Algoritmo de la división en polinomios

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Algoritmo de la división en polinomios

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S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 1 2006, 12:07 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	En el conjunto de los números enteros: $TEX: $\mathbb{Z}$$ es posible diseñar un procedimiento para dividir dos números. Más precisamente: Si $TEX: $a,b\in\mathbb{Z}$$ , con $TEX: $a\neq 0$$ , entonces es posible encontrar un cuociente y un resto en la división $TEX: $b:a$$ . O sea existen $TEX: $q,r\in\mathbb{Z}$$ tales que $TEX: $b=qa+r$$ y $TEX: $0\leq r<\|b\|$$ Esto se hace habitualmente cuando $TEX: $a>0$$ (mecánicamente se aprende en el colegio), pero con $TEX: $a<0$$ también es posible. Sólo hay que ser un poco más cuidadosos a la hora de implementarlo en ejemplos. Pongamos por caso: $TEX: $83=2\cdot40+3$$ no nos debe hacer pensar que $TEX: $-83=-2\cdot40+(-3)$$ tiene la forma dada, porque el resto no puede ser negativo. Deberíamos poner $TEX: $-83=-3\cdot40+37$$ . Este procedimiento se conoce con el nombre de algoritmo de la división La pregunta ahora es: ¿Se puede hacer algo parecido con polinomios? En caso afirmativo, hay que dar un procedimiento, o al menos enunciar un teorema como ocurre en el caso de $TEX: $\mathbb{Z}$$ . Supondremos que nuestros polinomios tienen todos sus coeficientes complejos, pudiendo así pasar a casos particulares como los polinomios con coeficientes reales. Siempre es bueno tener a mano un ejemplo para desarrollar nuestras ideas y poder ver mejor lo que está pasando. Veamos qué pasa si "intentamos dividir" $TEX: $f(x)$$ por $TEX: $p(x)$$ , donde $TEX: $f(x)=x^4+16,p(x)=x^2+3x+1$$ ("intentamos dividir" porque en principio no se sabe muy bien qué quiere decir eso) Podemos comenzar multiplicando $TEX: $p(x)$$ por $TEX: $x^2$$ y esto lo restamos de $TEX: $f(x)$$ . Así eliminamos el término con $TEX: $x^4$$ : $TEX: $f(x)-x^2\cdot p(x)=-3x^3-x^2-16$$ Ahora restamos $TEX: $-3x\cdot p(x)$$ para eliminar el término cúbico: $TEX: $f(x)-(x^2-3x)\cdot p(x)=8x^2+3x-16$$ Finalmente, eliminamos el monomio cuadrático si restamos $TEX: $8p(x)$$ $TEX: $f(x)-(x^2-3x+8)\cdot p(x)=-21x-24$$ Hemos hallado una representación del tipo $TEX: $f(x)=q(x)p(x)+r(x)$$ , que por cierto hay muchas (basta con elegir cualquier $TEX: $q(x)$$ y a coninuación definir $TEX: $r(x)=f(x)-q(x)p(x)$$ ). Pero nuestro polinomio $TEX: $r(x)$$ fue diseñado para cumplir una propiedad interesante: su grado es menor que el grado de $TEX: $p(x)$$ . El ejemplo nos ha dado un procedimiento para obtener, a partir de $TEX: $f(x),p(x)$$ , dos nuevos polinomios: $TEX: $q(x),r(x)$$ , que cumplen dos buenas propiedades: $TEX: $f(x)=q(x)p(x)+r(x)$$ $TEX: $r(x)=0$$ , o bien $TEX: $\gamma(r(x))<\gamma(p(x))$$ ( $TEX: $\gamma$$ es una función que a cada polinomio no nulo asigna su grado) El "resto" $TEX: $r(x)$$ pudo ser nulo, por ejemplo si emulamos el procedimiento con $TEX: $f(x)=x^2+x$$ y con $TEX: $p(x)=x+1$$ . Precisamente, emulando este procedimiento