}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{b}_{i}}\ge }n\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{i}}{{b}_{n+1-i}}}}\]$ y así quedando concluido la desigualdad de Chebyshev Espero que sea de su ayuda, para quien lo lea me despido, avisarme cualquier error Mensaje modificado por Gerardo Soto el Sep 6 2011, 11:51 PM -------------------- >>He robado princesas a reyes agónicos. Incendié la ciudad de Trebon. He pasado la noche con Felurian y he despertado vivo y cuerdo. Me expulsaron de la Universidad a una edad a la que a la mayoría todavía no los dejan entrar. He recorrido de noche caminos de los que otros no se atreven a hablar ni siquiera de día. He hablado con Dioses, he amado a mujeres y he escrito canciones que hacen llorar a los bardos.<< <<Me llamo Kvothe (<Cuouz>). Quizá hayas oído hablar de mí.”>> El nombre del viento, primer dìa de la historia de Kvothe .-“Todo hombre sabio le teme a tres cosas: Una noche sin luna, una tormenta en el mar y a la ira de un hombre bueno.”” Citas del Nombre del viento .-Me llamo kvothe, que se pronuncia <<cuouz>>. Los nombres son importantes porque dicen mucho sobre las personas. He tenido más nombres de los que nadie merece.Los Adem me llaman Maedre. Que, según como se pronuncie, puede significar la Llama, el Trueno o el Árbol Partido. Mi primer mentor me llamaba E'lir porque yo era listo y lo sabìa. Mi primera amante me llamaba Dulator porque le gustaba cómo sonaba. Me han llamado Kvothe el Sin Sangre, Kvothe el Arcano y Kvothe el Asesino de Reyes. Todos esos nombres me los he ganado. Pero crecí siendo Kvothe. Una vez mi padre me dijo que significaba <<saber>>. .-“Y soy Edena Ruh hasta la médula. Lo que significa que mi sangre es roja. Significa que respiro aire puro y camino por donde me llevan los pies. No me arrastro ni me acobardo como un perro ante nadie por el hecho de que tenga un título. Eso lo interpretan como orgullo quienes se han pasado la vida lamiéndoles el culo a los demás.”(Kvothe) .-“Te lo juro por toda la sal que hay en mí: si contravienes mis deseos, el resto de tu breve existencia será una orquesta de desgracias. Lo juro por la piedra, el roble y el olmo: te convertiré en mi blanco. Te seguiré sin que me veas y apagaré cualquier chispa de placer que encuentres. Jamás conocerás la caricia de una mujer, un momento de descanso, un instante de paz. Y juro por el cielo nocturno y por la luna que si perjudicas a mi maestro, te abriré en canal y saltaré en tus entrañas como un niño en un charco. Encordaré un violín con tus tripas y te haré tocarlo mientras bailo.” .-Puedes dividir infinito un infinito número de veces, y el resultado seguirá siendo más infinito”, dijo Uresh con su extraño acento Lenatti. “Pero si divides un número no infinito un número infinito de veces el resultado no es menos infinito. Puesto que es menos infinito, pero hay un número infinito de ellos, si los sumas de nuevo, su suma da infinito. Eso implica que todo número es, de hecho, infinito. .-‎ Tengo tendencia a pensar demasiado, Bast. Mis mayores éxitos fueron producto de decisiones que tomé cuando dejé de pensar e hice sencillamente lo que me parecía correcto. Aunque no hubiera ninguna buena explicación para lo que había hecho. Aunque hubiera muy buenas razones para que no hiciese lo que hice.(Kvothe) .-Sí, soy un mito. Un mito muy especial que se crea a sí mismo. Las mejores mentiras sobre mí son las que yo mismo he contado.´ (Kvothe) .-Solo los locos y los sacerdotes no le temen a nada, y yo no me llevo muy bien con Dios (Kvothe) .-La musica es una amante celosa y temperamental, si le dedicas tiempo sera tuya pero si la desairas se ira y cuando la busques no la hallaras…(Kvothe) .-Las palabras sonpálidas sombras de nombres olvidados. Los nombres tienen poder, y las palabras también. Las palabras pueden hacer prender el fuego en la mente de los hombres. Las palabras pueden arrancarles lágrimas a los corazones más duros. Existen siete palabras que harán que una persona te ame. Existen diez palabras que minarán la más poderosa voluntad de un hombre. Pero una palabra no es más que la representación de un fuego. Un nombre es el fuego en sí. -Elodin .