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> Algoritmo de la división en polinomios
S. E. Puelma Moy...
mensaje Jan 1 2006, 12:07 PM
Publicado: #1


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En el conjunto de los números enteros: TEX: $\mathbb{Z}$ es posible diseñar un procedimiento para dividir dos números. Más precisamente:

Si TEX: $a,b\in\mathbb{Z}$, con TEX: $a\neq 0$, entonces es posible encontrar un cuociente y un resto en la división TEX: $b:a$. O sea existen TEX: $q,r\in\mathbb{Z}$ tales que TEX: $b=qa+r$ y TEX: $0\leq r<|b|$

Esto se hace habitualmente cuando TEX: $a>0$ (mecánicamente se aprende en el colegio), pero con TEX: $a<0$ también es posible. Sólo hay que ser un poco más cuidadosos a la hora de implementarlo en ejemplos. Pongamos por caso:

TEX: $83=2\cdot40+3$ no nos debe hacer pensar que TEX: $-83=-2\cdot40+(-3)$ tiene la forma dada, porque el resto no puede ser negativo. Deberíamos poner TEX: $-83=-3\cdot40+37$. Este procedimiento se conoce con el nombre de algoritmo de la división

La pregunta ahora es: ¿Se puede hacer algo parecido con polinomios? En caso afirmativo, hay que dar un procedimiento, o al menos enunciar un teorema como ocurre en el caso de TEX: $\mathbb{Z}$. Supondremos que nuestros polinomios tienen todos sus coeficientes complejos, pudiendo así pasar a casos particulares como los polinomios con coeficientes reales.

Siempre es bueno tener a mano un ejemplo para desarrollar nuestras ideas y poder ver mejor lo que está pasando. Veamos qué pasa si "intentamos dividir" TEX: $f(x)$ por TEX: $p(x)$, donde TEX: $f(x)=x^4+16,p(x)=x^2+3x+1$ ("intentamos dividir" porque en principio no se sabe muy bien qué quiere decir eso)

Podemos comenzar multiplicando TEX: $p(x)$ por TEX: $x^2$ y esto lo restamos de TEX: $f(x)$. Así eliminamos el término con TEX: $x^4$:

TEX: $f(x)-x^2\cdot p(x)=-3x^3-x^2-16$

Ahora restamos TEX: $-3x\cdot p(x)$ para eliminar el término cúbico:

TEX: $f(x)-(x^2-3x)\cdot p(x)=8x^2+3x-16$

Finalmente, eliminamos el monomio cuadrático si restamos TEX: $8p(x)$

TEX: $f(x)-(x^2-3x+8)\cdot p(x)=-21x-24$

Hemos hallado una representación del tipo TEX: $f(x)=q(x)p(x)+r(x)$, que por cierto hay muchas (basta con elegir cualquier TEX: $q(x)$ y a coninuación definir TEX: $r(x)=f(x)-q(x)p(x)$). Pero nuestro polinomio TEX: $r(x)$ fue diseñado para cumplir una propiedad interesante: su grado es menor que el grado de TEX: $p(x)$.

El ejemplo nos ha dado un procedimiento para obtener, a partir de TEX: $f(x),p(x)$, dos nuevos polinomios: TEX: $q(x),r(x)$, que cumplen dos buenas propiedades:
  • TEX: $f(x)=q(x)p(x)+r(x)$
  • TEX: $r(x)=0$, o bien TEX: $\gamma(r(x))<\gamma(p(x))$ (TEX: $\gamma$ es una función que a cada polinomio no nulo asigna su grado)
El "resto" TEX: $r(x)$ pudo ser nulo, por ejemplo si emulamos el procedimiento con TEX: $f(x)=x^2+x$ y con TEX: $p(x)=x+1$. Precisamente, emulando este procedimiento para el caso general, podemos establecer el siguiente:

Teorema (Algoritmo de la división de polinomios): Sean TEX: $f(x),p(x)$ dos polinomios con coeficientes complejos, y TEX: $p(x)\neq 0$ Entonces existen dos polinomios: TEX: $q(x),r(x)$ que cumplen las siguientes dos propiedades:
  • TEX: $f(x)=q(x)p(x)+r(x)$
  • TEX: $r(x)=0$, o bien TEX: $\gamma(r(x))<\gamma(p(x))$ (TEX: $\gamma$ es una función que a cada polinomio no nulo asigna su grado)
El par TEX: $(q(x),r(x))$ de polinomios queda determinado en forma única


La demostración consta de dos partes: existencia y unicidad, y será vista en el próximo mensaje... cosa de tener algo de paciencia por mientras.


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S. E. Puelma Moy...
mensaje Jan 1 2006, 08:54 PM
Publicado: #2


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Existencia

Supondremos que el grado de TEX: $p(x)$ tiene un valor fijo (que llamaremos TEX: $n\geq 0$, o sea podemos escribir

TEX: <br />$\displaystyle{p(x)=\sum_{j=0}^na_jx^j}$

con TEX: $a_0,...,a_m\in\mathbb{C},a_m\neq 0$). Vamos a hacer inducción sobre TEX: $m$, el grado del polinomio TEX: $f(x)$

Nuestros casos base serán todos polinomios cuyo grado sea menor que TEX: $n$, sin excluir de aquí el polinomio nulo. Podemos poner TEX: $q(x)=0,r(x)=f(x)$ y se cumplen ambas propiedades.

Nuestra hipótesis de inducción será que todo polinomio con grado menor o igual que TEX: $m$ admite un cuociente y un resto con las propiedades señaladas. Podemos exigir TEX: $m\geq n-1$. Sea ahora TEX: $f(x)$ un polinomio de grado TEX: $m+1$, o sea podemos escribir:

TEX: <br />$\displaystyle{f(x)=\sum_{j=0}^{m+1}b_jx^j}$

con TEX: $b_0,...,b_{m+1}\in\mathbb{C},b_{m+1}\neq 0$.

Como TEX: $a_m\neq 0$, entonces podemos escribir el polinomio:

TEX: <br />$\displaystyle{g(x)=f(x)-\frac{b_{m+1}}{a_m}p(x)x^{m+1-n}}$


Lo importante está en que este polinomio TEX: $g(x)$ tiene grado menor o igual que TEX: $m$, podemos aplicarle la hipótesis inductiva, obteniendo un cuociente TEX: $q(x)$ y un resto TEX: $r(x)$. En consecuencia:

TEX: <br />$\displaystyle{f(x)=g(x)+\frac{b_{m+1}}{a_m}p(x)x^{m+1-n}=q(x)+\left(\frac{b_{m+1}}{a_m}x^{m+1-n}\right)p(x)+r(x)}$

Y el resto TEX: $r(x)$ ya sabemos que es nulo o bien su grado es menor que el de TEX: $p(x)$. Esto termina la demostración por inducción (una inducción un poco más difícil de lo usual)


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mensaje Jan 1 2006, 09:21 PM
Publicado: #3


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Unicidad

Supongamos que TEX: $f(x)=q(x)p(x)+r(x)=Q(x)p(x)+R(x)$ son dos representaciones del algoritmo de la división (cumplen con ambas condiciones del teorema). entonces:

TEX: $r(x)-R(x)=(Q(x)-q(x))p(x)$

pero el grado de TEX: $r(x)-R(x)$ es estrictamente menor que el de TEX: $p(x)$. De ahí que no podamos establecer la igualdad, a menos que sea TEX: $r(x)-R(x)=0$.

De lo anterior se deduce que TEX: $r(x)=R(x)$ y que TEX: $q(x)=Q(x)$, o sea la unicidad


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