para el caso general, podemos establecer el siguiente: Teorema (Algoritmo de la división de polinomios): Sean $TEX: $f(x),p(x)$$ dos polinomios con coeficientes complejos, y $TEX: $p(x)\neq 0$$ Entonces existen dos polinomios: $TEX: $q(x),r(x)$$ que cumplen las siguientes dos propiedades: $TEX: $f(x)=q(x)p(x)+r(x)$$ $TEX: $r(x)=0$$ , o bien $TEX: $\gamma(r(x))<\gamma(p(x))$$ ( $TEX: $\gamma$$ es una función que a cada polinomio no nulo asigna su grado) El par $TEX: $(q(x),r(x))$$ de polinomios queda determinado en forma única La demostración consta de dos partes: existencia y unicidad, y será vista en el próximo mensaje... cosa de tener algo de paciencia por mientras. -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 1 2006, 08:54 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Existencia Supondremos que el grado de $TEX: $p(x)$$ tiene un valor fijo (que llamaremos $TEX: $n\geq 0$$ , o sea podemos escribir $TEX: <br />$\displaystyle{p(x)=\sum_{j=0}^na_jx^j}$$ con $TEX: $a_0,...,a_m\in\mathbb{C},a_m\neq 0$$ ). Vamos a hacer inducción sobre $TEX: $m$$ , el grado del polinomio $TEX: $f(x)$$ Nuestros casos base serán todos polinomios cuyo grado sea menor que $TEX: $n$$ , sin excluir de aquí el polinomio nulo. Podemos poner $TEX: $q(x)=0,r(x)=f(x)$$ y se cumplen ambas propiedades. Nuestra hipótesis de inducción será que todo polinomio con grado menor o igual que $TEX: $m$$ admite un cuociente y un resto con las propiedades señaladas. Podemos exigir $TEX: $m\geq n-1$$ . Sea ahora $TEX: $f(x)$$ un polinomio de grado $TEX: $m+1$$ , o sea podemos escribir: $TEX: <br />$\displaystyle{f(x)=\sum_{j=0}^{m+1}b_jx^j}$$ con $TEX: $b_0,...,b_{m+1}\in\mathbb{C},b_{m+1}\neq 0$$ . Como $TEX: $a_m\neq 0$$ , entonces podemos escribir el polinomio: $TEX: <br />$\displaystyle{g(x)=f(x)-\frac{b_{m+1}}{a_m}p(x)x^{m+1-n}}$$ Lo importante está en que este polinomio $TEX: $g(x)$$ tiene grado menor o igual que $TEX: $m$$ , podemos aplicarle la hipótesis inductiva, obteniendo un cuociente $TEX: $q(x)$$ y un resto $TEX: $r(x)$$ . En consecuencia: $TEX: <br />$\displaystyle{f(x)=g(x)+\frac{b_{m+1}}{a_m}p(x)x^{m+1-n}=q(x)+\left(\frac{b_{m+1}}{a_m}x^{m+1-n}\right)p(x)+r(x)}$$ Y el resto $TEX: $r(x)$$ ya sabemos que es nulo o bien su grado es menor que el de $TEX: $p(x)$$ . Esto termina la demostración por inducción (una inducción un poco más difícil de lo usual) -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 1 2006, 09:21 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Unicidad Supongamos que $TEX: $f(x)=q(x)p(x)+r(x)=Q(x)p(x)+R(x)$$ son dos representaciones del algoritmo de la división (cumplen con ambas condiciones del teorema). entonces: $TEX: $r(x)-R(x)=(Q(x)-q(x))p(x)$$ pero el grado de $TEX: $r(x)-R(x)$$ es estrictamente menor que el de $TEX: $p(x)$$ . De ahí que no podamos establecer la igualdad, a menos que sea $TEX: $r(x)-R(x)=0$$ . De lo anterior se deduce que $TEX: $r(x)=R(x)$$ y que $TEX: $q(x)=Q(x)$$ , o sea la unicidad -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

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