-Cronista pensó, sin proponérselo, en una historia que había oído. Una de tantas. Era el relato de cómo Kvothe había perseguido el deseo de su corazón. Tuvo que engañar a un demonio para conseguirlo. Pero una vez conseguido, tuvo que pelear con un ángel para conservarlo. «Es cierto —pensó Cronista—. Antes solo era una historia, pero ahora puedo creer en ella. Esta es la cara de un hombre que ha matado a un ángel. .-“Yo hasta que no vea una pantorrilla femenina al aire, no daré por inaugurada la primavera”(Bast) .- “Al pan, pan y al vino, vino. Pero a una prostituta llámala siempre señora. Tienen una vida muy dura y no cuesta nada ser amables con ellas.” .-Observando las caras que me rodeaban vi a una joven de no más de veinte años. Tenía un rostro dulce y los ojos azul claro. Sus labios parecían hechos para besar. Di un paso hacia ella, decidido a cogerla en brazos y… Me paré en seco cuando empezaba a estirar un brazo para acariciarle el cuello, y sentí algo muy parecido al vértigo. Allí las cosas eran diferentes. Era evidente que el hombre que estaba sentado al lado de la joven era su marido. Eso era importante, ¿no? Parecía un hecho muy impreciso y distante. ¿Por qué no iba desnudo, no comía violetas ni tocaba el laúd a cielo abierto? Volví a pasear la mirada por la taberna y todo aquello me pareció sumamente ridículo. Aquella gente sentada en los bancos, con capas y más capas de ropa, comiendo con cuchillo y tenedor. Lo encontraba todo absurdo y artificioso. Era increíblemente gracioso. Parecía que estuvieran jugando a un juego y ni siquiera se dieran cuenta. Era como un chiste que hasta entonces no había entendido. Me reí. (ETDUHS) .-- No has traido tu laud – me comentó cuando hubimos terminado de comer. -Esta noche tengo que irme a leer-dije-. Para entonces ya habría hecho el examen de admisión, y no haría falta que siguiera estudiando. Auri arrugó su carita. -Cinco dias no es pronto -dijo-. Pronto es mañana. -Cinco días es pronto para una piedra-argumenté. -Pues entonces toca para una piedra dentro de cinco días-replicó ella-. Y toca para mí mañana.(Auri) .-“Verá, maestro Kilvin: según los alumnos, lo rompí de un solo puñetazo de mi todopoderosa mano” .-“No has oído ni la primera nota de la música que me impulsa” .-“Viajé, amé, perdí, confié y me traicionaron.” .-“No me cansaba de mirar a Denna. Estaba sentada a mi lado, abrazándose las rodillas. Su piel era más luminosa que la luna, y sus ojos, más enormes que el cielo, más profundos que el agua, más oscuros que la noche” .-Sobré él verteré el hambre y el fuego hasta que la desolación lo aturda y todos los demonios de la oscuridad exterior miren asombrados y reconozcan que la especialidad del hombre es la venganza. .-“Aunque este empapado de ti, ardo. El movimiento de tu cabeza al volverse es como una canción. Es como una chispa. Es como un aliento que me infla y sopla para avivar un fuego que extenderse y rugir tu nombre no pueda evitar” .-“He oído lo que los poetas escriben sobre las mujeres. Componen rimas y rapsodias, y mienten. He visto a marineros en la orilla contemplando en silencio la lenta ondulación del mar. He visto a viejos soldados con el corazón de cuero que derramaban lágrimas al ver los colores de su rey ondeando al viento. Creedme: esos hombres no saben nada del amor. Amamos lo que amamos. La razón no entra en juego. En muchos aspectos, el amor más insensato es el amor más verdadero. Cualquiera puede amar algo por algún motivo. Eso es tan fácil como meterse un penique en el bolsillo. Pero amar algo a pesar de algo es otra cosa. Conocer los defectos y amarlos también. Eso es inusual, puro y perfecto.” Kvothe .-“La experiencia me ha enseñado que la mejor forma de protegerte es hacer creer a tus enemigos que no pueden hacerte daño” Para saber más de la trilogía de Patrick Rothfuss Click aquí

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